Chap2-3随机变量函数的分布

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计随机变量函数的分布随机变量函数的分布北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院问题的提出问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数更在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。如感兴趣。如: 已知圆轴正截面直径已知圆轴正截面直径 D 的分布的分布, 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布求截面面积求截面面积 的分布。的分布。4/ 2 DA又如：已知又如：已知 t=t0 时刻噪声电流时刻噪声电流 I 的分布，的分布，求功率求功率 W=I2R (R为电阻为电阻) 的分布等。的分布等。 一般地，设随机变量一般地，设随机变量 X 的分布已知，的分布已知

2、，求求Y = g(X) (设设 g 是已知的连续函数是已知的连续函数) 的分布。的分布。 这个问题无论在理论上这个问题无论在理论上还是在还是在实际中都实际中都非常重要。非常重要。2.4.1 离散型随机变量离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解：当当 X 取值取值 - -1，0，1，2 时，时， Y 取对应值取对应值 4，1，0 和和 1。由由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3+0.4 = 0.7， PY=4 = PX=- -1 = 0.2 .例例1 1：设随机变量设随机变量 X 有如下概率分布：有如下概率分布： 求求 Y= (X 1)2 的概率分

3、布。的概率分布。得得 Y 的概率分布：的概率分布： 一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 随机变量，概率分布为随机变量，概率分布为如果如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同中有一些是相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大不妨认为从小到大) 的的 y1, y2 , yi ,.把 yi 所对应的所有所对应的所有xk ( 即即yi = g(xk) ) 的的 pk相加，相加，记成记成 qi , 则则 q1, q2, , qi ,就是就是Y = g(X) 的概的概率分布。率分布。例例2：在应用上认为在应用上认

4、为: 单位时间内，一个地区发单位时间内，一个地区发生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月内发生火灾的次数内发生火灾的次数 XP(5)，试求随机变量，试求随机变量Y=Y=| |X-5|-5|的概率分布。的概率分布。 解：解：由于由于X的所有可能取值为的所有可能取值为0, 1, 2, , 对应对应的概率分布为的概率分布为., 7 , 6 , 0,)!5(5, 5 , 4 , 3 , 2 , 1,)!5(5)!5(555555ieiieiiiYPqiiii及及Y=|X- -5|可知，可知，Y 的所有可能取值为的所有可能取值为0, 1, 2, 。且对每个。且对

5、每个 i，当当 00 时时,)()(yYPyFY)(2yXP. )()(yFyFXX例例4：设设 X 具有概率密度具有概率密度fX(x)，求求Y=X2的密度。的密度。解：解：设设Y 和和X的分布函数分别为的分布函数分别为FY(y)和和FX(x), 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y0时，时，FY(y)=0；若若,21)(22exxfX则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：. 0 , 0 , 0 ,21)(221yyyfeyyY. x. 0 , 0 , 0 , )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY 从上述两例中可以看到从上述两例中可以看到, 在求在求P(Yy)的

6、过的过程中程中, 关键的一步是设法从关键的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X)y 等价的等价的X的不等式的不等式 。例如例如: 用用X(y- -8)/2 代替代替 2X+8y,用用 代替代替 X2 y 。yXy 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，求出的分布，求出相应的相应的Y的分布函数的分布函数 FY (y)。 这是求随机变量函数这是求随机变量函数 Y = g(X) 的分布函数的分布函数的一种常用方法。称为的一种常用方法。称为“一般方法一般方法”例例6：已知随机变量已知随机变量X的分布函数的分布函数F(x)是严格是严格单调的连续函数单调

7、的连续函数, 证明证明Y=F(X)服从服从0,1上的上的均匀分布。均匀分布。又由于又由于X的分布函数的分布函数F是严格递增的连续函数是严格递增的连续函数, 其反函数其反函数 F- -1 1 存在，且严格递增。存在，且严格递增。证明证明: 设设Y 的分布函数是的分布函数是 G(y)，于是，于是，对对 y1, G(y)=1;对对 y0, G(y)=0;由于由于0y1，对对0y1,G(y)=P Y y =P F(X) y 1F=F (y)= y，. 1, 1, 10, 0, 0)(yyyyyG即即Y的分布函数是的分布函数是=P F- -1 F(X)F-1-1 (y) =P XF-1-1 (y) .

8、010 1)(，其其他他，yygY 的密度函数的密度函数故故, Y 服从服从0，1上的均匀分布。上的均匀分布。这个结论在随机模拟中用于产生已知分布的随机数！这个结论在随机模拟中用于产生已知分布的随机数！Y 服从服从0，1上的均匀分布，则上的均匀分布，则X=F-1(Y)的分布函数为的分布函数为F(x) 下面给出一个定理，当定理的条件满足下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机变量函数的概率密度时，可直接求随机变量函数的概率密度 。公公 式式 法法. , 0 , ,)()()(其他ydyydhyhfyfY定理的证明与例定理的证明与例6的解题思路类似。的解题思路类似。其中其中 x = h(

9、y) 是是 y = g(x) 的反函数，的反函数，. )(max ),(minxgxgbxabxa 定理定理1: 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a, b, 具具有概率密度有概率密度 fX(x)的连续型的连续型随机变量随机变量, 又设又设 y= g(x)处处可导的严格单调函数处处可导的严格单调函数, 记记 (, ) 为为g(x)的值域，则随机变量的值域，则随机变量Y = g(X)是是连续型连续型随机变随机变量，概率密度为量，概率密度为例例7：设随机变量设随机变量X在在 (0,1) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求 Y=- -2ln X 的概率密度。的概率密度。解：解：在区间在区间

10、(0, 1) 上，函数上，函数 ln x 0, ，02xy于是于是 y = - -2ln x 在区间在区间 (0,1) 上单调下降，上单调下降，有反函数有反函数.)(2/yeyhx由前述定理，得由前述定理，得., 0, 10,)()()(2/2/2/其他yyyXYedyedefyf注意取注意取绝对值绝对值., 0, 10,)()()(2/2/2/其他yyyXYedyedefyf., 0, 10, 1)(其他xxfX已知已知 X 在在 (0,1) 上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中)(yfY . , 0 , 0,21)(2/其他yeyfyY得得即即Y 服从参数为服从参

11、数为1/2的指数分布的指数分布。 本节介绍随机变量函数的分布问题。对本节介绍随机变量函数的分布问题。对于连续型随机变量，在求于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的分布时的分布时, 关键一步是把事件关键一步是把事件 g(X) y 转化为转化为X在一定在一定范围内取值范围内取值 X G 的形式的形式，然后利用，然后利用 X 的的分布求分布求 P g(X)y 。由此一般方法可导出单。由此一般方法可导出单调函数的公式法。调函数的公式法。小结小结 求求Y Y的密度函数即可。的密度函数即可。. ) 1 , 0() ( 2NXYNX，则，设定理定理1：一般正态和标准正态关系的证明作 业 2.20 2.22 (3) 2.23(1) (3) 例例5：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为. ,0 ,0 ,2)(2其他xxxf求求 Y = sinX 的概率密度。的概率密度。, 10 y x0当当时时 解：解：注意到注意到,当当 y0 时，时， FY(y)=0；当当 y1时，时，FY(y)=1；yydxxdxxarcsin2arcsin0222当当 0 y 1时时, )(sin)()(yXPyYPyFY)arcsin( )arcsin0(XyP