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文档简介
1、精品资料欢迎下载函数可积与存在原函数的关系本文在区间 a,b上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系, 存在定积分不一定存在原函数,存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。一、存在定积分但不存在原函数的例子定义函数如下:0, x0,1/ 2) (1/ 2,1f ( x)1/ 21, x该函数显然有界, x=1/2 为其唯一的间断点(而且是第一类的),因而可积,1f ( x)dx0 。但因为其有第一类间断点,所以不存在原函数(这个结论是利用0导函数连续性定理得出来的,关于这个定理见本文附录)。可能有人会想到积分上限函数,它的积分上限函数不是原函数吗?我
2、们看看它的积分上限函数,容易求得xF ( x)f (t )dt00显然它的导数并不是 f(x),而是 f(x)在 x=1/2 处作连续开拓后的函数。 关于积分上限函数和原函数之间的关系问题, 在学了实变函数这门课后将会变得很简单, 这里不再深入讨论。二、存在原函数但不存在定积分的例子。定义函数如下:2x sin 12 cos 1,0 x 1f (x)x 2xx20, x0首先证明,这个函数存在原函数,我们指出,下面这个函数就是它的原函数:F (x)x2 sin 1,0 x 1x20, x 0为此目的,只需证明 F ' ( x)f (x) 对任何 x0,1 成立,而 0<x1 时该
3、式的成立是显然的,关键是证明 F '(0)f(0) ,这里的 F ' (0) 要理解为单侧导数。因为limF ( x) F (0)lim xsin10,这表明 F '(0) 存在,并且 F '(0)f (0) ,这就证x0x2x 0x 0精品资料欢迎下载明了 F ( x) 是 f ( x) 在原函数,即 f ( x) 在原函数存在。现在来考虑 f (x) 的定积分是否存在,其实容易看出它在闭区间0,1 无界,因为任意0 ,函数 f (x) 在区间 (0,)无界,在这个区间上, 2x sin 12 是无穷小x量和有界量的乘积,是无穷小量,但2 cos 12 这一项
4、却是在正无穷与负无穷之xx间 反复 振动 的 量, 例如 取 x xn1,则其值为1,但若取2n2n2x yn1,则其值为 1( 21), 只 要 n充分大,便可使(2n1)2nxn , yn(0, ) ,同时 f ( xn ) , f ( yn ) 却可以大于任何预先给定的正数。这就是说,任意0 ,函数 f ( x) 在区间 (0, )无界,从而在闭区间 0,1 无界,而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的,所以f ( x) 的定积分不存在。综合上面的结果, 函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。下面是关于导函数连续性定理的资料:导函数连续性定理 :若函数 f ( x) 在 x0
5、 的邻域 U (x0 ) 内连续,在 x0 的0空心邻域 U ( x0 ) 内可导,并且导函数f ' ( x0 ) 在 x0 处存在极限 a ,lim f '(x0 ) a ,那么函数 f ( x) 在 x0处存在导数,并且 f ' (x0 ) a 。x x0证明:设 xx0 ,xU ( x0 ) ,则 f (x) 在闭区间 x, x0 上连续,开区间 (x, x0 )内可导,于是由拉格朗日中值定理得f ( x)f ( x0 ) ,其中( x, x0 )xx0f ' (在上式中令 xx0(即 x 从左侧趋向 x0,此时也从左侧趋向 x0 ),得到f (x)f (x0 )lim f ' ( )a ,即 f'( x0 )alimxx0x x0x x0精品资料欢迎下载这表明 f ( x) 在 xx0 处左导数存在,且等于 a ,同理可证明右导数存在,也等于 a ,从而f ( x) 在 x x0 处存在导数,且等于 a 。注:条件中 f (x) 在 x0 处的连续性不可缺, 因为拉格朗日中值定理要
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