初二讲义三角形中的线段

1、第1讲 三角形中的线段知识要点梳理知识点一：1、三角形有关概念（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 （2）三角形的基本元素：三角形的三条边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。（3）三角形的特征：三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接； 三角形是一个封闭的图形。（4） 三角形的符号： 三角形用符号“”表示。顶点是a、b、c的三角形，记作“abc”，读作“三角形abc”； 注意：abc是三角形abc的符号标记，单独的没有意义

2、三角形abc的边ab可用边ab所对的角c的小写字母c表示，ac可用b表示，bc可用a表示。2、三角形的分类(1)按边分类： 要点诠释：不等边三角形：三边都不相等的三角形;等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;等边三角形：三边都相等的三角形.(2)按角分类：要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.知识点二：三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。定理的数学语言：如图1，|bc|abc推论：三角形任意两边之差小于第三边。要点诠释：（1）理论依据：两点

3、之间线段最短。（2）给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）： abc，bca，cab都能成立，则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）; |bc|abc长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段，且abc，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形。（3）已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围: 设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是。（4）证明线段之间的不等关系。知识点三：三角形的高、中线、角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高

4、线，简称三角形的高三角形的高的数学语言：如图2，ad是abc的高，或ad是abc的bc边上的高，或adbc于d，或adbadc90°。ad是abc的高adbadc90°(或adbc于d)；要点诠释：三角形的高是线段；三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。三角形的三条高：()锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；()钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；()直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线三角形的中线的数学语言：如图3，ad是abc的

5、中线或ad是abc的bc边上的中线或bdcdbc。ad是abc的中线bdcdbc。要点诠释：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形内部；三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心中线把三角形分成面积相等的两个三角形。3、三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线的数学语言：如图4，ad是abc的角平分线，或badcad且点d在bc上。即ad是abc的角平分线baddacbac(或bac2bad2dac)要点诠释：三角形的角平分线是线段；一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；三角形三条

6、角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。知识点四：三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性要点诠释：三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛

7、应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形典型例题：题型一 三角形的概念例题1下列说法:(1)不等边三角形就是三条边都不相等的三角形;(2)等边三角形一定是等腰三角形;(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;(4)有一个角是直角的三角形是直角三角形;(5)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形.其中正确的说法有_.题型二 三角形三边的关系例题2以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) a.2cm, 3cm, 5cm b.1cm, 11cm, 11cm c.5cm, 8cm, 2cm d.三边之比为5:10:4 举一反三【变

8、式1】用9根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为;用10根呢?【变式2】已知三角形的三边长分别为3,8,;若的值为偶数,则的值有_个.【变式3】等腰三角形的两边长分别为12和6，则此三角形的周长为（ ）。a、24 b、30 c、24或30 d、以上都不对题型三 三角形的线段例题3 如图,abc中,1=2,g是ad中点,连结bg并延长,交ac于点e,chad,延长线交ab于点f.请填空:ag是abe的_;abc的角平分线是_;abd的中线是_;ah是_和_和_的高.举一反三【变式1】下列说法:(1)三角形的高必在三角形内部;(2)三角形的中线必在三角形内部;(3)三角形的

9、角平分线必在三角形内部;(4)三角形的高、中线、角平分线都是线段.其中正确的有_.【变式2】如图,bm是abc中ac边上的中线,已知ab=6cm,bc=4cm,那么abm与bcm的周长差是多少?【变式3】(1)已知ad是abc的中线,abd的面积为4,则abc的面积是_; (2)已知在abc中，d是bc上一点，bd:cd=2:1,abd的面积为6,则abc的面积是_;【变式4】在abc中，ab=2bc,ad、ce分别是bc、ab边上的高，试判断ad和ce的大小关系，并说明理由。巩固练习一、选择题1.下面四个图形中，线段be是abc的高的图是（ ） a b c d2.如图1所示,在abc中,ac

10、b=90°,把abc沿直线ac翻折180°,使点b 落在点b的位置,则线段ac具有性质( )毛 a.是边bb上的中线 b.是边bb上的高 c.是bab的角平分线 d.以上三种图2图13.如图2所示,d,e分别是abc的边ac,bc的中点,则下列说法不正确的是( ) a.de是bcd的中线 b.bd是abc的中线 c.ad=dc,bd=ec d.c的对边是de4.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ）a、 3cm，5cm ，8cm b、8cm，8cm，18cm c、0.1cm，0.1cm，0.1cm d、30cm，40cm，8cm 5.如果线段a，b，c能组成三角形，

11、那么，它们的长度比可能是（ ） a、124 b、134 c、347 d、2346.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）a、5 b、6 c、7 d、8二、填空题1.如图4，图中所有三角形的个数为 ，在abe中，ae所对的角是 ，abc所对的边是 ，ad在ade中，是 的对边，在adc中，是 的对边；2.如图5，已知1=0.5bac，2 =3，则bac的平分线为 ，abc的平分线为 ；3.如图6，d、e是边ac的三等分点，图中有 个三角形，bd是三角形 中 边上的中线，be是三角形 中 边上的中线；图4图5图6 4.如图7，在abc中，ad是中线，则abd的面积

12、acd的面积（填“”“”“”）。5.如图8，abc中，a = 40°，b = 72°，ce平分acb，cdab于d，dfce，则cdf = 度。 图7图8 3、 解答题1. 已知等腰三角形的一边等于8cm，另一边等于6cm，求此三角形的周长； 已知等腰三角形的一边等于5cm，另一边等于2cm，求此三角形的周长。提高拓展：1.如图3所示,在abc中,已知点d,e,f分别为边bc,ad,ce 的中点, 且sabc=4cm2,则=( ) 图3 a.2cm2 b.1cm2 c.cm2 d.cm22.已知三角形三边长为a、b、c，化简|abc|-|abc|3.在abc中,ab=ac,ad是中线,abc的周长为34cm,abd的周长为30cm, 求ad的长.【课后作业】1.已知三角形的三边长分别为3、x、8，若x的值为奇数，则x的值有（ ）。a、1个 b、2个 c、4 个 d、3个2.下列各组三条线段中，不能组成三角形的是（ ）。a、三线段之比为 2：2：3 b、 a + 1 ，a + 2 ，a + 3（a0）c、5cm ，6 cm ，10 cm d、3cm ，5cm ，9 cm 4.下列说法：三角形的高、中线