信号分类、采样与傅里叶分析

1、1随机信号2主要内容n离散时间信号分类n基本信号和卷积n信号的傅立叶分析n采样定理n线性时不变系统分析3信号的分类n同一种信号，如电信号，可从不同角度进行分类：n（a）一维信号、二维信号、矢量信号n（b）周期信号和非周期信号n（c）确定性信号和随机信号n（d）能量信号和功率信号n（e）连续信号、离散信号n（f）模拟信号和数字信号4信号的分类n根据信号自变量的取值分：连续信号和连续信号和离散信号离散信号n连续信号：连续信号：在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义。“连续”的含义是指信号在定义域内（除有限个间断点外）信号变量是连续可变的。 （自变量连续自变量连续）n离散信号：离散信号：仅仅在离散

2、时刻上有定义的信号。 “离散”的含义是指自变量只取离散的值。（自变量离散自变量离散）5信号的分类n根据信号自变量和应变量的取值分：模拟信号、抽样信号和数字信号模拟信号、抽样信号和数字信号n模拟信号：模拟信号：幅值可以连续取值的连续信号。（自变量和应变量均连续自变量和应变量均连续）n抽样信号：抽样信号：幅值可以连续取值的离散信号。（自变量离散和应变量连续自变量离散和应变量连续）n数字信号：数字信号：幅值只能取某些规定数值的离散信号。（自变量和应变量均离自变量和应变量均离散散）6模拟信号、抽样信号和数字信号n模拟信号：指时间连续时间连续、幅度连续幅度连续的信号。n抽样信号：指时间离散时间离散、幅度

3、连续幅度连续的信号。n数字信号：时间和幅度上都是离散时间和幅度上都是离散（量化）的信号。故数字信号可用一序列的数表示，而每个数又可表示为二制码的形式。x(t)tx(tn)tnx(n)n采样模数保持转换模拟信号抽样信号数字信号7信号的分类n根据信号是否具有随机特性：确定信号确定信号和随机信号随机信号。n确定信号确定信号：可以用数学关系清楚地描述的信号。n随机信号随机信号：无法用数学明确地进行描述的信号。8信号的分类n根据信号是否具有重复性：周期信号周期信号和非周期信号非周期信号。若信号满足： x(n)=x(n+kN) K,N为正整数，n+kN为任意整数，则x(n) 是周期信号，周期为N；否则就是

4、非周期信号。9信号的分类n具有能量、功率是否有限：能量信号和能量信号和功率信号。功率信号。n若信号能量E有限，则称为能量信号能量信号；信号能量E可表示为nnxEdttxE22)()(10信号的分类n若信号功率信号功率P有限，则称为功率信号；1022)(1lim)(1limNnNTTTnxNPdttxTPn周期信号周期信号及随机信号随机信号一定是功率信号；n非周期的绝对可积（和）信号非周期的绝对可积（和）信号一定是能量信号。11基本信号n单位冲激信号n单位阶跃信号n指数形式信号0001)(nnn0001)(nnnunanxn)(12基本信号迭分是后向差分，而是即系单位脉冲与阶跃信号关质单位脉冲序

5、列的筛选性)()()()()()()() 1()()()()()()()()0()()0()()(kkukukknukukukukmfmkmfmkkffkfkkfnk13卷积n离散信号的卷积定义为iikfifkfkf)()()(*)(212114卷积性质n交换律n结合律n分配律)(*)()(*)(1221kfkfkfkf)(*)(*)()(*)(*)(321321kfkfkfkfkfkf)(*)()(*)()()(*)(3121321kfkfkfkfkfkfkf15卷积性质n任意序列与单位脉冲序列卷积等于本身n卷积平移特性)()(*)()(*)(kfkfkkkf)()(*)()()(*)()(

6、*)()()(*)(21212121mnkfmkfnkfmkfkfmkfmkfkfkfkfkf，则若16信号的傅立叶分析1. 连续周期时间周期信号连续周期时间周期信号ktkccekXtx0F2j)()(pTtkcpcdtetxTkX0F2j0)(1)(为傅立叶系数为各次谐波的线性组合其中F0=1/Tp为基频17信号的傅立叶分析1. 连续时间周期信号连续时间周期信号 信号功率的Parselval定律202)()(1kcTcpxkXdttxTPp因为傅立叶系数只在离散的功率0，F0， 2F0， 3F0， 上取值，故频谱特点：离散非周期谱18信号的傅立叶分析2.连续时间非周期信号连续时间非周期信号d

7、tetxFXtccF2j)()(上述积分不一定存在。当信号满足Dirichlet条件时，傅立叶变换存在：（1）在任何有限区间内只有有限各最大或最小值，（2）在任何有限区间内只有有限间断点，（3）绝对可积，即信号的傅立叶变换为：dttxc| )(|19信号的傅立叶分析2.连续时间非周期信号连续时间非周期信号dFeFXtxFtcc2j)()(信号可以从下面的傅立叶反变换公式合成20信号的傅立叶分析2.连续时间非周期信号连续时间非周期信号频谱特点： 连续非周期谱信号能量守恒Parseval公式为dFFXdttxEccx22)()(21信号的傅立叶分析3.离散周期信号离散周期信号 任何周期为N的离散时

8、间周期性信号可用下列傅立叶级数表示knNNkknNNkWkXekXnx102j10)()()(knNNkknNNnWnxNenxNkX102j -10)(1)(1)(其中22信号的傅立叶分析3.离散周期信号离散周期信号 的离散序列，故是周期为因为NknNW信号功率的Parselval定律频谱特点：周期为N的离散谱102102)()(1NkNnxkXnxNP23信号的傅立叶分析4.离散非周期信号离散非周期信号 任何绝对可积的离散信号满足：nnx| )(|wnjwenxeXj -)()(其中离散傅立叶变换存在，则24信号的傅立叶分析4.离散非周期信号离散非周期信号 傅立叶反变换为：nnx| )(|

9、dweeXnxwnjwj)(21)(离散傅立叶变换为25信号的傅立叶分析4.离散非周期信号离散非周期信号 如果x(n)为实数，那么其傅立叶变换幅值为偶函数，相位为奇函数，即：)()(| )(| )(|jwjwjwjweXeXeXeX信号能量Parseval关系为：频谱特点： 周期为2的连续谱dweXnxEjwnx22)(21)(26信号的傅立叶分析将上述分析综合如下：将上述分析综合如下：1.连续连续时间时间周期周期信号信号-离散离散的的非周期非周期谱谱2.连续连续时间时间非周期非周期信号信号-连续连续的的非周期非周期谱谱3.离散离散时间时间周期周期信号信号-周期周期为为N的的离散离散谱谱4.离

10、散离散时间时间非周期非周期信号信号-周期周期为为2 的的连续连续谱谱便于大家理解：便于大家理解：连续造成谱非周期，离散造成谱周期；连续造成谱非周期，离散造成谱周期；周期造成谱离散，非周期造成谱连续。周期造成谱离散，非周期造成谱连续。27采样定理n离散信号可以看成是对周期性信号的周期性采样获得为采样周期TnnTxnxc)()(对应信号的频谱分别为：njwnjwFtjccenxeXdtetxFX)()()()(228采样定理n其中，采样频率Fs=1/T，则有频率称为相对频率或归一化所以代入上式，得sssFFffFFFnnTt/,2/2/所以两者联系为：kscsFFjkFFXFeXs)()(/229

11、n从上式可以看出，离散信号的频谱是连续信号频谱以周期Fs重复、并乘以一个系数得到。n为了说明问题，我们假设信号带宽为B，则以图示说明两者连续)(txct)(txct)(FXcFBB)(FXFBBsF0sFBFs2)(txct)(FXFBBsF0sFBFs2混叠30采样定理n由上述分析，引出著名的采样定理：n带宽为B的实数值连续时间信号，当采样速率为Fs至少是带宽的两倍时，可以从它的离散采样中唯一恢复。n恢复时只要对离散信号频谱进行理想低通滤波即可得到原来的信号。推导得到下面的内插公式：Fs为Nyquist采样频率nccnTtTnTtTnTxtx)(/()(/sin()()(31线性时不变系统分

12、析n时域分析：系统的输出包括零输入响应和零状态响应。系统的零状态响应(输出)y(n)可以表示为输入x(n)和冲激响应h(n)的卷积，即nknhkxnhnxny)()()(*)()(设x(n)和h(n)序列的长度分别为N和M,且MN,则根据卷积的定义，输出序列y(n)的长度L=N+M-132将输出写成矩阵的形式：n称为输入数据矩阵，是托普利兹Toeplitz矩阵。因X前M-1行和后M-1行包含0（或边界），因此具有边界效应。Xhy 或) 1() 1 ()0() 1(000)() 1()0() 1(000)0() 1() 1() 1()0(MhhhNxMNxNxxMxxLyNyMyy33MATLAB卷积实现一nn=1:100;nm=1:50;nx=sin(n*pi/50);nh=exp(-(m-25).2/20)/(2*pi);ny=conv(h,x);nplot(n,x,Color,1,0,0);nhold on, plot(m,h,Color,1,0,1),plot(y),hold offn图示结果如下：34MATLAB卷积实现二nn=1:100;nm=1:50;nx=sin(n*pi/50);n