08初三数学四校自招A班不定方程的整数解(1)(教师)

1、不定方程的整数解（ 1）（缺 2道真题 ）基础知识】1不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（ 2）判定不定方程是否有整数解；（ 3）判定不定方程整数解的个数。2解不定方程整数解问题常用的解法：（ 1）代数式恒等变形：如配方法、因式分解法、分离整数法等；（2）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（3）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解。 典型例题】一、代数式恒等变形配方法22例 1：求方程 x 2 xy y2 1 的整数解。解：由题意可得： 4x2 4xy 4y2 4即 （2x y）2 3y2 4 (2xy)243y20，

2、4 3y2 即 y1、0、1当y1 时，x0或1当y0时，x1或1当y1时，x1或021. 求 3x2xy2 y3x2y0 的非负整数解（x, y）的组数为（）A. 0B.1C.2D. 3解：由 3x 2xy2 y3x2y0，配方得 4x2(x 3)2 (x y)2 (y 2)213所以 4x2 13 所以 x 0或 1当 x 0时，代入原方程得 y 0 或 y2 （舍）当 x 1 时，代入原方程得 y 0或 y3（舍）3/5因此共有 2 组非负整数解。因式分解法 例2：求方程Xy 10( x y) 1的整数解。 解：由题意可得：(X 10)( y 10) 101Xy10101101或X 10

3、y 10X11X 9亠或或y111y 912.求方程11 1-的正整数解。Xy 7解:显然X7,y 7方程可化为：Xy7x 7yX 111 亠 X 91 或y 11 y 90,得：(X 7)( y 7)491 亠X10101X10或或101y101y101011所以X71 ,或X77 ,或X749y749y77y71所以X8,或X14 ,或X56y56 y14y83. 求方程X2 y2 3x 7y 20的整数解(x, y)37解：配方得：(X -)2 (y -)2822(X y 5)( X y 2)8X y 5和X y 2的奇偶性不同X y 58 xy51xy58X得，或，或，或X y 21X

4、 y 28X y 21 X解得：(x,y)(-5,-8、( 2,-8、( 2,1、(-5,1分离整数法例3:求X(X 1) Xy y 51的正整数解。解:原方程可化为2X X 51yXX 149:14.49因为X为正整数，且厂是整数，所以当X 6时，y3 ;当X 48时,45由题意得：y52X5XXX X1 或5X 1亠X1,X5I X5或或或y 4y4y4y 4已知X, y是整数，满足X y30, ax y()个A. 4B .5C .6D.8由X y 30,axy a0 ,得X aa根据整除性质，可知:a 11,2, 4 ,即 a解:5.a解:13,Xy的整数解。2求方程X 531二、构造法

5、构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质进行讨论7或49 ,即X 6或480舍去，故正整数解(x,y)(6,3).0 ,则整数a的所有可能值有为整数a 11,0,2,3,5 共 6 个值.6.求 寸 2x41 42y的整数解。解：原方程化为：24 4y2 y4102422(4y)8(y1)8(y1)0，当y21时，X1 ,无解当y21时，X1 ,即X1X 1 亠X1所以,或y 1y17/57.已知a,b,c是整数，且满足a b 3,2C2cab2，求a, b,c的值。解:由 a b 3, abc2 2c 2，可构造以a,b为根的一一-元二次程t23t c22c 20根据题意9 4(c2

6、 2c 2) 4c28c17(2c2)213曰 是个完全平方式,因此存在非负整数k，使得(2c2)213k2,即(2c2)2k213(2c 2k)(2c2 k)13,又2c2 k2c 2k丁2c2 k 1亠2c 2k13解得k7,或k7所以,或132c 22c2 kk1C2C4士 I3k 37 L所以t2 25或2 ,即a5, b2，或a2, b5故所求整数(a,b,c)(5, 2,4),( 2,5,4),(5, 2,2),(2,5,2)三、不等式分析法(利用整数性或不等关系，确定出方程解的范围)8.求方程3x27xy2x 5 y350的正整数解.解:对于正整数x, y，由原方程得到y23x

7、2x 357x 5因为X 1,y 1，所以 3x22x357 X 5 ,解得 1x2分别取X1和X2,得到y17和y 3即所求的解为(x,y)(1,17),(2,3).9.1 1 1求方程丄13的整数根。x x 1 x 212解:易知方程的整数根必为正整数。3111133 & H1036.解得：XX 2 x x 1 x212X1313 X 1 或2当X 1时，等式不成立当X 2时，等式成立 X 210.若 X、yZ的最小值不小于 3,求方程丄 丄X y1的整数解。2解：由题意得：1111Xy 2 ZIIIII 2由于X, y对称，不妨设 X y ,则由题意得：1V 1 - -22 ZXyX解得：X 4X只能为3当X3时，1V112解得:3'y623y3当y3时，Z6;当y4时,Z12;当y5时,Z 30,X3X3X3X4X5 y3或y4或y5或y3或y3Z6Z12Z30Z12Z30【教师备用】.已知：X, y为整数，且yL4020,求y的最大值为-X 2009"X 2011解：原方程可化为yX 2009X 2011 ,令