空间几何体的表面积与体积1PPT课件

1、第1页/共67页1.空间几何体的侧面积和表面积(1)简单几何体的侧面展开图的形状名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图圆圆 柱柱_圆圆 锥锥_矩形扇形第2页/共67页名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图圆圆 台台扇环扇环直棱柱直棱柱_矩形第3页/共67页名称名称侧面展开图侧面展开图形状形状侧面展开图侧面展开图正正 n n棱锥棱锥n n个全等的个全等的_正正 n n棱台棱台n n个全等的个全等的等腰梯形等腰梯形等腰三角形第4页/共67页(2)多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和.

2、(3)旋转体的侧面积和表面积若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧=_,S表=_=_.2rl2r2+2rl2r(r+l)第5页/共67页若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧=_,S表=_=_.若圆台的上下底面半径分别为r,r，母线长为l，则S侧=_,S表=_.若球的半径为R，则它的表面积S=_. rl(r+r)l(r2+r2+rl+rl)4R2r2+rlr(r+l)第6页/共67页2.几何体的体积公式几何体名称几何体名称体积体积棱棱( (圆圆) )柱柱V=_(SV=_(S为底面面积，为底面面积，h h为高为高) )棱棱( (圆圆) )锥锥V=_(SV=_(S为底面面积，为底面面积，h h

3、为高为高) )棱棱( (圆圆) )台台V=_V=_(S,S(S,S为上、下底面面积，为上、下底面面积，h h为高为高) )球球V=_(RV=_(R为球半径为球半径) )1Sh31(SSSS)h3 34R3Sh第7页/共67页判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)长方体的体积等于长、宽、高之积.( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )(3)球的体积之比等于半径比的平方.( )(4)台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差.( )(5)直径为1的球的表面积S=4r2=4. ( )第8页/共67页【解析】(1)正确.长方体是一种特殊的直四棱柱，其体积V=Sh=abc(其中a,

4、b,c分别为长方体的长、宽、高).(2)错误.锥体的体积等于底面面积与高之积的 (3)错误.因为球的体积 故球的体积之比等于半径比的立方.1.334VR3，第9页/共67页(4)正确.由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的体积之差.(5)错误.直径为1的球的半径为 故其表面积S=4r2=4( )2=.答案:(1) (2) (3) (4) (5)12，12第10页/共67页1.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( )(A)8 (B)6 (C)4 (D)【解析】选C.正方体的体积是8，正方体的棱长为2，故内切球的半径r=

5、1，球的表面积S=4r2=4.第11页/共67页2.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )(A)48(3+ ) (B)48(3+2 )(C)24( ) (D)144【解析】选A.正六棱柱的表面积为33164 644sin 601214448 348(33).2 62第12页/共67页3.直角三角形两直角边AB=3，AC=4，以AB为轴旋转一周所得的几何体的体积为( )(A)12 (B)16 (C)9 (D)24【解析】选B.由题意知，该几何体是底面半径为4，高为3的圆锥，故其体积21V4316 .3第13页/共67页4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积

6、为_ cm2.【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为3，母线长l=5,S侧= 235=15 (cm2).答案:1512第14页/共67页5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为_.【解析】由三视图可知，该几何体是一个长方体与一个圆柱的组合体，则V=884+424=256+64.答案:256+64第15页/共67页考向 1 几何体的折叠与展开【典例1】(1)如图，在三棱柱ABC -ABC中，ABC为等边三角形，AA平面ABC，AB=3,AA=4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为 ，设这条路线与CC的交点为N，则PC=_，NC=_.29

7、第16页/共67页(2)如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.第17页/共67页【思路点拨】(1)可将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，然后利用平面几何的知识解决.(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解.第18页/共67页【规范解答】(1)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如图所示：设PC=x,则MP2=MA2+(AC+x)2.MP= ，MA=2，AC=3，x=2,即PC=

8、2.又NCAM， 即 ，答案:229PCNCPAAM，2NC524NC.545第19页/共67页(2)由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P-ABCD，其中PD平面ABCD，因此该四棱锥的体积 而棱长为6的正方体的体积 故需要 个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体.答案:31V6 6 6723 ，V6 6 6216 ，216372第20页/共67页【互动探究】保持本例题(1)条件不变，则一只蚂蚁从B点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达B点的最短路线的长为_.【解析】由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，故其最短路线的长为 答案:229497.97第21页/共67

9、页【拓展提升】1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的距离.第22页/共67页2.解决折叠问题的技巧(1)解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化.(2)折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化.第23页/共67页【变式备选】(1)如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是_.第24页/共67

10、页【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成的大致图象为如图所示的平面图形，连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短距离.AB=AB=2,AA为底面圆的周长，则AA=21=2，即蚂蚁爬行的最短距离为答案:2222ABA BAA4(2 )2 1 ，22 1.22 1第25页/共67页(2)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_.【解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为 连接顶点和底面中心即为高，可得高为 所以体积为答案:122V1 1.326 22，32，26第26页/共67页考向 2 空间几何体的表面积【典例

11、2】(1)(2012北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )(A)28+ (B)30+ (C)56+ (D)60+6 56 512 512 5第27页/共67页(2)(2012辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_.第28页/共67页【思路点拨】(1)由三视图还原直观图，再求表面积.(2)读懂三视图，该几何体为长方体挖掉一个底面直径为2的圆柱，分别求表面积，注意减掉圆柱的两个底面积.第29页/共67页【规范解答】(1)选B.直观图如图所示:底面是边长AC=5，BC=4的直角三角形，且过顶点P向底面作垂线PH，垂足在AC上，AH=2，HC=3,PH=4.

12、SABC= 45=10，SPAC= 54=10.1212第30页/共67页因为PH平面ABC，所以PHBC.又因为BCAC，PHAC=H，所以BC平面PAC，所以BCPC.所以SPBC= 45=10.在PAB中，PA= ，PB=AB= ，取PA中点E，连接BE，则BE=6，所以SPAB= 6= .因此三棱锥的表面积为12122 5412 56 51010106 5306 5.第31页/共67页(2)长方体的长、宽、高分别为4，3，1，表面积为432+312+412=38；圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为211=2；圆柱的两个底面积和为212=2，故该几何体的表面积为38+2-2=38

13、.答案:38第32页/共67页【拓展提升】1.多面体的表面积的求法求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系.2.旋转体的表面积的求法圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.第33页/共67页【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理.第34页/共67页【变式训练】(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )(

14、A)48 (B)32+8(C)48+8 (D)801717第35页/共67页【解析】选C.由三视图知几何体的直观图如图所示；为以四边形ABCD为底面的直四棱柱，且AB= ，AD=4，BC=2，则其侧面积为 两底面面积为 故几何体的表面积为17(242 17)4248 17，(42)42242，488 17.第36页/共67页(2)(2013长春模拟)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_.【解析】由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去半球体，故所求表面积为S=4+8+4-+2=16+.答案:16+第37页/共67页考向 3 空间几何体的体积【典例3】(1)(2013皖南八校联考)

15、已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )第38页/共67页(A) (B)(C) (D)2132216641362132第39页/共67页(2)(2012天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.第40页/共67页【思路点拨】(1)该几何体是半球与三棱锥的组合体.(2)根据三视图得到几何体的直观图，结合相应的数据，利用柱体的体积公式求解.【规范解答】(1)选C.由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得3142

16、1121V()1 1 1.2323266 第41页/共67页(2)组合体的底座是一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体，上面是一个平躺着的高为4的四棱柱，其两个底面的面积为 所以所求的体积是答案:3032，3V43 4262430.2 第42页/共67页【拓展提升】1.求几何体体积的类型及思路(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.第43页/共67页2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关

17、系第44页/共67页【变式训练】(2012天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3.第45页/共67页【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为6，3，1的长方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体积是V=2V球+V长方体=2 ( )3+631=18+9.答案:(18+9)324332第46页/共67页【易错误区】求球的组合体体积时的易错点【典例】(2012新课标全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )(A) (B) (C) (D)【误区警示】本题易出现

18、的错误主要是不能根据SC为球O的直径将三棱锥的体积进行合理转化，从而无法求解或求解错误.26362322第47页/共67页【规范解答】选A.由于三棱锥S -ABC与三棱锥O-ABC的底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，所以三棱锥S -ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍.在三棱锥O-ABC中，其棱长都是1，如图所示：第48页/共67页SABC= ，高VSABC =2VO-ABC=233AB442236OD1()33，13622.3436第49页/共67页【思考点评】1.与球有关的组合体问题的求解解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面

19、来分析.例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切，过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰ABC的内切圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面的直径，D是圆锥底面的圆心.第50页/共67页用同样的方法可得以下结论：(1)长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的6个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线.(2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.(3)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.第51页/共67页2

20、.空间几何体的切割问题在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积. 第52页/共67页1.(2012浙江高考)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )(A)1 cm3 (B)2 cm3 (C)3 cm3 (D)6 cm3第53页/共67页【解析】选A.由几何体的三视图可知，该几何体是有三个面为直角三角形的四面体，如图所示：三棱锥的底面三角形中直角边长分别为1，2，高为3，故V= S底h= 123=1(cm3).13

21、1312第54页/共67页2.(2012广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )(A)72 (B)48 (C)30 (D)24第55页/共67页【解析】选C.利用三视图还原几何体，结合直观图求解.由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V=V半球+V圆锥=3214133430 .233第56页/共67页3.(2013昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于( )(A) (B) (C) (D)22232第57页/共67页【解析】选B.由三视图得该几何体是三棱锥V-AB