高二数学空间向量与立体几何测试题

1、优秀学习资料欢迎下载高二数学空间向量与立体几何测试题第卷（选择题，共50 分）一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题5 分，共50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在下列命题中：若、共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、bab一定不共面；若a、b、 c 三向量两两共面，则 a、 b、 c 三向量一定也共面；已知三向量a、 b、 c，则 空 间 任 意 一 个 向 量 p总 可 以 唯 一 表 示 为 p xa yb zc 其 中 正 确 命 题 的 个 数 为（）A 0B.1C. 2D. 32在平行六面体ABCD A1B1C1D1 中，向

2、量 D1 A 、 D1C 、 A1 C1是（）A有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量3若向量 m垂直向量 a和b,向量 nab( ,R且 、0)则（）A m / nB mnC m不平行于 n,m也不垂直于 nD以上三种情况都可能4已知 a（ 2， 1， 3）， b（ 1， 4， 2）， c（ 7， 5， ），若 a、 b、 c 三向量共面，则实数 等于（）A.62B.63C.64D.6577775直三棱柱 ABC A1B1C 中，若 CAa ， CB b ， CC1c ， 则 A1B（）1A. a b cB.a b cC.a b cD.a b c6已知 a +b + c 0 ，|a

3、 | 2， | b | 3， |c | 19，则向量 a 与 b 之间的夹角a, b为（）A 30°B 45°C 60°D以上都不对7若 a、b 均为非零向量，则a b| a |b | 是 a 与 b 共线的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分又不必要条件8已知 ABC的三个顶点为A（ 3， 3，2）， B（4， 3， 7）， C（ 0， 5， 1），则 BC边上的中线长为（）A 2B 3C 4D 59已知 a3i2 jk, bij2k ,则 5a与 3b的数量积等于（）A 15B 5C 3D 110已知 OA(1,2,3) ，

4、 OB(2,1,2) ， OP(1,1,2) ，点 Q在直线 OP上运动，则当 QA QB取得最小值时，点Q的坐标为（）A (1,3,1)B (1, 2,3)C (4,4,8)D (4,4,7)243234333333优秀学习资料欢迎下载第卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）11若 A( m 1， n1,3) ， B(2 m, n, m 2n) ， C(m 3, n 3,9) 三点共线，则m+n=12 12、若向量a1,2 , b2, 1,2 ， a,b 夹角的余弦值为8 ，D9则等于 _.13在空间四边形ABCD中， AC和 BD为对角线，E

5、CMG为 ABC的重心， E 是 BD上一点， BE 3ED，GAB以 AB ， AC ， AD 为基底，则 GE 14已知 a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c, 则 m,n 的夹角为。15. 在三角形中， A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n与平面垂直，且 |=21, 则n的ABCABCm坐标为。16. 已知向量 a=( +1,0,2) ， b=(6,2-1,2), 若 a|b,则 与的值分别是.三、解答题 （本大题共 5小题 , 满分 70分）17 (12 分)已知空间四边形ABCD的对边 AB与 CD， AD与 BC都互相

6、垂直，用向量证明：AC与 BD也互相垂直ADBC18（ 14 分）如图，在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E 是 DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系（ 1）写出 A、 B1、 E、 D1 的坐标；（ 2）求 AB1 与 D1E所成的角的余弦值19（ 14 分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P， PA平面 ABCD， E、F 分别是 AB、PC的中点（ 1）求证： EF平面 PAD；（ 2）求证： EFCD；（ 3）若 PDA 45 ，求 EF与平面 ABCD所成的角的大小优秀学习资料欢迎下载20（ 15 分）在正方体 ABCDA1 B1C1D1 中，如图、分别是BB

7、1 ，的中点，（ 1）求证： D1F平面 ADE；zD1C1A1B1DECyFx（ 2） cos EF ,CB1 AB21（ 15 分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD底面 ABCD，PDDC ， E 是 PC的中点，作 EFPB 交 PB于点 F.（ 1）证明；PA 平面 EDB ；（ 2）证明； PB平面 EFD；（ 3）求二面角C - PB - D 的大小优秀学习资料欢迎下载空间向量与立体几何(1)参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分）题号12345678910答案ACBDDCABAC二、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共

8、24 分）11 012 2131 AB1 AC3 AD14 60°123415。（ 2， -4 ， -1 ），（-2 ， 4，1）16。115， .2三、解答题（本大题共5 题，共76 分）17证明：ABCD,AB CD0.又ABCBCA ，(CBCA) CD0即CB CDCA CD . ADBC,ADBC0 .又ADCDCA ，(CDCA)BC0即 CDBCCA BC . 由 +得： CA CDCA BC0即CA BD0 .ACBD .18 解： (1)(2, 2, 0)， 1(2, 0, 2)， (0, 1, 0)，1(0, 2, 2)ABED(2) 1(0,-2,2) ， 1

9、(0, 1, 2) |1|2 2，|1|5 ， 1 · 1 02ABEDABEDABED4 2,210AB1 · ED1 cosAB1 ，ED1|22× 510AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为AB |· |ED |11z10P1019证：如图，建立空间直角坐标系Axyz ，设 AB 2a，BC 2b，PA 2c，则： A(0,0,0) ，B(2 a, 0,0) ，C(2 a, 2b, 0) ，FD(0, 2b, 0) ， P(0, 0, 2c) E 为 AB的中点， FA为 PC的中点D y( ,0,0)，F(a,b,c)EEaC(1) (0,)

10、，(0,0,2c) ，(0, 2b, 0)x BEFb cAPAD1 EF2 (APAD) EF与AP、AD共面又 E平面 PAD EF平面 PAD(2)2a, 0, 0)2a, 0, 0) · (0, b, CD( - CD· EF( -c) 0 CD EF(3)若PDA 45，则有 2b 2c，即 b c， b, b) ，EF (0,2b22b 2AP (0, 0, 2b) cosEF， AP 2b·2EF， AP 45AC的法向量 EF 与平面AC 所成的角为： 90 AP 平面 AC，AP 是平面EF，AP 45 优秀学习资料欢迎下载20解：建立如图所示的

11、直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则 D（0， 0， 0）， A（ 1，0， 0）， D1 （ 0，0， 1），zE（ 1，1，1）， F（ 0，1， 0），D1C 1221则 D1F （ 0，1），D A（ 1， 0， 0），A1B 12AE （ 0， 1，1）， 则DF DA0，DECy21FD1F AE 0，D1F DA ， D1F AE .ABD1 F平面 ADE.x（） B1 （ 1， 1， 1），C（ 0， 1，0），故 CB1（ 1， 0， 1）， EF （ 1，1， 1），EF CB1 10 1 3 ，22EF11 13，CB12 ，224423则 cosEF , CB

12、1EFCB123 .EF ,CB1150 .EFCB13222z21解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点 . 设 DC a.(1) 证明：连结AC，AC交 BD于 G.连结 EG.Pa a依题意得 A(a,0,0), P(0,0, a), E(0,)底面 ABCD是正方形，G 是此正方形的中心，FE故点 G的坐标为 ( a, a ,0) 且 PA (a,0, a), EG( a ,0,a).2222DCyPA2EG . 这表明 PAEG .GAB而 EG平面 EDB且 PA平面 EDB，PA平面 EDB。x(2) 证明：依题意得B(a, a,0), PB(a, a,a) 。又 DE(

13、0, a , a ), 故 PB DE 0a 2a 202222PBDE , 由已知 EFPB ，且 EFDE E, 所以 PB平面 EFD.(3) 解：设点 F 的坐标为 ( x0 , y0, z0 ), PFPB, 则 ( x0 , y0 , z0a)(a, a,a)从而 x0a, y0a, z0(1)a. 所以 FE( x0 , ay0 , az0 )( a,(1)a,(1)a).2222由条件 EFPB 知，PE PB0即aa2a), 且FE (点 F的坐标为 ( ,333PB FDa 2a 22a 20,即PB333PE FDa 2a 2a2a 2且 PE91896FE.FDa2co

14、sEFD6|FE |FD |6 a.6 a63a2( 1)a 2(1 )a 20,解得1。223a , a , a ), FD ( a , a , 2a ).366333FD，故EFD 是二面角 CPBD 的平面角 .a2a 2a 26 a, FDa 2a 24a 26 a93636699931 .EFD, 所以，二面角C PCD 的大小为.233优秀学习资料欢迎下载空间向量与立体几何(2)姓名第卷（选择题，共50 分）一、选择题：（本大题共10 个小题，每小题5 分，共班级50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知的是A、 B、 C 三点不共线，对平面ABC外的任一点

15、O，下列条件中能确定点M与点A、 B、 C一定共面（ ）A OMOAOBOCB OM2OAOB OCC OMOA1 OB1 OCD OM1 OA1 OB1 OC233332在空间直角坐标系中，已知点P( x, y, z) ，那么下列说法正确的是（）A 点 p 关于 x 轴对称的坐标是p1x,y, zB 点 p 关于 yoz平面对称的坐标是p2x,y,zC 点 p 关于 y 轴对称点的坐标是p3 x, y, zD 点 p 关于原点对称点的坐标是p4x,y,z3已知向量 a（ 1，1， 0），b（ 1， 0， 2），且 k a b 与 2a b 互相垂直，则 k 的值是（）A.1B.1C.3D.7

16、5554已知空间四边形 ABCD，M、G分别是 BC、CD的中点， 连结 AM、AG、MG，则 AB + 1 (BDBC) 等于（）2A. AGCGBC1BCB.C.D.25在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中，M和 N 分别为 A B 和 BB 的中点，那么直线AM与 CN所成角的余1111111弦值是（）A2B 2C 3D10555106已知向量 a(0,2,1) ， b (1,1,2) ，则 a 与 b 的夹角为（）A. 0°B. 45°C. 90°D. 180°7 已知点 p1,3,4 ，且该点在三个坐标平面yoz平面， zox

17、平面，xoy 平面上的射影的坐标依次为x1, y1, z1 ， x2 , y2 , z2和 x3 , y3 , z3，则（）A x12y22z320B.x22y32z120优秀学习资料欢迎下载C. x32y12z220D.以上结论都不对8、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段 AB上一点，且3|AC| |AB,则点的坐标是( )A. (7,1,5)B.(3 , 3,2)C.(10 , 1,7)D.( 5 ,7,3)2228332229、设 A、 B、 C、 D 是空间不共面的四点，且满足AB AC0, AB AD0,AC AD 0则 BCD是（）A. 钝角三角形B.直角三角形C

18、.锐角三角形D.不确定10、已知正方形ABCD的边长为 4，E、 F 分别是 AB、AD的中点， GC平面 ABCD，且 GC 2，则点 B 到平面EFG的距离为（）A.10B.2 11C. 3D.110115第卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）11、若 a(1,1,0),b(1,0, 2), 则 ab 同方向的单位向量是_.12已知 S是 ABC所在平面外一点，D是 SC的中点，若 BD xAB y ACzAS ，则 x y z13、已知 a2,4, x ,b2, y,2，若 a6且 ab ，则 x y 的值为。14、已知向量 a 和 c

19、不共线，向量b 0，且 (a b)c(b c)a ， da c，则 d,b15已知三角形的顶点是 A(1, 1,1)， B(2,1,1)， C( 1,1, 2)，这个三角形的面积是。16（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60 ，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。三、解答题 （用向量方法求解下列各题,共 70分）17、在棱长为 a 的正方体 ABCD A B C D 中， E、 F 分别为 DD 和 BB 的中点111111（ 1）证明： AEC1F 是平行四边形；D1C 1（ 2）求 AE和 AF 之间的夹角的余弦；（

20、3）求四边形1A 1B1AECF 的面积EDFCAB优秀学习资料欢迎下载18如图，四边形ABCD是直角梯形，ABC BAD 90°，SA平面 ABCD， SA AB BC1， AD 1 2（ 1）求 SC与平面 ASD所成的角余弦；（ 2）求平面 SAB和平面 SCD所成角的余弦zSyBCADx19、如图，在底面是菱形的四棱锥02a, 点 E在 PD上，且 PE:ED=2:1.P ABC中， ABC=60，PA=AC=，PB=PD=a（ I ）证明 PA平面 ABCD；P（ II ）求以 AC为棱， EAC与 DAC为面的二面角的大小；（）在棱 PC上是否存在一点F，使 BF/ 平面

21、 AEC？证明你的结论 .EADBC20如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB90°侧棱AA1 2， D、 E 分别是CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD上的射影是 ABD的重心 Gz（ 1）求 A B 与平面 ABD所成角的大小C 11（ 2）求A 到平面 ABD的距离A1B11DECGABxy优秀学习资料欢迎下载空间向量与立体几何(2)参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）题号12345678910答案DDDABCACCB二、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）11（ 0，1，2）1201

22、3 1,-314 90°5515。 S ABC1| AB | | AC | sin A101AC162216。三、解答题（本大题共6 题，共 76 分）17（ 1）略（2） 1（ 3） s6 a25218（ 1）6（ 2）63319（）证明因为底面 ABCD是菱形， ABC=60°，所以 AB=AD=AC=a，在 PAB中，由 PA2+AB2=2a2=PB2知 PA AB.同理， PA AD，所以 PA平面 ABCD.（）解作 EG/PA 交 AD于 G，由 PA平面 ABCD.知 EG平面 ABCD.作 GH AC于 H，连结 EH，则 EH AC， EHG即为二面角的平

23、面角 .又 PE:ED=2:1，所以123.EGa, AGa,GH AG sin 603a33从而tanEG3 ,30 .GH3（）解法一以 A 为坐标原点， 直线 AD、AP 分别为 y 轴、 z 轴，过 A 点垂直平面 PAD的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系如图. 由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0), B(3 a,1 a,0), C (3 a, 1 a,0).2222D (0, a,0), P(0,0, a), E(0, 2 a, 1 a).33所以AE(0, 2 a, 1 a), AC( 3 a, 1 a,0).3322AP(0,0, a), PC (31a,a).2a

24、,2BP(31a, a).a,22设点 F 是棱 PC上的点， PFPC(3 a, 1 a,a ), 其中 01, 则22BFBPPF (31(31a)a,a, a)a ,a ,2222优秀学习资料欢迎下载(3 a(1), 1 a(1), a(1).令 BF1 AC2 AE得223 a(1)3 a1 ,11 ,221 a(1)1 a 12 a2 ,即 1142 ,2233a(1)1a2 .112 .33解得1,11, 23 .即1时， BF1AC3AE.222222亦即， F 是 PC的中点时，BF 、 AC 、 AE 共面 .又 BF 平面 AEC，所以当 F 是棱 PC的中点时， BF/ 平面 AEC.20 (14 分 )解