求曲线轨迹方程专题

1、轨迹方程问题常见的有六种求轨迹方程的方法： 待定系数法：由几何量确左轨迹方程： 定义法：根据曲线的圧义，求轨迹方程； 直接法：给岀某些条件(几何、三角或向量表达式等)求轨迹方程： “代入法”求轨迹方程；参数法(包括解决中点弦问题的点差法)求轨迹方程. “交轨法”求轨迹方程；1. 直接法求轨迹方程.给岀某种条件：平而几何、三角函数、解析几何、向量形式等.求 解程序：设动点P的坐标为P(, y)：按题目的条件写出关系式：整合关系式：注 明范围.例1.设InR,在平而直角坐标系中，已知向量"=(My+ 1),向b = (Xyy"丄动点M(X,y)的轨迹为E.求轨迹E的方程,并说明

2、该方程所表示曲线的形状：解：因为 丄b, a = (mxiy +1), b = (x,y-V),所以 b = InX2 + y2 -1 = O ,即 mx2 + y2 = 1 .当m=0时，方程表示两条直线：y = ±l;当加=1时，方程表示的是圆：x' + y2=l;当m>O且m时，方程表示的是椭圆;当m<O时,方程表示的是双曲线.2. 根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程例2.如图，圆0：与圆6的半径都是1, OO二4,过动点P分别作圆O1.圆0：的切线PM、PN (H、 N分别为切点)，使得PM=近PN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.则解：如图，以直线0

3、02为X轴，线段qo?的垂直平分线为y轴，建立平而直角坐标系，则 两 圆心分 别 为 q (-2,0)4(2,0) 设 P(y)PN2 =(X-2)2 + y2-l . PM2 = OIP2-O1M22)2 + yT PM = >2PN ,：.(X + 2)2 + y2-l = 2(X-2)2 + r-l,即x2-12 + +3 = 0,即(X一6)2 + y2 = 33 这就是动点P的轨迹方程.注：动圆圆心轨迹问题动圆与两外离立圆均外切(含相交)；动圆过左点且泄圆外切：动圆过定点且龙直线 相切：动圆与两定圆一个外切，一个内切：动圆过建点且定圆相切.3. 参数法求轨迹方程：例3.动圆P过

4、点A (0, 1)且与直线y二-1相切，0是坐标原点，动圆P的圆心轨迹是曲线C.(1) 求曲线C的方程；(2) 过A作直线/交曲线C于DE两点，求弦DE的中点M的轨迹方程：(3) 在(2)中求zXODE的重心G的轨迹方程。解：点P到点A的距离等于点P到直线y二-1的距离，故点P的轨迹C是以点A为焦点， 直线y=-l为准线的抛物线，所以曲线C的方程x=4y.(2)设M(x, y)fD(x1, y1),E, y2),依题意知过A的直线的斜率存在,设该直线胎方程为:y=kx+l, 与x' = 4y联立，消X整理得：x'-4k-4 = 0,则x1+x2=4k,贝IJX = (x1+x2

5、) = 2k, V = kx+l=2k2 +1,即<V = 2,消去斤得：尸2(分+ 1,即y =；疋+ 1为所求的方程.v = 2k- + l22另解:(2) VA(OJ),设 D(XPyI), E(x29y2)9 Mgy),则由 <=4y1, xj=4y2 t 两式相减得£ =g=宁吟又“X. -X 42XX y 12=即y =(3)设 G (x,y),由(2)得x1+x2=4,y1+y2=(x1+x2) + 2 = 4A:2 + 2 ,0 + x1 +x7JV =_3O + y1+y9 y =1 Z.34kX = 一34Z2V =+ -3 O,消去k得：y = -+

6、二为所求方程。4 34“代入法”求轨迹方程：设点M是已知曲线F (x, y) =0上的动点，点P因点M的运 动而运动(即点P是点M的相关点)，求点P的轨迹方程 设点M的坐标为M ( XQ , yQ ),则F ( x0, y0) =0： 设点P的坐标为P(X，y )： 因为“点P随点M的运动而运动”，可以求得：X0 =f (x, y),儿=g(x, y)：把=f (, y), y()=g (x，y)代入F ( XO,儿)=0,即得所求点P的轨迹方程.例4已知点>(x(PyO)为双曲线二-= 1 (为正常数)上任一点为双曲线的右焦 8b b点，过PI作右准线的垂线，垂足为A ,连接FlA并延

7、长交y轴于巴求线段片巴的中点P的轨迹E的方程Q解：(1)由已知得朽(3h0) , A(-b9儿)，则直线耳A的方程为：y =3V0(x-3Z?),=1,令 = O 得 y = 9儿,即 P2(O,9yo),设 P(x, y),则32儿+9儿” 2XU = 2x ,即VV=5儿儿乜即P的轨迹E的方程为匚-一匚=12h225h25.'交轨法”求轨迹方程：设动曲线F(x,y) =0和动曲线G(x, y)=0相交于点P,求 点P的轨迹方程.从理论上，其求解程序为：F (X V)= 0设动点P的坐标为：(XpJp):解方程组",求交点即得到G(x, y) = 0其中一般会含有参数，有一

8、个消除参数的难点.例5.已知椭圆二+二=1 (a>b>0)的离心率为上0.以原点为圆心，以椭圆短半Cr Zr3轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.(1) 求a与b的值：(2) 设该椭圆的左，右焦点分别为片和直线厶过&且与X轴垂直，动直线乙与y 轴垂直，L2交厶于点P.求线段PFx的垂直平分线与直线厶2的交点M的轨迹方程，并指明 曲线类型.Ta2 2O解：(1 )e= => r =乂圆心(0,0)到线y=x+2的出宓J d=半彳金b= ,3X 3VpTFy = f由2ty = 一一X + Ut2(2) FI (一 1, 0)、Fl (1, 0),由题意可设P (1, t

9、) (t0).那么线段P片的中点为N (0, £ ).厶2的方程为：y=t,设M(XM C 是所求轨迹上的任意点. 2t2直线PFI的斜率k=, 线段PFI的中垂线MN的斜率=一 y ./ 2所以:直线MN的方程为:y- = -r.消去参数t得：= -4XM ,即：丄一y)T而函=O2y2 =-4 ,其轨迹为抛物线(除原点)又解：由于顾=(_X, -y), PE = (一x,2«(_V，2)(_A，2_ V)= 0»消参数t得：y2 = -AX (0),其轨迹为抛物线(除原点). .y=t注：本题的第一问是由几何量确左轨迹方程；第二问是“交轨法”求轨迹方程.y=k

10、x5例6.已知曲线G ：号+ f = l(>b>O)所围成的封闭图形的而积为4JL曲线Cl的内切圆半径为芈，记S以曲线G与坐标轴求椭圆C?的标准方程:(2)设A3是过椭圆C中心的任意弦，厶是线段A3的垂直平分线，M是厶上异于椭圆中心的的交点为顶点的椭圆.2r7 = 45ab点.若IMOI= RlOA 1( O为坐标原点)，当点A在椭圆C?上运动时，求点M的轨迹方程.解：由题意得<j ab 2石=>/=5, b2 =4=>椭圆方程：厶+宁=1 .2+r =(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(kH0), A(x, y).+ = 1.202

11、20疋2 r 2O(1 + Q54= , V； = =>OAV=x+y =, 4 + 5疋儿 4 + 5 疋4 “4 + 5/y =匕设 M(x, y),由 MO = OA ( 0) => MO 2= X= OA :=> A2 + y2 = A2 ""十“)4 + 5k因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y=-丄=>k=-丄，代入上式有: kyX20(1+ -)22X2 + y2 = A2= A2 "'I +'J，由 X2 + y2 O => 5x2 +4v2 = 202 f4 U "4y+54 +

12、5×-当E或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为宁+令"，<xo）.例7已知椭圆C的中心为直角坐标系XQy的原点，焦点在X轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆C的方程：（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于X轴的直线上的点，r14 = ,求点M的轨迹方程, IoMl并说明轨迹是什么曲线.G-C = I解：（1）设椭圆长半轴长及分别为/ C.由已知得=>a=4, c = 3.a+ c = 7（2）设Mgy）,英中X-4,4 o由已知PPIaWl2 3 4=Zz及点P在椭圆C上可得4椭圆C的方程为話于".解：由条件知

13、片(-2,0),耳(2,0),设A(Xp y1), B(Xr y2).设M(z y),则FiM =(x+2, y), FlA = (Xl +29 yl)9 FlB = (x2 +2,儿)壬0 = (2,0),x + x2 = X - 4.y+y2 = >,I x +2 = XI +x7+6由 FlM = FiA+ FiB +FiOIm+儿=> AB的中点坐标为»2 2)当A3不与X轴垂直时，2_oX-力=丄=丄，Xl -X2牙_4 O x-8 -l-即 >?1 ->2= 4(又因为A 3两点在双曲线上，所以 x-y12=2> x-yl=2,两式相减得(x

14、1-x2)(x1+x2) = (y1-y2)(y1+y2),即 (XI-X2)(x-4) = (y1-2)y 将Ji- ” = (Xl- XJ代入上式，化简得(X 一 6)2 一尸=4 x-8当A3与X轴垂直时，x1 =x2 =2,求得M(8,0),也满足上述方程. 所以点M的轨迹方程是(X-6)2-/=4.练习：1.分别过M-l0), A,l,0)作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方程是2. 已知点F为抛物线y2 = 2x的焦点，P在抛物线上运动，则线段PF的中点轨迹方程是3. 已知椭圆的焦点是FF2 , P是椭圆上的一个动点.如果延长Ff到0,使得PQH PFJ,那么动点0的轨迹是

15、()，如果M是线段FlP的中点，则动点M的轨迹是()(A)圆(B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线4设A, B分别是直线y = =x和2-迹兀上的两个动点，并且BI=2O,动点P满55 OP = OA+ OB记动点P的轨迹为C,求轨迹C的方程5已知椭圆G的中心在坐标原点，一个焦点为F(0,3),过点F且垂直长轴的弦长为1,(1) 求椭圆G的方程；(2) 过椭圆G上一动点M作平行于y轴的直线加，设加与X轴的交点为N ,若向量OQOMON,求动点0的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.整理得q6C9）Z6巧2,苴中y*（i） =-时。化简得9y2=112所以点M的轨迹方程为y = ±竺l（-4S4）,4,3轨迹