全国高中数学联赛一试训练

1、一试训练 2一填空题（本大题共8 小题，每小题8 分）1已知实数 a, b, c 满足 abc4, abbcca 5，则 abc 的最大值为 _2若对任意R，直线 l : x cosy sin2sin(m)2( y3m)21) 4 与圆 C : (x6均无公共点，则实数m 的取值范围是 _3已知四面体 SABC 的棱 SA, SB, SC 两两互相垂直，且 SA 3 ， SB4，SC12，设该四面体的内切球、外接球半径分别为r 、 R ，则 r_R4已知定点 A(0, 2) ，设抛物线 C : y22 px( p0) 的焦点为 F ，线段 AF 与抛物线 C 交于一点 M ，过 M 作准线的垂

2、线，垂足为B，若 ABBF ，则 p_5计算： (1 12 13cos7)(cos)(cos) _ 227276在排列 (a1， a2， ， an)中，将某个数向前或向后移动偶数个位置 (如排列 (a1 , a2 , a3, a4 , a5 , a6 ) ，数 a3 向后移动 2 个位置后，排列变成(a1, a2 , a4 , a5 , a3 , a6 ) ）称为一次 “M 操作 ”设 1,2,3 ,2012构成的所有 2012! 个排列组成集合为A ，在 A 任取一个排列 a ，则排列 a 经过有限次 “M操作 ”后能变成排列 (1,2,3,2012)的概率为 _7若有且仅有一个正方形，其四

3、个顶点均在曲线yx3ax 上，则实数 a_8已知整系数多项式P( x) 的系数属于 0,1,2,3,4,5,6,7,8，若 P(3) 2012，则多项式 P(x) 的个数为 _二解答题（本大题共3 小题，第 9 题 16 分，第10题20分，第 11题20分）9设斜率为 k（ k0 ）的直线 l 与椭圆 C : x 2y 21 相交于 A,B两点，直线 OA,OB 的斜率分别4为 k1 , k2（其中 O 为坐标原点）， OAB 的面积为 S ，以 OA, OB 为直径的圆的面积分别为S1,S2 若k1, k, k2 依次成等比数列，求S1 S2 的取值范围S10设 A 是有限整数集若对于任意

4、两个不同的元素 p, qA ，均存在三个元素 a,b, c A（ a, b, c不必不同 ，且a0），使得2f ( x) ax bx c 满足 f ( p)f (q) 0 求 card( A) 的最大值nk,Sk 1k, ，1 k11在数列 an 中，设 Snai ， n N*，并约定 S00 已知 akn ，i 1k,Sk 1kk, n N * 若 n 2012 ，求最大的正整数n ，使得 Sn0 参考答案：1已知实数 a, b, c 满足 abc 4, abbcca5 ，则 abc 的最大值为 _【答案】 2【解析】因为 b(ac)ca5 ， b(4b)ca5， cab24b 5 ( ac

5、) 2(2b )2，所以 222b2 .3所以 abcb(b24b5)b34b25b(b1)2 (b 2)22 .当 b2 时， abc2 ，此时a1c符合题意；1当 b1时， abc2 ，此时a2a1c或c符合题意 . 所以最大值是 2.122若对任意R ，直线 l : x cosy sinm)2( y3m)212sin() 4 与圆 C : (x6均无公共点，则实数m 的取值范围是 _【答案】1m5223已知四面体 SABC 的棱 SA, SB, SC 两两互相垂直，且SA3，SB4，SC12，设该四面体的内切球、外接球半径分别为r 、 R ，则 r_R【答案】 9612262474已知定

6、点 A(0, 2)，设抛物线 C : y22 px( p0) 的焦点为 F ，线段 AF 与抛物线 C 交于一点 M ，过 M 作准线的垂线，垂足为B，若 ABBF ，则 p_【答案】21 12 13_ 5计算： (cos)(cos)(cos)272727【答案】18sin 3【解析】考虑到 12cos 212(12sin 2)34sin 2，(1)( 1cos 3)( 1cos 9sin故原式cos)2727271sin31 sin91 sin271 sin27114141414.22sin 32sin 988sinsin141414146在排列 (a1， a2， ， an)中，将某个数向前

7、或向后移动偶数个位置 (如排列 (a , a , a , a , a , a ) ，123456数 a3 向后移动2 个位置后，排列变成 (a1, a2 , a4 , a5 , a3 , a6 ) ）称为一次 “M操作 ”设 1,2,3,2012构成的所有 2012! 个排列组成集合为A ，在 A 任取一个排列 a ，则排列 a 经过有限次 “M操作 ”后能变成排列 (1,2,3,2012) 的概率为 _【答案】 127若有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线yx3ax 上，则实数 a_【答案】22 .【解析】设正方形的四个顶点依次为A, B,C , D ，则正方形ABCD 的中心为原点，否则

8、，由于曲线yx3ax 为奇函数，因此，A, B,C , D 关于原点的对称点A , B , C , D 也在此曲线上，且四边形A B C D 也是正方形，与题设矛盾。设(,y0),B(y0,x0),C(x0,y0),(y0,x0) ，其中x0 , y0 0，A x0D从而， y0x03ax0x0y03ay0x0 y0 , 得 x04y04a( x02y02 ) 0 由 知 , a 0 y0 x0 , 得 x02y02x0 y0 (x02y02 )x0r cos( r0,(0,)令r siny02由、得 ar 2 (12sin 2cos2) ， r 24sin 4由以上两个式子消去r 2 ，得

9、(1a2 ) sin 4 2( 4a2 ) sin2 2 4 0 ， sin22 在(0,1) 内只有一个根，(4 a2 )216(1a2 )0a22从而 sin 26 , sin 422 , r418 ，故正方形ABCD 的边长为2r472338已知整系数多项式P( x) 的系数属于 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，若 P(3)2012，则多项式 P(x) 的个数为 _【答案】 671二解答题（本大题共3小题，第 9题 16分，第 10题 20分，第 11题 20分）9设斜率为 k（ k0）的直线 l 与椭圆 C : x 2y 21 相交于 A,B两点，直线 OA,OB 的斜率分别4为

10、 k1 , k2（其中 O 为坐标原点）， OAB 的面积为 S ，以 OA, OB 为直径的圆的面积分别为S1 ,S2 若k1, k, k2 依次成等比数列，求S1S2的取值范围S解：设直线 l 的方程为 ykxm ， A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 )ykxm可得 (14k2) x28kmx4(21)0 ，由韦达定理有：由x2y2m14x1x28km14k 2x1 x24(m21)14k 2且16(1422)0km因为 k1 , k, k2 构成等比数列，所以2(kx1m)(kx2m) ，即：()20k k1k2 =x2mx1 x2km x1由韦达定理代入化简得：k 2

11、1.14k0 ，k2此时16(2m2 )0，即 m(2,2) .故 S1 | AB | d1 1 k 2 | x1x2 | m |221k 21( x1x2 ) 24 x1 x2 | m |2 m2 | m |2( 3 x123 x22又 S1S24( x12y12x22y22 )42)443( x1x2 ) 22x1 x2 25为定值164S1S2515当且仅当 m1(2,2 ) 时等号成立 .S42m2| m |4综上： S1S2 5,)S410设 A 是有限整数集若对于任意两个不同的元素 p, qA ，均存在三个元素a,b, c A（ a, b, c不必不同 ，且 a0 ），使得f (

12、x)ax2bxc 满足 f ( p)f (q)0 求 card( A) 的最大值【参考答案】容易验证A1,0,1 满足要求 .下面证明： | A |max 3 .（1） 1,1 中至少有一个属于A .反之，存在 a1 , a2A ，且 | a1 |,| a2|2,(| a2 | | a1 |)，由题意，存在 a, b, cA ，对于 a1, a2 满足题设 .故 ca1 a2 ,caa1a2 ，则存在 a3cA ，且 | a3| | a |a1| |a2|a2 | |a1，|重复上述过程得aai (i 1, 2, ) A| a1 | | a2 | | a3 | ak |，与A 是有限集矛盾.，

13、且（ 2）不妨设 1A，存在a1A(a11).由题意，存在 a, b, cA ，使得ab c0bac,cbc故 a1c aa1 .a11aa1 .a（ i）a12， 若 a1 ， 则|c | a1|a2c(A| 2 a| |1 a | )， 存 在，故存在| a1 | | a2 | a3 | ak|A ，矛盾！若 a1, ba11; a1, ba11，则无论 a1 ，均有 | b | a1 |，同上也推出矛盾！（ ii ） a12 ，考虑ba11,ca A ，且 a2 .aa1 ，由假设不存在a因为 a12 ， ba(a11),caa1 ，所以 b 与 c 异号 .当 a2时， c| a1 |

14、2，矛盾！当 a1时， ba11, ca12，矛盾！当 a1 时， ba1 1, c a1 .若当 a13 时， b2 ，矛盾！由（ i）、（ii）知， a12,1,0 .显见 A 2,1,0,1 不满足条件 .事实上，对1,2A ， x23x20 ，不可能 .从而， | S |max3 .nN*k,Sk1k, ，1kn ，11在数列 an 中，设 Snai ， n，并约定 S00 已知 aki1k,Sk1kk, nN * 若 n2012，求最大的正整数n ，使得 Sn0 在数列 an 中，设 Snn， n N* ，并约定 S0k,Sk1k, ， 1kn ，ai0 已知 aki 1k,Sk 1kk, nN * 若 n2012，求最大的正整数n ，使得 Sn0 解：将满足Sn0的下标 n，从小到大排成一列，设为数列 b ，则b0，下求数列 b 应满n1n足的递推式事实上，我们不妨设Sbk0 ，则