13页练习专插本高等数学

1、实用标准文档 文案大全 第一章 函数、极限和连续 注：补充例题或习题已在题号前标注* 一、函数 例1（1）求函数? ?21ln21fxxx?的定义域.（2）求函数? ?21,2132,23xxfxxx?的定义域. 例2设函数?2gxx?，?ln2fgxx?，则?1f? . 例3已知?ln1fxx?，?fxx?，求?x?. 例4 若11xxx?，则?x? . 例5已知?fx的定义域为全体实数，?11fxxx?，则?1fx? . 例6判断函数? ?2lg1fxxx?的奇偶性. 二、极限 例1求下列各题的极限 （1 ）22011limsin2xxx?.（2 ）322232lim6xxxxxx?.（3

2、 ）2112lim11xxx?.（4 ）?22lim2xxxxx?. 例2设当0x? ，211ax?与2sinx是等价无穷小，则a? . 例3当0x?时，下列变量与x为等价无穷小量的是（ ）. A.sin2x B.1cosx? C.11xx? D.sinxx 例4求下列各题的极限 （1 ）0tan2limsin5xxx?.（2 ）30tansinlimsinxxxx?. 例5求下列各题的极限 （1 ）11201lim1xxx?.（2 ）322limxxxx?.（3 ）421lim1xxxx?.（4 ）lim2xxxaxa?（其中a为常数）. *例5求下列各题的极限 （1 ）10lim3xxxx

3、xabc?.（2 ）21limcosxxx?.（3 ）201tan1sinlim1sinxxxxxx?. 例6求下列各题的极限 （1 ）sinlimxxx?.（2 ）23coslim1xxxxx?. 实用标准文档 文案大全 例7 2111lim.2n?. 例8在下列函数中，当0x?时，函数?fx极限存在的是（ ）. A.?1,00,01,0xxfxxxx? B. ? ?,01,0xxfxxx? C. ? ?1,020,01,02xxfxxxx? D.?1xfxe? 例9（1 ）22212lim.nnnnn?.（2 ）10111011.lim.nnnnmmxmmaxaxaxabxbxbxb?.

4、（3 ）lim2sin2nnnx?.（4 ）01cos2limsin2xxxx?. （5 ）已知233lim43xxkxx?，求常数k的值.（6 ）已知222lim22xxaxbxx?，求常数,ab的值. 三、函数的连续性 例1设函数?1sin,0,01sin1,0xxxfxkxxxx?在其定义域内连续，求常数k的值. 例2设函数?22,0,01,1xxfxxaxbxx?在?,?上连续，求常数,ab的值. 例3设函数?21,0,012,12xxfxxxxx?，讨论?fx的间断点及其类型. 例4求下列函数的间断点并说明间断点类型 （1）? ?22132xfxxx?.（2）? ?2112xxfxx

5、?. 例5证明方程42xx? 在10,2?内至少有一个实根. 例6设?2xfxe?，求证?fx在?0,2内至少有一个点0x，使002xex?. 第二章 一元函数微分学 实用标准文档 文案大全 一、导数与微分 例1设?yfx?在0x处可导，则? ?0002limhfxhfxh? ; ? ?000limxfxxfxxx? . 例2求下列函数的导数 （1 ）21lnyx?.（2 ）arctanxye?.（3）?2321sin2secxyxe?.（4 ）ln2xxy?. （5）?2yfxx?，其中?fu及?x?均可导. （6）已知?fu可导，求?lnfx?、?nfxa?和?nfxa?. （7 ）设11

6、xyfx?，?2arctanfxx?，求0xy?. （8）设?fx为二阶可导函数，且? ?221sintancosxfxx?，求?fx?. 例3函数?,0ln1,0xxfxxx?在0x?处是否连续，是否可导，为什么？ 例4设函数? ?cos,2,22xxfxxx? （1）?fx 在2x?处是否可导？（2 ）若可导，求曲线过点,02?处的切线、法线方程. 例5设函数?2,1,1xxfxaxbx?在1x?处可导，求常数,ab的值. 例6设曲线32yxx?上存在切线与直线41yx?平行，求切点. 例7设函数?yfx?由方程?2sinxyxy? 确定，求dydx. 例8设函数?yfx?由方程3331x

7、yxy? 确定，求0xdydx?. 例9 设函数 ?322212xxyxx?，求y?. 实用标准文档 文案大全 例10设函数?2sinxyx?，求y?. 例11（1）设(2)cosnyxx?，求()ny.（2）设?ln1yx?，求()ny. 例12已知cossinttxetyet? ，求当3t? 时dydx的值. *例12已知参数方程?2arctan1ln1xtyt? ，求dydx 和22dydx. 练习题 1.已知函数?yfx?在xa?处可导，求? ?03limxfaxfax?. 2.求下列函数的一阶导数 （1 ）3lnarcsinln2yx?.（2 ）sin1tanxxyx?.（3 ）ln

8、2xxy?.（4 ）22lnarctan11xyxx?. 3.用对数求导法求下列函数的一阶导数 （1）?arcsin21xyx?. （2 ）21xxyx?. 4.求下列隐函数的一阶导数y? （1）1yyxe?. （2）?cos0xyexy?. 5.求下列函数的二阶导数y? （1 ）?2ln1yxx?. （2 ）xeyx?. 6.求下列函数的微分 （1 ）221arctan1xyx?. （2 ）?2arcsin1,0yxx?. 7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程 （1）sincos2xtyt? ，在4t?处. （2 ）2223131atxtatyt?，在2t?处. 实用标

9、准文档 文案大全 二、导数的应用 例1不用求函数?1234fxxxxx?的导数，问方程?0fx?至少有几个实根，并指出其所在范围. 例2函数? ?321fxx?在?1,1?上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理. 例3设函数?yfx?在?,ab上连续，在?,ab内可导，且在任一点处的导数都不为零，又?0fafb?， 试证：方程?0fx?在开区间?,ab内有且仅有一个实根. 例4利用洛必达法则求下列极限 （1 ）201limsinxxexx?.（2 ）limmmnnxaxaxa?.（3 ）11lim1lnxxxx?.（4）20limlnxxx?. 例5求下列函数极限 （1）? ?10lim12xxx?

10、.（2）sin0limxxx?.（3 ）2222lim1xxxx?. （4）1lim1xxxe?.（5 ）421lim1cosxxx?.（6 ）0sinsinlim1cosxxexxx?. 例6证明不等式 （1 ）?ln1,01xxxxx?.（2 ）?2arctan,01xxxxx?. *（3）?11,(0,1)nnnnnbababnaababn?.*（4 ）ln,(0)abaabababb? 例7证明不等式?1,1,0xexx?. 例8证明下列不等式 （1）? ?21ln,11xxxx?.（2 ）当02x?时，sintan2xxx?.（3）当1x? 时，123xx?. 例9求函数?22xfx

11、xe?的单调区间和极值. 例10 求函数21xyx?的凹凸区间和拐点. 例11求函数4210yxx?的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值. 例12求函数? ?321yxx?的凹凸性和拐点. 例13求函数 ?2232yxx?在?0,3上的最值. 例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线 （1）21xyx ?.（2）1xxye?. 实用标准文档 文案大全 练习题 1.不求出?147fxxxx?的导数，问方程?0fx?至少有几个实根，并求出根所在的区间. 2.证明方程120xex?仅有一个实根. 3.求下列函数的极值. （1）?242fxxx?.（2）?22xfxxe?. 4.当a为何值时，点?1,

12、3 是曲线3292yaxx?的拐点. 5.（1）求曲线?5332075fxxxx?的凹凸区间及拐点.（2 ）求曲线3yx?的拐点. 6.证明下列不等式 （1）当1x?时，xeex?.（2）?211cos02xxx?. 7.设?fx在?,a?可导，且xa?时?0fxk?，其中k是常数. 证明：若?0fa?，则方程?0fx?在? ?,faaak?上有且仅有一根. 第三章 不定积分与定积分 一、不定积分 例1（1）已知?11xxfxedxeC?，求?fx.（2）已知?arcsinxfxdxxC?，求? ?1dxfx?. 二、积分法 （一）直接积分法（公式法） 例1求下列不定积分 （1） ?231xd

13、xx? .（2 ）? ?311xxxdx? ?.（3）?2211dxxx?. （4）3x xedx?.（5）236xx xdx?.（6）421xdxx? . 例2求下列不定积分 （1）2sin 2xdx?.（2）22cos2sincosx dxxx?.（3）11cos2dxx?.（4）2tanxdx?. （二）换元积分法 1.第一类换元法（凑微分法） 例1求下列不定积分 （1）2xxedx ?.（2）?22arctan1xdxx?. （3）32sincosxxdx?. （4）sinxxeedx?. * （5）xedx?. 实用标准文档 文案大全 （5） ?1dx xx?.（6）2145dxx

14、x?.（7）1xxdxee? .（8） ?arctandxxx?. 例2求下列不定积分 （1）2 2sincosxxdx?. （2） 41cosdxx?. （3 ）1sindxx?. （4）1cosdxx?. 2.第二类换元法 例1?2220xdxaax?. 例22211dxxx? . 例324xdxx?. 例4（1）111dxx? ?.（2）11xdxe? ?.（3）3131xdxx? ?.（4）11xdxe?. （三）分部积分法 例1（1）2cosxxdx?.（2）2xxedx?.（3）2lnxxdx?.（4）arctanxdx?.（5）sinxexdx?.（6）?sinlnxdx?. *

15、例13secxdx?. 例2已知?fx的一个原函数是2xe?，求?Ixfxdx? ?. （四）一些简单的有理函数的积分 例1（1）22 1dxxa?.（2）2123 dxxx?.（3）21610dxx x?.（4）?211dxxx?. 练习题 1. 计算下列不定积分 （1）23134tanxxxdxx? ?.（2）211xxedxe?.（3）3tansecxxdx ?. （4）21 2dxxx?.（5）2156 dxxx?.（6）2112dxxx? ?.（7 ）?214dxxx?. （8）arcsinxdx? .（9）?24nxxdx ? ?.（10）?lnlnnnxxdxxx?. 三、定积分

16、 （一）牛顿-莱布尼兹公式 （二）变上限积分 （三）定积分的计算 1.定积分的换元积分法（换元同时换限） 实用标准文档 文案大全 例1 计算ln2d?. 例2 计算122201xdxx? 2.定积分的分部积分法 例1 计算120arcsinxdx?. 例2计算下列定积分 （1）10arctanxxdx?.（2 ）21lnxxdx?.（3）0cosxxdx?.（4）? ?21sinlnexdx?. 例3 计算定积分240sinxdx?. （四）定积分的综合题【热点】 例1求下列各题的导数 （1）? ?0txxtedt?.（2）? ?321xxxtdt?. *例1 已知12212xxtfdtee?

17、，求?10fxdx?. 例2求下列各题的极限 （1 ）2030arctanlimxxtdtx?.（2 ）sin0tan00limxxxtdttdt?.（3 ）2220limxtxxtedtx?.（此题HB补充） 例3用积分变换证明等式 （1 ）证明?1122111011xxdxdxxxx?. （2）设?fx为连续函数，证明? ?00sinsin2xfxdxfxdx?. 例4设? ?201,0,145xfxdtxtt?，求?fx的最大值和最小值. 例5设? ?0cos2xtfxdtt?，求?20fxdx?. （五）定积分的性质【热点】 参见习题5-1（2012年最后一题考查了性质6，性质7历年未

18、考查过） 练习题 1.设?40tannfnxdx?，?nN?，证明?1354ff?. 2.?01cosxxtftdtx?，证明? ?201fxdx?. 实用标准文档 文案大全 3.设? ?1lnt1xfxdtt?，证明?211ln2fxfxx?. 4.设?fx为连续函数，且?0fx?，?,xab?，? ?1xxabFxftdtdtft?，?,xab?，证明方程?0Fx?在区间?,ab上有且仅有一个实根. 5.设?2031xxxtdt?，求?x?的极值. *5设?fx 连续，求?220xdtfxtdtdx?. 四、定积分的应用 （一）利用定积分求面积和体积 例1 求由曲线1yx?，2x?与3y?

19、所围成平面图形的面积. 例2求抛物线?220ypxp?与直线32yxp?所围成的图形的面积. 例3求抛物线243yxx?及其点?0,3?和点?3,0处的切线所围成的平面图形的面积. 例4求曲线2yx?，2x?与直线0y?所围成的平面图形绕x轴旋转后生成旋转体的体积. 例5试求抛物线2yx?在点?1,1处的切线与抛物线自身及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转后所得旋转体 的体积. （二）平面曲线的弧长 包括直角坐标情形和参数方程情形 例1计算曲线3223yx?上相应于x从a到b的一段弧的长度. 例2计算摆线?sin1cosxaya?，?02?的长度. 五、广义积分的计算 例1计算下列广义积分 （1）

20、20xxedx?.（2 ）201xdxx?.（3）? ?31lnedxxx?.（4 ）2122dxxx?. 第四章 多元函数微积分 一、多元函数的定义 实用标准文档 文案大全 例1写出下列二元函数?,zfxy?的几何意义（表示何种空间曲面） （1）zaxbyc?.（2 ）222zRxy?.（3 ）22zxy?.（4）22zxy?. 二、二元函数的定义域 例1求下列函数的定义域 （1 ）224zxy?.（2）?22ln1zxy?.（3 ）zxy?.（4 ）2xyzxy?. 三、多元函数的偏导数 例1求函数? ?22,0,0,0,0,0xyxyxyfxyxy?在原点?0,0的偏导数. 例2 设ta

21、nxyzyx? ，求zx? 和zy?. 例3设?sinxyzxexy? ，求zx? 和zy?. 四、全微分的概念 例1求?arctanzxy?的全微分 五、复合函数的偏导数 例1设22zuv?，uxy?，vxy? ，求zx? 和zy?. 例2设vzu?，223uxy?，42vxy? ，求zx? 和zy?. 例3 设,xzfxyy?，求dz. *例3设?22,zfxx?，求dz. 例4求?23,xyzfxye?的全微分. *例4设?2,zfxuxu?，?cosuxy? ，求fx? 和zx?. 六、隐函数的导数及偏导数 例1设?,zzxy? 由下列方程确定，求zx? 和zy?. （1 ）220xy

22、zxyz?.（2 ）22lnzxzy?. 实用标准文档 文案大全 *例1设22240xyzz? ，求22zx? 七、高阶偏导数 例1设?sinxyzye? ，求22zx? 和2zxy?. *八、高阶复合偏导数 参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过） 练习题 1. 求下列函数偏导数zx? 和zy?：（1 ）?22lnzxxy?.（2 ）2yxezy?. 2. 设lnxzzy? ，求zx? 和zy?. 3.设zexyz?确定?,zfxy? ，求zx? 和zy?. 4.设?22lnzxxyy? ，证明2zzxyxy?. 八、二重积分 （一）二重积分的定义 （二）直角坐标下二重

23、积分的计算 例1计算?22Dxxyydxdy?，?,01,01Dxyxy?. 例2计算2Dxydxdy?，D由0x?，0y?与221xy?所围成的第一象限的图形. 例3 计算sinDxdxdyx?，D是由直线yx?与抛物线2yx?所围成的区域. 例4计算?2Dxydxdy?，D由1y?，230xy?，30xy?围成. （三）利用极坐标计算二重积分 例1计算22xyDedxdy?，D是圆心在原点，半径为a的圆. 例2计算?22ln1Dxyd?，D是圆周221xy?及坐标轴围成的第一象限内的闭域. 练习题 实用标准文档 文案大全 1. 设22lnarctanyzxyx? ，求zx? 和zy?. 2

24、.设?2sin2xyzexy? ，求zx? 和zy?. 3.设?2ln123zxy?，求dz. 4.设2231xyxy?确定y是x 的函数，求12xydydx?. 5.求xyDyedxdy?，其中积分区域D是由y轴，1y?，2y?及2xy?所围成的平面区域. 6.求2Dydxdy?，式中积分区域D 由22211xyx?所确定. 7. 变换积分次序，并计算积分221210122xyyxxdxedydxedy?. 8. 计算222xyDedxdy?，式中积分区域D由221xy?，0x?，0y?所确定. 第五章 常微分方程 一、微分方程的基本概念 例1验证12cossinxCktCkt?（1C、2C 为任意常数）是方程2220dxkxdt?的通解. 例2 已知方程2220dxkxdt?的通解为12cossinxCktCkt?，0txA? ，求00tdxdt?条件下的特解. 例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件. （1）22xyC?，05xy?. （2）?212xyCCxe?，00xy?，01xy?. （3）?12sinyCxC?，1xy?，0xy?. 二、可分离变量的微分方程 例1 解微分方程2dyxydx?. 例2求下列方程的通解 实用标准文档 文案大全 （