第讲 直角坐标系下三重积分的计算PPT课件

1、定义定义. 设设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在存在,),(zyxfvzyxfd),(称为称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对若对 作作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列下列“乘乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在,),(使得使得vzyxfd),(Vf),(V 为为 的的体积体积, 积

2、和式积和式” 极限极限记作记作第1页/共25页思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(:)1(dvzyxfzyxf为奇函数时为奇函数时关于关于当当 1),(_),(,_),(:)2(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面上方的部分面上方的部分在在为为其中其中xy zz2.)2(,yz)1(3的相关结论的相关结论二重积分计算中对称性二重积分计算中对称性？上述结论该怎么样呢上述结论该怎么样呢面对称的有界闭区域面对称的有界闭区域面或面或中关于中关于为为问题

3、：若问题：若zxR 第2页/共25页 011222222 dzdydxzyxzyxzln例例 dzdydxzyxzyxz11222222ln计算积分| ),(1222 zyxzyx其中积分区域解,的奇函数被积函数是z,的球体半径等于是球心在原点积分区域1所以原积分,对称平面关于积分区域xoy)(0 z方程第3页/共25页二、直角坐标系下三重积分的计二、直角坐标系下三重积分的计算算方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) ,0),(zyxf先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下

4、列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后, 推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数的密度函数 , 方法方法:第4页/共25页zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后先一后二二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线

5、密度记作记作第5页/共25页得得 ,以以 的边界为的边界为准线母线平行于准线母线平行于z轴轴的柱面把的柱面把 分为下上分为下上两个边界：两个边界：xyD12,zzx yzzx y设设 如图如图,将将 向向xoy面投影，面投影，xyDxOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x

6、yxOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yxOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz

7、x y2( , )zz x yOyzab( , )x y2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x y12,xyx yDzzx yzx y从变到第6页/共25页21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 则则 12:,xyzx yzzx yx yD于是，积分区域可表示为于是，积分区域可表示为(先一后二）先一后二）第7页/共25页根据根据D是是X型域或型域或Y型域确定二重积分的型域确定二重积分的积分限，就得到三重积分公式积分限，就得到三重积分公式.2211( )( , )(

8、)( , )( , , )( , , )bxzx yaxzx yf x y z dvdxdyf x y z dz 若若D为为X型域，则有型域，则有这是先对这是先对z，次对，次对y，最后对，最后对x的三次积分的三次积分21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 第8页/共25页ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后先二后一一”)bzaDyxz),(:为底为底, d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzy

9、xfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度面密度zd记作记作第9页/共25页ZDZD 设区域 的z值的最大值和最小值为 和 ， 过 内任一点z，作水平平面与 交出截面 ， 就是二重积分的积分区域.12,c c1c2cxyzOzDz1c2c 先在先在 上对上对x,y积分然后在积分然后在 上对上对z积分积分.12,c czD第10页/共25页这样得到这样得到21( , , )( , , )zccDf x y z dvdzf x y z dxdy先求出先求出 上的二重积分再求定积分上的二重积分再求定积分.ZD12:,Zx yDczc先二后一先二后一此法常用于此法常

10、用于 上的二重积分易求的情形上的二重积分易求的情形zD第11页/共25页小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d具体计算时应根据具体计算时应根据vzyxfd),(被积函数及积分域的特点灵活选择被积函数及积分域的特点灵活选择. 第12页/共25页xdv例例1 计算计算 ,其中其中 为三个坐标面为三个坐标面及平面及平面x2yz1所围成的区域。所围成的区域。 xyzO(0,0,1)C1(0,0)2B(1,0,0)Axy

11、D:012 ,xyzxyx yD :012 ,xyzxyx yD 解解 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyD若若 看成看成X型域，则型域，则xyD12xy12zxy , x y第13页/共25页123011(2)448xxx dx10:012 ,:201xyxyzxy Dx 120 xyDxdvdxdyxdz 11122000 xxydxdyxdz 11200(12 )xxdxxy dy第14页/共25页例例2 计算计算 ，其中，其中 是由椭球是由椭球面面 所围成的空间闭区域。所围成的空间闭区域。 2222221xyzabc2z dxdydzczc 222222:1-zxyzDczcabc

12、 （)解解 z的最小值和最大值为的最小值和最大值为 和和 ，即，即ccabcxyzzO0DzDc第15页/共25页222zzccccDDz dxdydzdzz dxdyz dzdxdy的面积为的面积为zzDdxdyD22222211(1)zzzababccc22224232(1)4()15cccczz dxdydzzabdzczabzdzabcc第16页/共25页 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，积分顺序积分顺序再对再对后对后对先对先对yzx思考：思考：第17页/共25页例例4 将将 化为直角坐标系下的化为直角坐标系下的

13、三次积分，其中三次积分，其中 是由平面是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1围成的区域。围成的区域。 ( , , )f x y z dv 的下底是的下底是xyz1，上底是上底是z1，x0y1xyxyD1解解 的投影的投影 是是x+y=1，x=0，y=0围成的三角形域围成的三角形域，xyD第18页/共25页11( , , )( , , )xyx yDf x y z dvdxdyf x y z dz 111001( , , )xx ydxdyf x y z dz 01:11,:01xyyxxyzDx 第19页/共25页解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx第20页/共25页故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI第21页/共25页例例 6 6 计计算算 dxdydzxy 21，其其中中 由由221zxy ，122 zx，1 y围围成成. 解解dxdzzxxzxD21222 dxzzxxxzxz| )3(121221132112 .4528 dzzxxdxxx21221111222 111 :2),(22221zxzxDxzyydydx