算法策略PPT课件

1、4.1 迭代算法迭代法（Iteration）也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法一般用于数值计算。迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础应用。利用迭代算法策略求解问题，设计工作主要有三步： 1）确定迭代模型 2）建立迭代关系式 3）对迭代过程进行控制第1页/共25页4 41 11 1 递推法 【例1】兔子繁殖问题问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少只兔子。问题分析：因一对兔子

2、从出生后第三个月开始每月生一对小兔子，则每月新下小兔子的对儿数(用斜体数字表示)显然由前两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 1 1 1 +1= 2 2 +1= 3 3 +2= 5 5+3=8 第2页/共25页算法1 1： main( )main( ) int i,a=1,b=1; int i,a=1,b=1; print(a,b); print(a,b); for(i=1;i for(i=1;i=10;i+)=10;i+) c=a+b; c=a+b; print (c); print (c); a=b; a=b; b=c b=c； 数学建模：y y

3、1 1=y=y2 2=1=1，y yn n=y=yn-1n-1+y+yn-2n-2，n=3n=3，4 4，5 5，。第3页/共25页算法2 2： 表4-1 4-1 递推迭代表达式1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9a b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b a=b+c a b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b a=b+c b=a+c b=a+c 由此归纳出可以用“c=a+b; a=b+c; b=c+a;c=a+b; a=b+c; b=c+a;”做循环“不变式”。算法2 2如下： main( )main( ) int i,a=1,b=1

4、; int i,a=1,b=1; print(a,b); print(a,b); for(i=1; i for(i=1; i=4;i+)=4;i+) c = a + b ; a = b + c ; b = c + a ; c = a + b ; a = b + c ; b = c + a ; print(a,b,c); print(a,b,c); 算法2 2，最后输出的并不是1212项，而是2+32+3* *4 4共1414项。 第4页/共25页 表4-2 4-2 递推迭代表达式1 21 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 9a b a=a+b b=a+b a=a+b b=

5、a+b a b a=a+b b=a+b a=a+b b=a+b 由此归纳出可以用“a=a+b; b=a+b;a=a+b; b=a+b;”做循环“不变式”，从而得到以下算法3:3:main( )main( ) int i,a=1,b=1; int i,a=1,b=1; print(a,b); print(a,b); for(i=1; i for(i=1; i=5;i+)=5;i+) a = a + b ; b = a + b ; a = a + b ; b = a + b ; print(a,b); print(a,b); 第5页/共25页【例2 2】求两个整数的最大公约数。数学建模：辗转相除法

6、是根据递推策略设计的。不妨设两个整数abab且a a除以b b商x x余c c；则a-bx=ca-bx=c，不难看出a a、b b的最大公约数也是c c的约数（一个数能整除等式左边就一定能整除等式的右边），则a a、b b的最大公约数与b b、c c的最大公约数相同。同样方法推出b b、c c的最大公约数与，直到余数为0 0时，除数即为所求的最大公约数。算法设计：循环“不变式”第一次是求a a、b b相除的余数c c，第二次还是求“a a”“b b” 相除的余数，经a=b,b=ca=b,b=c操作，就实现了第二次还是求“a a”“b b” 相除的余数，这就找到了循环不变式。循环在余数c c为0

7、 0时结束。 第6页/共25页算法如下：mainmain（） int a, b; int a, b; input(a,b); input(a,b); if(b=0) if(b=0) print(“data error”); return; else else c = a mod b; c = a mod b; while c0 while c0 a=b; a=b; b=c; b=c; c=a mod b; c=a mod b; print(b); print(b); 第7页/共25页4.1.2 4.1.2 倒推法 所谓倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的，从 后向前推解问题的方法。如

8、下面的例题，因不同方面的需求而采用了倒推策略。例1在不知前提条件的情况下，经过从后向前递推，从而求解问题。即由结果倒过来推解它的前提条件。又如例2由于存储的要求，而必须从后向前进行推算。另外，在对一些问题进行分析或建立数学模型时，从前向后分析问题感到比较棘手，而采用倒推法（如例3），则问题容易理解和解决。下面分别看这几个例子：第8页/共25页【例1 1】猴子吃桃问题一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个，到第1010天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？数学模型：每天的桃子数为：a10=1, a9=(1+a10)a10=1, a9=(1+a10)* *2, a8=(1+a9)2, a

9、8=(1+a9)* *2,2,a10=1a10=1， 递推公式为：ai=(1+ai+1)ai=(1+ai+1)* *2 I = 9,8,7,62 I = 9,8,7,61 1算法如下 ： main( )main( ) int i,s; int i,s; s=1; s=1; for (i=9 ;i=1;i=i-1) for (i=9 ;i=1;i=i-1) s=(s+1) s=(s+1)* *2 2 print (s) print (s)； 第9页/共25页【例2 2】 输出如图4-14-1的杨辉三角形（限定用一个一维数组完成）。数学模型：上下层规律较明显，中间的数等于上行左上、右上两数之和。问

10、题分析：题目中要求用一个一维数组即完成。数组空间一定是由下标从小到大利用的，这样其实杨辉三角形是按下图4-24-2形式存储的。若求n n层，则数组最多存储n n个数据。1 11 11 11 2 11 2 11 3 3 11 3 3 11 1 4 6 4 14 6 4 1图4-2 杨辉三角形存储格式 算法设计： A1 = Ai=1A1 = Ai=1Aj = Aj + Aj-1 j=i-1Aj = Aj + Aj-1 j=i-1，i-2i-2，2 2i i行 i-1i-1行 i-1i-1行第10页/共25页算法如下：main( ) int n,i,j,a100;input(n); print(“1

11、”); print(“换行符”);a1=a2=1;print(a1,a2); print(“换行符”);for (i=3;i1，j=j-1) aj=aj+aj-1; for (j=1;j=i;j=j+1) print(aj); print(“换行符”); 第11页/共25页【例3 3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越10001000公里的沙漠。吉普车的总装油量为500500加仑，耗油率为1 1加仑/ /公里。由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮油量。 问题分析： 1 1）先看一简单问题：有一位探险家用5 5天的时

12、间徒步 横穿A A、B B两村，两村间是荒无人烟的沙漠，如果一 个人只能担负3 3天的食物和水，那么这个探险家至 少雇几个人才能顺利通过沙漠。 第12页/共25页 A A城雇用一人与探险家同带3 3天食物同行一天，然后被雇 人带一天食物返回，并留一天食物给探险家，这样探险 家正好有3 3天的食物继续前行，并于第三天打电话雇B B城 人带3 3天食物出发，第四天会面他们会面，探险家得到一 天的食物赴B B城。如图4-34-3主要表示了被雇用二人的行程。 A BA B 图4-3 4-3 被雇用二人的行程 2 2）贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达终 点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量

13、均为0 0。这样只 能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。第13页/共25页数学模型：根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段讨论。第一段长度为500500公里且第一个加油点贮油为500500加仑。第二段中为了贮备油，吉普车在这段的行程必须有往返。下面讨论怎样走效率高：1 1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。2 2）每次向前行进时吉普车是满载。3 3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。第14页/共25页下图是满足以上条件的最佳方案，此段共走3 3次：第一、二次来回耗油2/32/3贮油1/31/3，第三次耗油1/31/3贮油2/32/3，所以第二个加油点贮油为100

14、01000加仑。由于每公里耗油率为1 1加仑，则此段长度为500/3500/3公里。第三段与第二段思路相同。下图是一最佳方案此段共走5 5次：第一、二次来回耗油2/52/5贮油3/53/5，第三、四次来回耗油2/52/5贮油3/53/5，第五次耗油1/51/5贮油4/54/5，第三个加油点贮油为15001500加仑。此段长度为500/5500/5。 500/5500/5公里 第二 第三 终 点 贮 油 点 （ 5 0 05 0 0 ） 贮 油 点 （ 1 0 0 01 0 0 0 ） 贮 油 点（15001500）图4-4 4-4 贮油点及贮油量示意第15页/共25页综上分析，从终点开始分别间

15、隔 500500，500/3500/3，500/5500/5，500/7500/7，（公里）设立贮油点，直到总距离超过10001000公里。每个贮油点的油量为500500，10001000，15001500，。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决。变量说明：disdis表示距终点的距离，1000- 1000- disdis则表示距起点的距离，k k表示贮油点从后到前的序号。第16页/共25页desertdesert（ ） int dis int dis，k k，oil,k;oil,k; dis=500;k=1;oil=500;

16、dis=500;k=1;oil=500; do do p r i n t (p r i n t ( “ s t o r e p o i n ts t o r e p o i n t ” , k , k , ” d i s t a n c ed i s t a n c e ” , 1 0 0 0 -, 1 0 0 0 -dis,dis,”oilquantityoilquantity”,oil),oil)； k=k+1;k=k+1; dis=dis+500/(2 dis=dis+500/(2* *k-1);k-1); oil= 500 oil= 500* *k;k; while ( dis1000

17、) while ( dis1000) oil=500*(k-1)+(1000-dis)*( 2*k-1); print(print(“storepointstorepoint”,k,k,”distancedistance”,0,0,”oilquantityoilquantity”,oil),oil)； 第17页/共25页4.1.3 4.1.3 迭代法解方程迭代法解方程迭 代 法 解 方 程 的 实 质 是 按 照 下 列 步 骤 构 造 一 个 序 列x x0 0,x,x1 1, ,x,xn n, ,来逐步逼近方程f(x)=0f(x)=0的解： 1 1）选取适当的初值x x0 0； 2 2）确

18、定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0f(x)=0改 写为x=(x)x=(x)的等价形式； 构造序列x0，x1，xn，即先求得x1=(x0)，再求 x2=(x1)，如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数 (x)连续，则很容易得到这个极限值 x*就是方程f(x)=0的根。 第18页/共25页【例1 1】迭代法求方程组根算法说明：方程组解的初值X=X=（x0 x0，x1x1，xn-1xn-1）, ,迭代关系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,n-1),wxi=gi(X)(i=0,1,n-1),w为解的精度, ,则算法如下： forfor

19、(i=0;in;i+)(i=0;in;i+) xi=xi=初始近似根; ; do k=k+1;do k=k+1; for for (i=0;in;i (i=0;in;i yi=xi;yi=xi; forfor (i=0;in;i+) (i=0;in;i+) xi=gi(X);xi=gi(X); forfor (i=0;in;i+) c=c+fabs(yi-xi)(i=0;iw and kw and kmaxn )； forfor (i=0;in;i+)(i=0;in;i+) print(iprint(i，“变量的近似根是”，xi)xi)； 第19页/共25页【例2 2】牛顿迭代法 牛顿迭代法又

20、称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速度，如图4-54-5所示。首先, , 选择一个接近函数f(x)f(x)零点的x0, x0, 计算相应的f(x0)f(x0)和切线斜率f f(x0)(x0)（这里f f 表示函数f f的导数）。然后我们计算穿过点(x0,f (x0)(x0,f (x0)且斜率为f f (x0)(x0)的直线方程为：和x x轴的交点的x x坐标, , 也就是求如下方程的解：)()(000 xxxfxfy0000)()(xxxfxf图4-5 4-5 牛顿迭代法 示意图第20页/共25页迭代公式可化简为：此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, , 如果f f是连续的, , 并

21、且待求的零点x x是孤立的, , 那么在零点x x周围存在一个区域, , 只要初始值x0 x0位于这个邻近区域内, , 那么牛顿法必定收敛。 下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程根的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出。 第21页/共25页main( ) float a , b, c, d, fx; p r i n t ( 输 入 系 数 a,b,c,d:); input(a,b,c,d); fx=f(a,b,c,d); printf(方程的根为：,fx);第22页/共25页 令a0,b0=a,ba0,b0=a,b，c0=(a0+b0)/2c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0f(c0)=0，则c0c0为方程f(x)=0f(x)=0的根；否则，若f(a0)f(a0)与f(c0)f(c0)异号，即 f(a0)f(a0)* *f(c0)0f(c0)0，则令a1,b1=a0,c0a1,b1=a0,c0；若f(b0)f(b0)与 f ( c 0 )f ( c 0 ) 异 号 ， 即 f ( b 0