2016考研数学真题问题详解解析汇报数一

1、实用标准文档 文案大全 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设函数()fx在?（-,+）连续，其2阶导函数()fx?的图形如下图所示，则曲线()yfx?的拐点个数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()fx?的图形可知，曲线()yfx?存在两个拐点，故选(C). 2、设2112

2、3xxyexe?是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce?的一个特解，则（） （A）3,1,1.abc? （B）3,2,1.abc? （C）3,2,1.abc? （D）3,2,1.abc? 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】 【详解】211,23xxee?为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0ab?的根，从而?123,122,ab?再将特解xyxe?代入方程32xyyyce?得：1.c? 实用标准文档 文案大全 3、若级数1nna? 条件收敛，则3x?与3x?依次为幂级数?11nnnnax?的： （A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点

3、，收敛点 （D）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】 【详解】因为1nna?条件收敛，故2x?为幂级数?11nnnax?的条件收敛点，进而得?11nnnax?的收敛半径为1，收敛区间为?0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故?11nnnnax?的收敛区间仍为?0,2， 因而3x与3x?依次为幂级数?11nnnnax?的收敛点、发散点. 4、设D是第一象限中曲线21,41xyxy? 与直线,3yxyx?围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy? （A ）12sin2142sin2(cos,sin)dfrrrdr? （B ）1sin2

4、2142sin2(cos,sin)dfrrrdr? （C ）13sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr? （D ）1sin23142sin2(cos,sin)dfrrdr? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】 【详解】由yx? 得，4? ；由3yx? 得，3? 由21xy? 得，212cossin1,sin2rr? 由41xy? 得，214cossin1,2sin2rr? 实用标准文档 文案大全 所以1sin23142sin2(,)(cos,sin)Dfxydxdydfrrrdr? 5、设矩阵21111214Aaa?，21bdd?，若集合1,2?，则线性方程

5、组Axb?有无穷多个解的充分必要条件为 （A）,ad? （B）,ad? （C）,ad? （D）,ad? 【答案】(D) 【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】 【详解】?2211111111,12011114001212Abadadadaadd? Axb?有无穷多解()(,)3RARAb? 1a?或2a?且1d?或2d? 6、设二次型123(,)fxxx在正交变换xPy?下的标准形为2221232yyy?，其中 123(,)Peee?，若132(,)Qeee?，则123(,)fxxx在正交变换xQy?下的标准形为 （A）2221232yyy? （B）2221232yyy? （C）22212

6、32yyy? （D）2221232yyy? 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】 【详解】由xPy?，故222123()2TTTfxAxyPAPyyyy?且：200010001TPAP? 实用标准文档 文案大全 100200001,()010010001TTTQPPCQAQCPAPC? 所以222123()2TTTfxAxyQAAyyyy?，故选(A) 7、若,AB为任意两个随机事件，则 （A）()()()PABPAPB? （B）()()()PABPAPB? （C ）()()()2PAPBPAB? （D ）()()()2PAPBPAB? 【答案】(C) 【考点】 【难易度】 【详解】)(

7、)(),()(ABPBPABPAP? )(2)()(ABPBPAP? ()()()2PAPBPAB?故选（C） 8、设随机变量X,Y不相关，且2,1,3,EXEYDX?则?2EXXY? （A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5 【答案】(D) 【考点】 【难易度】 【详解】 ?22222225EXXYEXXYXEXEXYEXDXEXEXEYEX? 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9 、20lncoslimxxx? 【答案】12? 【考点】极限的计算 实用标准文档 文案大全 【难易度】 【详解】2222200001lncosln(1cos1)cos

8、112limlimlimlim2xxxxxxxxxxxx? 10 、2-2sin()1cosxxdxx? 【答案】24? 【考点】积分的计算 【难易度】 【详解】2220-2sin()21cos4xxdxxdxx? 11、若函数(,)zzxy?由方程+cos2zexyzxx? 确定，则(0,1)dz?. 【答案】 【考点】隐函数求导 【难易度】 【详解】令(,)cos2zFxyzexyzxx?，则1sinxFyzx?，yFxz?，zFxy?，又当0,1xy?时，0z? ，所以(0,1)1xzFzxF? ，(0,1)0yzFzyF?，因而(0,1)dzdx? 12、设?是由平面1xyz?与三个坐

9、标平面所围成的空间区域，则 (23)xyzdxdydz? ? 【答案】14 【考点】三重积分的计算 【难易度】 【详解】由轮换对称性，得 x+2y+3z()dxdydzWòòò=6zdxdydzWòòò=6zdz01òdxdyDzòò 实用标准文档 文案大全 其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为1 21-z()2.所以 x+2y+3z()dxdydzWòòò=6zdxdydzWòòò=6z×1 21-z()2dz=01&

10、#242;3z3-2z2+z()dz=01ò1 4 13、n阶行列式2002-1202002 2 0 0 -12? 【答案】122n? 【考点】行列式的计算 【难易度】 【详解】按第一行展开得 =2n+1-2 14、设二维随机变量( ,)XY服从正态分布(1,0,1,1,0)N，则(0)PXYY?. 【答案】12 【考点】 【难易度】 【详解】 (,)(1,0,1,1,0)XYN，(1,1),(0,1),XNYN?且,XY独立 1(0,1)XN?，?0(1)0PXYYPXY? ?10,0100PXYPXY? ? ?，1111122222? 实用标准文档 文案大全 三、解答题：1523

11、小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分） 设函数()ln(1)sinfxxaxbxx?，3()gxkx?，若()fx与()gx在0x?是等价无穷小，求a，b，k值。 【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】 【详解】()ln(1)sinfxxaxbxx? ? ?23333233!xxxxaxxbxxx? ? ?233 123aaaxbxxx? 3()()fxgxkx?与是等价无穷小 1+0110 22133aaabbakk? 16、（本题满分10分） 设函数在()fx定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI?，曲线()

12、yfx?在点00(,()xfx处的切线与直线0xx?及x轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f?，求()fx的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】 【详解】如下图： 实用标准文档 文案大全 0xx?处的切线方程为l：000()()()yfxxxfx? l与x轴的交点为：0y? 时，000()()fxxxfx? ，则000()()fxABxxfx?， 因此 ，000011()()()422()fxSABfxfxfx?.即满足微分方程 ：218yy?，解得 ：118xcy?. 又因(0)2y? ，所以12c? ，故84yx?. 17、（本题满分10分） 已知函数xyyxyxf?),(，曲线3:2

13、2?xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数. 【考点】方向导数，条件极值 【难易度】 【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故 ?xyyxgradf?1,1),( 故),(yxf在曲线C 上的最大方向导数为?22)1(1xy?，其中yx,满足322?xyyx，即就求函数22)1()1(xyz?在约束条件0322?xyyx下的最值. 构造拉格朗日函数?),(?yxF)3()1()1(2222?xyyxxy? 实用标准文档 文案大全 令?0302)1(202)1(222xyyxFxyyyFyxxxF?可得)1,1(),1,1(?)2,1(

14、),2,2(,? 其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(?zzzz 综上根据题意可知),(yxf在曲线C上的最大方向导数为3. 18、（本题满分10分） ()设函数(),()uxvx可导，利用导数定义证明 ()()'='()()()()'uxvxuxvxuxvx? ()设函数12(),().()nuxuxux可导，12()()().(),nfxuxuxux?写出()fx的求导公式. 【考点】导数定义 【难易度】 【详解】? ? ? ?'00''()lim()()() lim ()()xxuxxvxxuxvxuxvxxuxxuxvx

15、xuxvxxvxxuxvxuxvx? ? ? ?''12''1212''12123'''121212()()()() ()()()()()() ()()()()()()() ()()()()()()()()nnnnnnnnfxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxu? ?()x 实用标准文档 文案大全 19、（本题满分10分） 已知曲线L 的方程为222,zxyzx? 起点为(0,2,0)A ，终点为(0,2,0)B?，计算曲线积分2222()()()LIyzdxz

16、xydyxydz? 【考点】曲线积分的计算 【难易度】 【详解】曲线L 的参数方程为cos,2sin,cos,xyz? 从2? 到2? 2222()()()LIyzdxzxydyxydz? 22222322222202(2sincos)sin2sin2cos(cos2sin)sin12sinsin2sinsin2122sin22sin22222dddd? 20、（本题满分11分） 设向量组123,?是3维向量空间 3的一个基，11322k?，222?，313(1)k?。 （）证明向量组123,?是 3的一个基； （）当k为何值时，存在非零向量?在基123,?与基123,?下的坐标相同，并求出所

17、有的?。 【考点】线性无关，基下的坐标 【难易度】 【详解】（）123(,)?123201(,)020201kk? 实用标准文档 文案大全 因为2012102024021201kkkk?， 所以123,?线性无关，123,?是 3的一个基。 （）设201020201Pkk?，P为从基123,?到基123,?的过渡矩阵，又设?在基123,?下的坐标为123(,)Txxxx?，则?在基123,?下的坐标为1Px?， 由1xPx?，得Pxx?，即()0PEx? 由101110100220PEkkkkk?，得0k?，并解得10,1xcc?为任意常数。 从而?13,ccc?为任意常数。 21、（本题满分

18、11分） 设矩阵02-3-1331-2Aa?相似于矩阵1-2000031Bb?. （）求,ab的值. （）求可逆矩阵P，使得1PAP?为对角阵. 【考点】相似矩阵，相似对角化 【难易度】 【详解】由02313312Aa?相似于12000031Bb? 实用标准文档 文案大全 则0311023120,1330012031abba?解得4,5ab? 223()|133(1)(5)0124AfEA? 当121,?123123()123000123000EA? 特征向量12231,001?， 当35231231015,()123121011121523000EA? 则特征向量311,1?所以123231(,)101,011P?得1100010005PAP? 22、（本题满分11分） 设随机变量X的概率密度为 -2ln20()=00xxfxx? 对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数. （）求Y的概率分布； （）求EY. 【考点】 【难易度】 【详解】?23132ln8xPxdx? 实用标准文档 文案大全 （?）?1222211717()()(1)()(),2,3,4.8888kkkPYkCkk? （? ）222221717(1)()()(1)()88648kkKkEYkkkk?