数形结合与不等式

1、2设函数f(x)二 1x21,数形结合与不等式在不等式的题目中有一些题目专门考查同学们的数形结合能力，而 且有些题目我们必须得用数形结合才能解，这些题目都有一些比较明显 的特征，所以我们给大家展示出这些题目的特点，然后告诉大家如何用 数形结合的方法进行求解。应用数形结合的典型问题有三大类： 一，解不等式，二.已知不等式组求参数的范围.三. 求参数的取值范围使不 等式(能、恰、恒)成立.一.解不等式这一类题目的特征就是不等式两边的表达式不能转化成我们所熟 悉的形式，它一般是结合了指数和对数的形式，然后与一般的一次或二 次函数比较大小，这时候我们只能用数形结合的方法进行求解。同学们 可能觉得直观的

2、作出函数图形并得不出准确的解，但是这类题一般都是 以选择题的形式出现，所以我们可以判断出解的大致范围就可以找出正 确答案了。思路是这样的：第一步：确定我们要做的是哪些函数的图像，然后写出这些函数表 达式。既然是比较两个表达式的大小，我们就把不等式左边写成 y=f(x)，右边写成y=g(x)的形式第二步：做出f (x)和g(x)的函数图像第三步：根据不等式的条件判断满足不等式的区域，这个区域就是不等式的解集，我们要求的就是f(x)的图像在g(x)的上方 时x的取值范围0，若f(X°) > 1，则X。的取值范围是(A)(-1，1)(C)(8，- 2) U (0，画出分段函数f (x

3、)(B) ( - 1，1,+ 8 )图10直线y = 1的图象，如图(图1),可知当Xo > 1或Xo V 1时，有f (Xo) >1 ,而选(D).图4D 2,0可知，原不等式的解集是x| x V 1 或 x > 4.已知不等式组求参数的范围.第二类题目有一个很明显的特征，那就是给出一个不等式组，根据 不等式组我们可以求出x,y的取值范围，在这个区域内让你求一个表达 式的最值或范围这类题目的思路是这样的：第一步：由给定的不等式条件求出x,y所在的区域第二步：把要求的表达式转化成y=f(x)的形式，并把这个所求的量 看成是一个参数第三步：在这个区域内作出f(x)的图像第四步：

4、求出这个参数的最值x 0例5:若x, y 满足条件x y ，则Z 3x 2y的最大值是多少？2x y 1第一步：在根据已知的条件x 0，我们知道x,y的范围是在y轴的右侧，根据x y我们可知x,y应该在直线y x的下方，再由第三个条件2x y 1知道x,y 应该在直线y 2x 1的上方，由这三个已知条件我们可以求出 x,y的区域，如图所示的阴影部分：I |.h.»/ JMT3IF第二步：我们把要求的表达式：Z 3x 2y转化成y=f(x)的形式，即：y 3x -Z，这时候-Z就是直线在y轴2 2 2上的2倍截距，Z最大也就是直线的截距最大。第三步：在阴影部分内作出函数y 3 x -

5、Z的图像2 2第四步：当直线y 3x -Z过直线y x与直线y 2x 1的交2 2点A(1,1)时截距最大，最大值为2.5，所以Zmax=5。例6：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间(0， 1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1) 点(a,b )对应的区域的面积；_2(2 )1的取值范围;(3) (a-1) 2+(b-2) 2 的值域.思路精析：列出a,b满足的条件一画出点(a,b)对应的区域一求面积 ! b2根据 的几何意义求范围根据(a-1) 2+(b-2) 2的几何意义求值域.解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0, 1)和(1 , 2)上的几何

6、意义分别是：函数y=f(x)= x 2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在 区间(0, 1)和(1 , 2)内，由此可得不等式组r f( (1) XI ,jL = 0i a 2b 】=0a1)，解得A (-3 , 1).由1 &-0由a1 -<1&+2>0I JX I <cI JX Z二 <)，解得 C (-1 , 0).在如图所示的aOb坐标平面内,满足条件的点(a,b)对应的平面区域为 ABC (不包括边界).(1)离) ABC的面积为Ji(h为A到Oa轴的距2 1)? o* 恳丽I7 * |4?1 1 *i-"2®ADi由

7、图可知°14 a ict-11几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率.(2)9b a 1(3) t (a-1) 2+(b-2) 2表示 的区域 内的点(a,b)与定点(1,2) 之间距 离的平方，昇2>5 E(8J7)注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用 数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：“* * C a.b), (t?)(1) m 氛连线的斜率；(2) “ 阿尸(亦 l(rn* n)之间的距离.(3) ax+by对应直线的斜率只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一 定能得心应手地运用数形结合的思

8、想方法.三. 求参数的取值范围使不等式(能、恰、恒)成立.已知函数f(x) =若|f(x)|> ax，则a的取值范围是()A. ( s， 0B. ( s， 1C . 2,1D . 2,0解析 函数y= |f(x)|的图象如图.当a = 0时，|f(x)|ax显然成立.当a>0时，只需在x>0时，In(x+ 1)> ax成立.比较对数函数与一次函数y= ax的增长速度.显然不存在a>0使In(x+ 1)> ax在x>0上恒成立.uy一/ 厂"2*当a<0时，只需在x<0时，x2 2x>ax成立.即a>x 2成立，二a&g

9、t; 2.综上所述：2W a< 0.故选D.例7.已知函数f(x)=x2+2x+1 ,若存在实数t,当x 1 ,m时，f(x+t) < x恒成立，则实数m的最大值是()依题意，则在区间1，m34解：f( x) = ( x+ 1)2，令 y=x，上f( x+t )的图象在直线y=x下方.'(x-2)2时，实数m的值最大， 解方称(x -2) 2=x，得 x= 1 , 4 .由图形可知，当f( x+t)=即m的最大值4，故选C .例8.已知x，y满足x2 y2 2y 0，欲使不等式x y c 0恒成立，求 实数c的取值范围。分析：欲使x y c 0恒成立，即c x y恒成立，故c (x y)min。于是问题转化为求x2 y2 2y 0上一点，使x y有最小值问题。由图 2可知，当直线h平行于x y 0且与圆x2 y2 2y 0相切于下方时，x y取最小值1 2第9页故 c 12，从而c ,21。9:设函数 f (x) =ex - e- xI )求证：f (x)的导数f(x) > 2;n ) 若对所有x > 0都有f (x) > ax ,求a的取值范围 n ):利用导数研究f (x)的性状，f (x) = e x+e- x> 0, 函数 f ( x)当 x> 0 时单调递增, 又函数f (x)当x> 0时也单调递增，函数f