高考数学Ι轮教案及其练习精析《合情推理和演绎推理》

1、第十七章推理与证明知识网络归纳合情推理推类比理推演绎推理理数学归纳法与证明直接证明综合法证明分析法间接证明反证法第 1 讲 合情推理和演绎推理知识梳理1. 推理根据一个或几个事实( 或假设 ) 得出一个判断, 这种思维方式叫推理.从结构上说 , 推理一般由两部分组成 , 一部分是已知的事实 ( 或假设 ) 叫做前提 , 一部分是由已知推出的判断 , 叫结论 .2、合情推理 :根据已有的事实 , 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（ 1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理

2、，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（ 2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3. 演绎推理 :从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括： （ 1）大前提 - 已知的一般原理；（ 2）小前提 - 所研究的特殊情况； （ 3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。重难点突破重点 :会用合情推理提出猜想 ,会用演绎推理进行推理论证 ,明确合情推

3、理与演绎推理的区别与联系难点 :发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题 1：观察：715 211；5.516.5 2 11； 3 319 3 2 11；.对于任意正实数a,b ，试写出使ab2 11 成立的一个条件可以是_.2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题 2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、 B 两点， 则当 AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短； 试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为3、运用

4、演绎推理的推理形式(三段论 )进行推理问题 3：定义 x 为不超过 x 的最大整数，则-2.1=热点考点题型探析考点 1合情推理题型 1用归纳推理发现规律例1 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。sin2 150sin 2 750sin2 13503； sin2 300sin 2 900sin2 15003；23 ； sin 2 60023sin2 450sin2 1050sin2 1650sin2 1200sin2 180022例 2 (09 深圳九校联考 ) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图 . 其中第

5、一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢， 第三个图有 19 个蜂巢， 按此规律， 以f (n) 表 示 第 n 幅 图 的 蜂 巢 总 数 .则f (4) =_; f (n) =_.【新题导练】1. (2008 佛山二模文、理 )对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律， 则 521 3 5 7 9 , 若 m3 (mN * ) 的分解中最小的数是73，则 m 的值为 _ .2. (2010 惠州调研二理 )函数 f ( x) 由下表定义：x25314f ( x)12345若 a0

6、5 ， an 1f (an ) ，n 0,1,2, ，则 a20073. (2010 深圳调研 )图（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分别包含 1 个、 5 个、 13 个、 25 个第二十九届北京奥运会吉祥物 “福娃迎迎” ，按同样的方式构造图形， 设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” ，则 f (5)； f (n)f ( n1)（答案用数字或n 的解析式表示）4. (2008揭阳一模 )设 f 0 ( x)cos x, f1( x)f0 '(x), f2 ( x)f1 '( x), f n 1( x)f n '( x) , nN ,则 f2008 (

7、 x) =（ ）A.sin xB.cos xC. sin xD. cos x题型2用类比推理猜想新的命题例1 (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的1，把这个结论推广到空间正四面3体，类似的结论是_.例 2 在 ABC中,若 C900,则 cos2 Acos2 B 1 ,用类比的方法 ,猜想三棱锥的类似性质 ,并证明你的猜想【新题导练】5. (2010 深圳二模文 )现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2类比到空间，有两个棱长4均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心

8、，则这两个正方体重叠部分的体积恒为6. (2010 梅州一模 )已知ABC 的三边长为 a, b,c ，内切圆半径为 r （用S ABC 表示 ABC 的面积 ），则 S ABC1 r ( a bc) ；类比这一结论有： 若三棱锥 A BCD2的内切球半径为R ，则三棱锥体积 VA BCD7. ( 2008 届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax ByC0 ，圆心在 ( x0 , y0 ) 的圆的一般方程为( x x ) 2( y y ) 2r 2 ； 则 类 似的 ， 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 平 面 的 一 般 方 程 为00_,

9、球心在 ( x0 , y0 , z0 ) 的球的一般方程为_.8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数a1 ,b1 , c1 和 a2 , b2 ,c2 都是非零实数，方程a1x 2b1 xc10 和 a2 x 2b2 x c2 0 在复数集上的解集分别是A和 B，则“ a1b1c1”是“ AB ”的充分必要条件a2b2c2试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明9.已知等差数列的定义为 :在一个数列中，从第二项起 ,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；已知数列an 是等和数

10、列，且a12 ，公和为 5 ，那么 a18 的值为 _这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 _ 考点 2演绎推理题型 :利用“三段论”进行推理例 1 （ 07 启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了a, b, c,d , e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ac1Sd来计算各班的综合得分， S 的值越高则评价效果越好，若某be班在自测过程中各项指标显示出0cdeba ，则下阶段要把其中一个指标的值增加1 个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为（填入 a,b, c, d, e中的某个字母） 例 2 （03 上海）已知集合x R，有 f(x+T)=T f(x)成立 .M 是满足

11、下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意（ 1）函数 f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；x（ 2）设函数f(x)=a （ a>0,且 a 1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：f(x)=ax M；（ 3）若函数 f(x)=sinkx M , 求实数 k 的取值范围 .【新题导练】10. ( 2010 珠海质检理 ) 定义 a * b 是向量 a 和 b 的“向量积” ，它的长度| a * b | | a | b | sin, 其中为向量 a 和 b 的夹角，若u (2,0), uv (1,3), 则 | u*( u v) |=.11. ( 2010 深圳二模文 )

12、 一个质点从 A 出发依次沿图中线段到达B、C 、D、E、F 、G、H 、I 、 J 各点，最后又回到A （如图所示），其中： ABBC ，AB/CD/EF /HG /IJ ， BC/ /DE / FG /HI / /JA欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则 n （）A 2B 3C 4D 512. ( 2010 惠州调研二 ) 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文接受方由密文明文（解密） ，已知加密规则为：明文a, b, c, d 对应密文密文（加密），a2b,2bc,2c3d ,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16当接受方收到密文14,9,23,2

13、8时，则解密得到的明文为（）A 4 ，6，1，7B 7 ，6，1，4C 6 ，4，1，7D 1 ，6，4，713.对于任意的两个实数对(a,b) 和(c,d )，规定：( a,b)(c, d)，当且仅当ac,bd ；运算“”为：(a,b)(c,d)(acbd,bcad) ；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd )，设p,qR ，若 (1,2)( p,q)(5,0)，则 (1,2)( p,q)（）A(4,0)B (2,0)C (0,2)D (0,4)抢分频道基础巩固训练1、对于集合A,B,定义运算A B x | xA且 xB，则 A (AB) =（）A.BB.AC. ABD. AB2、命

14、题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论” ，但大前提错误D使用了“三段论” ，但小前提错误3、（华南师大附中 2007 2008 学年度高三综合测试（三） ）给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集， R 为实数集，C为复数集）：“若a、 bR，则 ab0ab ”类比推出“a、 cC ,则 ab0ab ”“若a、 b、c、 dR，则复数 abicdiac, bd ”类比推出“ a、 b、 c、 dQ，则 ab2cd2ac,bd ”“若a、 b、R，则 ab0ab ”类比推出“若a、 bC

15、,则 ab0ab ”“若xR，则 | x | 11x1”类比推出“若zC，则 | z |11z1”的个数有其中类比结论正确A1B 2C3D 4（）4、如图第n 个图形是由正边形“扩展 ”而来 ,（，）。则第n2个图形中共有个顶点。5、如果函数f ( x) 在区间 D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意 x1 ， x2 ， xn ，都有 f ( x1 )f (x2 )f ( xn )f ( x1x2xn ) . 若 y sin x 在区间 (0,) 上是凸nn函数，那么在ABC 中， sin Asin Bsin C 的最大值是 _.6、类比平面向量基本定理:“如果 e1 ,e2 是平面内两个不

16、共线的向量，那么对于平面内任一向量 a ，有且只有一对实数1 , 2 ，使得 a1e12 e2 ”，写出空间向量基本定理是：综合提高训练7、 (2009 汕头一模 )设 P 是 ABC 内一点，ABC 三边上的高分别为 hA 、 hB 、 hC ， P到三边的距离依次为 l a 、 lb 、 lc，则有 l albl c_；类比到空间，hAhBhC设 P 是四面体 ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是hA 、 hB 、 hC 、 hD ，P 到这四个面的距离依次是 l a 、 lb 、 lc 、 l d ，则有 _。8、 (2009 惠州一模 )设fx1x ，又记 f1xfx ,fk 1 x ff kx , k 1,2, ,1x则 f 2008 x （ ）A 1 x ； B x 1 ； C x ；D 1 ；1 xx 1x9、（ 1）已知等差数列an ， bna1 a2nan（ nN ），求证：bn仍为