初三数学圆的简单证明与计算(3)

1、初三数学（下）初三数学（下）圆的简单证明与计算圆的简单证明与计算（3 3）类型类型 1 1与圆的基本性质有关的证明与计算与圆的基本性质有关的证明与计算1 1(2015(2015滨州滨州) )如图如图，o o 的直径的直径 abab 的长为的长为 1010，弦弦 acac 的长为的长为 5 5，acbacb 的平分线交的平分线交o o 于点于点 d.d.(1)(1)求弧求弧 bcbc 的长；的长；(2)(2)求弦求弦 bdbd 的长的长2 2(2014(2014广元广元) )如图如图，在锐角在锐角abcabc 中中，acac 是最短边是最短边，以以 acac 的中的中点点 o o 为圆心为圆心，

2、1 12 2acac 长为半径作长为半径作o o，交交 bcbc 于点于点 e e，过过 o o 作作 ododb bc c交交o o 于点于点 d d，连接连接 aeae，adad，dc.dc.(1)(1)求证：求证：d d 是是aeae的中点；的中点；(2)(2)求证：求证：daodaob bbadbad；(3)(3)若若s scefcefs socdocd1 12 2，且且 acac6 6，求求 cfcf 的长的长3 3(2015(2015广东广东) )o o 是是abcabc 的外接圆的外接圆，abab 是直径是直径，过过bcbc的中点的中点 p p作作o o 的直径的直径 pgpg

3、交弦交弦 bcbc 于点于点 d d，连接连接 agag，cpcp，pb.pb.(1)(1)如图如图 1 1；若；若 d d 是线段是线段 opop 的中点的中点，求求bacbac 的度数；的度数；(2)(2)如图如图 2 2，在在 dgdg 上取一点上取一点 k k，使使 dkdkdpdp，连接连接 ckck，求证求证：四边四边形形agkcagkc 是平行四边形；是平行四边形；(3)(3)如图如图 3 3，取取 cpcp 的中点的中点 e e，连接连接 eded 并延长并延长 eded 交交 abab 于点于点 h h，连连接接phph，求证：求证：phphab.ab.类型类型 2 2与圆的

4、切线有关的证明与计算与圆的切线有关的证明与计算1 1(2015(2015丽水丽水) )如图如图，在在abcabc 中中，ababacac，以以 abab 为直径的为直径的o o分别与分别与 bcbc，acac 交于点交于点 d d，e e，过点过点 d d 作作o o 的切线的切线 dfdf，交交 acac 于于点点f.f.(1)(1)求证：求证：dfdfacac；(2)(2)若若o o 的半径为的半径为 4 4，cdfcdf22.522.5，求阴影部分的面积求阴影部分的面积2 2(2015(2015资阳资阳) )如图如图，在在abcabc 中中，bcbc 是以是以 abab 为直径的为直径的

5、o o 的切的切线线，且且o o 与与 acac 相交于点相交于点 d d，e e 为为 bcbc 的中点的中点，连接连接 de.de.(1)(1)求证：求证：dede 是是o o 的切线；的切线；(2)(2)连接连接 aeae，若若c c4545，求求 sinsincaecae 的值的值3 3(2013(2013泸州泸州) )如图如图，d d 为为o o 上一点上一点，点点 c c 在直径在直径 baba 的延长线的延长线上上，且且cdacdacbd.cbd.(1)(1)求证：求证：cdcd2 2cacacbcb；(2)(2)求证：求证：cdcd 是是o o 的切线；的切线；(3)(3)过点

6、过点 b b 作作o o 的切线交的切线交 cdcd 的延长线于点的延长线于点 e e，若若 bcbc1212，tantancdacda2 23 3. .求求 bebe 的长的长4 4(2015(2015成都成都) )如图如图，在在 rtrtabcabc 中中，abcabc9090，acac 的垂直的垂直平分线分别平分线分别与与 acac， b bc c及及 a ab b的延长线相交于的延长线相交于点点 d d， e e， f f， 且且 bfbfbc.bc.o o是是befbef 的外接圆的外接圆，ebfebf 的平分线交的平分线交 efef 于点于点 g g，交交o o 于点于点 h h，

7、连接连接 bdbd，fh.fh.(1)(1)求证：求证：abcabcebfebf；(2)(2)试判断试判断 bdbd 与与o o 的位置关系的位置关系，并并说说明理由；明理由；(3)(3)若若 abab1 1，求求 hghghbhb 的值的值5 5(2014(2014德阳德阳) )如图如图，o o 中中，fgfg、acac 是直径是直径，abab 是弦是弦，fgfgabab，垂足为点垂足为点 p p，过点过点 c c 的直线交的直线交 abab 的延长线于点的延长线于点 d d，交交 gfgf 的延长线的延长线于点于点 e e，已知已知 abab4 4，o o 的半径为的半径为 5 5. .(

8、1)(1)分别求出线段分别求出线段 apap、cbcb 的长；的长；(2)(2)如果如果 oeoe5 5，求证：求证：dede 是是o o 的切线；的切线；(3)(3)如果如果 tanetane3 32 2，求求 dede 的长的长6 6(2014(2014攀枝花攀枝花) )如图如图，abcabc 的边的边 abab 为为o o 的直径的直径，bcbc 与圆交与圆交于点于点 d d，d d 为为 bcbc 的中点的中点，过过 d d 作作 dedeacac 于于e.e.(1)(1)求证：求证：ababacac；(2)(2)求证：求证：dede 为为o o 的切线；的切线；(3)(3)若若 ab

9、ab1313，sinbsinb12121313，求求 cece 的长的长7 7(2015(2015广元广元) )如图如图，abab 是是o o 的弦的弦，d d 为半径为半径 oaoa 的中点的中点，过过 d d作作 cdcdoaoa 交弦交弦 abab 于点于点 e e，交交o o 于点于点 f f，且且 cececb.cb.(1)(1)求证：求证：bcbc 是是o o 的切线；的切线；(2)(2)连接连接 afaf，bfbf，求求abfabf 的度数；的度数；(3)(3)如果如果 cdcd1515，bebe1010，sinasina5 51313，求求o o的半径的半径8 8(2015(2

10、015泸州泸州) )如图如图，abcabc 内接于内接于o o，ababacac，bdbd 为为o o 的弦的弦，且且 ababcdcd，过点过点 a a 作作o o 的切线的切线 aeae 与与 dcdc 的延长线交于点的延长线交于点 e e，a ad d与与 bcbc 交于点交于点 f.f.(1)(1)求证：四边形求证：四边形 abceabce 是平行四边形是平行四边形；(2)(2)若若 aeae6 6，cdcd5 5，求求 ofof 的长的长参考答案参考答案类型类型 1 1与圆的基本性质有关的证明与计算与圆的基本性质有关的证明与计算1 1(1)(1)连接连接 oc.oc.abab 为为o

11、 o 的直径的直径，acbacbadbadb9090. .在在 rtrtabcabc 中中，coscosbacbacacacabab5 510101 12 2，bacbac6060. .bocboc2 2bacbac120120. .弧弧 bcbc 的长为的长为1201205 518018010103 3. .(2)(2)连接连接 od.od.cdcd 平分平分acbacb，acdacdbcd.bcd.aodaodbodbod，adadbd.bd.badbadabdabd4545. .在在 rtrtabdabd 中中， bdbd2 22 2abab2 22 210105 5 2 2. .2.(

12、1)2.(1)证明证明：acac 为直径为直径，aecaec9090. .又又ododbcbc，ododae.ae.又又odod 为半径为半径，d d 为弧为弧 aeae 的中点的中点(2)(2)证明：延长证明：延长 adad 交交 bcbc 于点于点 g.g.d d 为弧为弧 aeae 的中点的中点，gcdgcdacd.acd.又又adcadc9090，gdcgdc9090. .又又 cdcd 公共公共，acdacdgcd.gcd.cadcadcgd.cgd.cgdcgdb bbadbad，daodaob bbad.bad.(3)(3)aoaococo，s saodaods scodcod.

13、 .s scodcod1 12 2s sacdacd. .又又s scefcefs socdocd1 12 2，s scefcefs sacdacd1 14 4. .acdacdfcefce，cefcefcdacda，cefcefcda.cda.cfcfcaca1 12 2. .cfcf1 12 2acac3.3.3.3.(1)(1)abab 为为o o 直径直径，点点 p p 是是bcbc的中点的中点，pgpgbcbc，即即odbodb9090. .d d 为为 opop 的中点的中点，odod1 12 2opop1 12 2ob.ob.coscosbodbodododobob1 12 2.

14、 .bodbod6060. .abab 为为o o 直径直径，acbacb9090. .acbacbodb.odb.acacpg.pg.bacbacbodbod6060. .(2)(2)证明：由证明：由(1)(1)知知，cdcdbdbd，bdpbdpcdkcdk，dkdkdpdp，pdbpdbkdckdc(sas)(sas)ckckbpbp，opbopbckd.ckd.ckckbp.bp.aogaogbopbop，aoaobobo，gogopopo，aogaogbop.bop.agagbp.bp.agagck.ck.opopobob，opbopbobp.obp.又又g gobpobp，g go

15、pbopb，agagbp.bp.agagck.ck.四边形四边形 agkcagkc 是平行四边形是平行四边形(3)(3)证明证明：cecepepe，cdcdbdbd，dedepbpb，即即 dhdhpb.pb.又又 obobopop，ohohod.od.在在ophoph 和和obdobd 中中，ohohodod，pohpohbodbod，opopobob，ophophobdobd(sas)(sas)ohpohpodbodb9090. .phphab.ab.类型类型 2 2与圆的切线有关的证明与计算与圆的切线有关的证明与计算1 1(1)(1)证明：连接证明：连接 od.od.obobodod，a

16、bcabcodb.odb.ababacac，abcabcacb.acb.odbodbacb.acb.ododac.ac.dfdf 是是o o 的切线的切线，dfdfod.od.dfdfac.ac.(2)(2)连接连接 oe.oe.dfdfacac，cdfcdf22.522.5，abcabcacbacb67.567.5. .bacbac4545. .oaoaoeoe，bacbacoeaoea4545. .aoeaoe9090. .o o 的半径为的半径为 4 4，s s阴影阴影s s扇形扇形 oaeoaes saoeaoe90904 42 23603601 12 24 44 44 48.8.2.

17、(1)2.(1)证明：连接证明：连接 odod，bd.bd.ododob.ob.odbodbobd.obd.abab 是直径是直径，adbadb9090. .cdbcdb9090. .e e 为为 bcbc 的中点的中点，dedebe.be.edbedbebd.ebd.odbodbedbedbobdobdebdebd，即即edoedoebo.ebo.bcbc 是以是以 abab 为直径的为直径的o o 的切线的切线，ababbc.bc.eboebo9090. .odeode9090. .dede 是是o o 的切线的切线(2)(2)作作 efefcdcd 于于 f f，设设 efefx xc

18、c4545，cefcef、abcabc 都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形cfcfefefx.x.bebecece 2 2x.x.ababbcbc2 2 2 2x.x.在在 rtrtabeabe 中中，aeae abab2 2bebe2 2 1010 x x，sinsincaecaeefefaeae10101010. .3 3(1)(1)证明证明：cdacdacbdcbd，c cc c，cadcadcdbcdb，cacacdcdcdcdcbcb. .cdcd2 2cacacb.cb.(2)(2)证明：连接证明：连接 odod，abab 是是o o 的直径的直径，adbadb9090. .ob

19、obodod，obdobdodb.odb.obdobdcdacda，cdacdaodb.odb.odcodcadbadb9090. .cdcd 是是o o 的切线的切线(3)(3)tantancdacda2 23 3，tantancbdcbd2 23 3. .在在 rtrtabdabd 中中， tantancbdcbdadadbdbd2 23 3， 由由(1)(1)得得cadcadcdbcdb，cdcdbcbcadadbdbd2 23 3. .cdcd8.8.设设 bebex x，则则 dedex.x.由勾股定理得由勾股定理得 x x2 212122 2(x(x8)8)2 2. .解得解得 x

20、 x5 5，即即 bebe5.5.4.(1)4.(1)证明：由已知条件易得证明：由已知条件易得，abcabcebf.ebf.cdecdefbefbe9090，cedcedfebfeb，dcedceefb.efb.又又 bcbcbfbf，abcabcebfebf(asa)(asa)(2)(2)bdbd 与与o o 相切相切理由理由：连接连接 obob，则则dbcdbcdcbdcbofbofbobfobf，dbodbodbcdbceboeboobfobfeboebo9090. .dbdbobob，即即 bdbd 与与o o 相切相切(3)(3)abcabcebfebf，ababbe.be.abea

21、be 为等腰直角三角形为等腰直角三角形连接连接 eaea，eheh，由于由于 dfdf 为为 a ac c垂直平分线垂直平分线，ceceeaea 2 2abab 2 2，bfbfbcbc1 1 2 2. .efef2 2bebe2 2bfbf2 21 1(1(12 2) )2 24 42 22 2. .又又bhbh 为为ebfebf 平分线平分线，ebhebhefhefhhbfhbf4545. .ghfghffhb.fhb.ghfghffhb.fhb.hfhfhbhbhghghfhf，即即 hghghbhbhfhf2 2. .在等腰在等腰 rtrthefhef 中中 efef2 22hf2hf

22、2 2，hghghbhbhfhf2 21 12 2efef2 22 2 2 2. .5.5.(1)(1)acac 为直径为直径，abcabc9090. .在在 rtrtabcabc 中中，acac2 2 5 5，abab4 4，bcbc acac2 2abab2 22.2.直径直径 fgfgabab，apapbpbp1 12 2abab2.2.(2)(2)证明证明：apapbpbp，opop 为为abcabc 的中位线的中位线opop1 12 2bcbc1.1.ococopop5 51 1. .而而oeoeoaoa5 55 5 5 5，ococopopoeoeoaoa. .eoceocaopa

23、op，eoceocaop.aop.oceoceopaopa9090. .ococde.de.dede 是是o o 的切线的切线(3)(3)bcbcepep，dcbdcbe.e.tantandcbdcbtanetane3 32 2. .在在 rtrtbcdbcd 中中，bcbc2 2，tantandcbdcbbdbdbcbc3 32 2，bdbd3.3.cdcd bcbc2 2bdbd2 2 1313. .bcbcepep，dcdcdededbdbdpdp，即即1313dede3 33 32 2. .dede5 5 13133 3. .6.(1)6.(1)证明：连接证明：连接 ad.ad.aba

24、b 是是o o 的直径的直径，adbadb9090. .adadbc.bc.又又 d d 是是 bcbc 的中点的中点，ababac.ac.(2)(2)证明：连接证明：连接 od.od.o o、d d 分别是分别是 abab、bcbc 的中点的中点，ododac.ac.odeodedecdec9090. .ododde.de.dede 是是o o 的切线的切线(3)(3)abab1313，sinbsinb12121313，adadabab12121313. .adad12.12.由勾股定理得由勾股定理得 bdbd5 5，cdcd5.5.b bc c，dedecdcd12121313. .ded

25、e60601313. .根据勾股定理得根据勾股定理得 cece25251313. .7.(1)7.(1)证明：连接证明：连接 obob，则有则有aboabobaobao，rtrtaedaed 中中，baobaoaedaed9090，而而aedaedcebceb，aboabocebceb9090. .在在cebceb 中中，cececbcb，cbecbeceb.ceb.又又aboabocebceb9090，aboabocbecbe9090，即即 bcbcob.ob.bcbc 是是o o 的切线的切线(2)(2)连接连接 ofof，d d 是是 aoao 中点中点，且且 dcdcaoao，直线直线

26、 dcdc 是线段是线段 oaoa 的垂直平分线而点的垂直平分线而点 f f 在在 dcdc 上上，afafof.of.在在aofaof 中中，afafofofoaoa，aofaof 是等边三角形是等边三角形，aofaof6060. .abfabf1 12 2aofaof3030. .(3)(3)取取 bebe 中点中点 g g，则则 egeg1 12 2bebe5 5，连接连接 cg.cg.cececbcb，cgcgbe.be.在在cegceg 和和aedaed 中中，cgecge9090adeade，cegcegaedaed，cegcegaed.aed.ecgecgeadead，在在 rt

27、rtcegceg 中中，egegcecesinsinecgecgsinasina5 51313，即即5 5cece5 51313，cece13.13.则则 dedecdcdcece151513132 2，cgcg cece2 2egeg2 213132 25 52 21212，cegcegaedaed，egegededcgcgadad，5 52 21212adad. .adad24245 5. .又又d d 是是 aoao 中点中点，aoao2ad2ad48485 5，即即o o 的半径为的半径为48485 5. .8.(1)8.(1)证明证明：aeae 与与o o 相切于点相切于点 a a，eaceacabc.abc.ababaca