第二类面积分PPT课件

1、其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲有向曲面面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性对坐标的曲面积分的概念与性质质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析: 若 是面积为S

2、的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页对一般的对一般的有向曲面有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosi

3、iiin设, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义定义.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQd

4、d称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记 正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页3. 性质性质(1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用 表示 的反向曲面, 则 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA

5、d机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理: 设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(),

6、 (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页例例1. 计算计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxx

7、zyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页解: 把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考: 下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积计算曲面积分分,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDy

8、xzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页例例3. 设设S 是球是球面面1222zyx的外侧 , 计算SxxzyI2cosdd2解: 利用轮换对称性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22机动 目录 上页 下页 返回 结束

9、第12页/共27页四、两类曲面积分的联四、两类曲面积分的联系系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)机动

10、目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页例例4. 位于原点电量为位于原点电量为 q 的点电荷产生的电的点电荷产生的电场为场为解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页yxz111例例5. 设设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页221c

11、osyxx例例6. 计算曲面积计算曲面积分分其中解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz机动 目录 上页 下页 返回

12、结束 第18页/共27页内容小结内容小结定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页2. 常用计算公式及方常用计算公式

13、及方法法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页当当yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .机动 目录 上页 下

14、页 返回 结束 第22页/共27页思考与练习思考与练习1. P167 题2提示: 设,),( ,0:yxDyxz则 取上侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P184 题 13. P167 题3(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上侧 , 计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示:求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167 题题3(3). 设设作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页,ddddddzyxyxzxzyI备用题备用题 求求1:222222czbyax取外侧 .解:zyxdddxdycyxDbyax,2222111dxdy