电磁场理论课件：第二章 静电场

1、2021-11-16Copy right By Dr.Fang1第三章第三章 静电场静电场2021-11-16Copy right By Dr.Fang21.1.点电荷产生的电场点电荷产生的电场， rrRRReR ， 3-1 3-1 静电场的基本方程静电场的基本方程一、静电场的场强叠加原理一、静电场的场强叠加原理),(zyxq222)()()( zzyyxxrrR304),(rrrrqzyxExyzre xe ye z，204RqRRrerqqFE41200电荷在坐标原点：电荷在任意点：)( 430mVCNrrq或xyzre xe ye z204RqeR2021-11-16Copy right

2、 By Dr.Fang3 2. 2.多个离散点电荷产生的电场多个离散点电荷产生的电场 NkkkkrrrrqrE13041q2qkqnqNkkkkRRq1304NkkkkeRq1204 3-1 3-1 静电场的基本方程（续）静电场的基本方程（续）一、静电场的场强叠加原理（续）一、静电场的场强叠加原理（续）2021-11-16Copy right By Dr.Fang43.3.连续分布电荷产生的电场连续分布电荷产生的电场 VrrrrrrEd)(4130 SrrrrrrESd)(4130 LLlrrrrrrEd)(4130 3-1 3-1 静电场的基本方程（续）静电场的基本方程（续）一、静电场的场强

3、叠加原理（续）一、静电场的场强叠加原理（续）2021-11-16Copy right By Dr.Fang5DE0微分形式：微分形式： 3-1 3-1 静电场的基本方程（续）静电场的基本方程（续）VVSDdd0dSBStBlELddddStDSJlHLddddd二、静电场方程二、静电场方程将不随时间变化条件代入麦克斯韦方程，可得静电场基本方程0BDtDJHtBE积分形式：积分形式： VVSDdd0d LlE物理意义：物理意义： 静电场是保守场或无旋场，其电力线不闭合；静电场是有源场，电荷是源。2021-11-16Copy right By Dr.Fang6 三、静电场边界条件三、静电场边界条件

4、1212()0 ()SnEEnDD矢量形式矢量形式 1212 ttnnSEEDD标量形式标量形式 理想导体与理想介质分界面 两种理想介质分界面 两种一般媒质分界面21nnD= D， 12ttEEnSD0tE， SnnDD21， 12ttEE2021-11-16Copy right By Dr.Fang71.1.电位函数的引入电位函数的引入 数学上看，凡一矢量 ，则此矢量一定可用一个标量的梯度表示，即 。 0AA根据 ，静电场电场强度一定可以写成某个标量的梯度。0E 3-2 3-2 电电 位位 物理上看，保守场（作用力是保守力）存在一个势函数。 为此引入电位函数，它与电场的关系是： gradE一

5、、电位与电场强度的关系一、电位与电场强度的关系静电场是保守场，因此存在势函数，叫做电势或电位函数。 2021-11-16Copy right By Dr.Fang8 式中负号说明，式中负号说明，电场强度矢量指电场强度矢量指向电位向电位 减小的方向减小的方向，即由正电荷指，即由正电荷指向负电荷的方向向负电荷的方向，而电位梯度方向是，而电位梯度方向是电位电位 增大的方向。增大的方向。 等电位面的方程： , ,x y zC电位函数方向导数与其梯度的关系： ll 一、电位与电场强度的关系（续）一、电位与电场强度的关系（续） gradElEl即lE lE 2021-11-16Copy right By

6、Dr.Fang9 2. 2.电位差电位差 1221212121dPPEl 21dddPPll21dPPll21dPPl21dPPlE3-2 3-2 电电 位（续）位（续） 所以 电位差是标量，单位为伏特（V） 21dPPP1到P2点电位差表示为 2021-11-16Copy right By Dr.Fang10电荷分布在有限范围时，无穷远点作参考点：电荷分布在有限范围时，无穷远点作参考点： 球坐标系点电荷产生的电位： Rrrqpd42PlEPd)(也可以写成： rrqr4电荷分布在无限范围时，参考点必须选在有限远处。电荷分布在无限范围时，参考点必须选在有限远处。3-2 3-2 电电 位（续）位

7、（续） 3.3.电位参考点电位参考点 为确定电位值，必须选择参考点，规定参考点电位为零。 0P00dd)(PPPPlElEP212121dPPEl Rq42021-11-16Copy right By Dr.Fang11二、电位函数的边界条件二、电位函数的边界条件 所以： 12根据： 12 nnSDD可得： 1122 nnSEE电位的边界条件： 121212 Snn2121dlim12PPPPlE022lim210LELEL3-2 3-2 电电 位（续）位（续） 由于 lEl1212 nnSnn所以212121dPPEl 2021-11-16Copy right By Dr.Fang12 三、

8、电位叠加原理三、电位叠加原理 多个离散电荷分布的电位： 对于电荷连续分布的电位，有 NiiiNiirrqrr10141)( ,d41)(0VRr 单个电荷产生的电位： rrqr4),(zyxq3-2 3-2 电电 位（续）位（续） ,d41)(0SRrSLllRrd41)(02021-11-16Copy right By Dr.Fang13例例 求电偶极子周围的电位分布。 2121lelrz解：解：根据公式： rrqrrqr041rzyxerzeyexer212140lrlrqlelrz2121 , NiiiNiirrqrr10141)( 三、电位叠加原理（续）三、电位叠加原理（续） 2021

9、-11-16Copy right By Dr.Fang14（l/2 r） 21222lrlrlr 212222lllrrr2122cos224lrlr212cos2221rlrlr21lr21cos2211rlr例例 求电偶极子周围的电位分布。（续） rrqrrqr041212140lrlrq212cos22211rlrlr21cos221121rlrlr（l/2 r）2021-11-16Copy right By Dr.Fang15 21cos21121xrlrxf2xlr令，则：令，则： 023cos2cos212110 ,xxrf泰勒公式： 200000! 21xxxfxxxfxfxfr

10、cos21cos221121rlrlrf(x)在 x = 0处作泰勒展开，取前两项: xffxflr0021rlrr2cos1cos211rlr（l/2 r） rf10 cos21121rlrlr2021-11-16Copy right By Dr.Fang16将上两式代入到电偶极子的电位表达式，可得到 21214,0lrlrqr同理可得： cos21121rlrlr204cosrql204rel qr204reprcos21121rlrlrcos420rlq2021-11-16Copy right By Dr.Fang17sin11rererer333222111uhuuhuuhu球坐标系下

11、：sin , , 1 ,321rhrhh 2u3uru 1,正交曲线坐标系哈密顿算符：2004cos21214,rqllrlrqr对电位进行梯度运算可求得电场强度矢量： E204cossin11rqlrerereErsincos2430eerpr20cos14rrereqlrererqlrsincos243302021-11-16Copy right By Dr.Fang18到目前为止我们学过的哪些求电场的方法？3-3 3-3 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程库仑定律：离散电荷和连续分库仑定律：离散电荷和连续分布电荷；布电荷；高斯定理：对称分布电荷；高斯定理：对称分布电荷；求电位，

12、再求梯度：非对称求电位，再求梯度：非对称分布电荷。分布电荷。2021-11-16Copy right By Dr.Fang19 D推导静电场微分方程：推导静电场微分方程：泊松方程泊松方程 2222222xyz 静电场问题静电场问题边值型边值型分布型分布型拉普拉斯方程拉普拉斯方程 当所讨论区域无电荷时： 20E)(2：在有限空间，通过边界值和微分方程求解。 ：在无限空间，通过积分或求和公式求解。3-3 3-3 泊松方程和拉普拉斯方程（续）泊松方程和拉普拉斯方程（续）2021-11-16Copy right By Dr.Fang203-4 3-4 静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理 一、边值问题

13、 1狄里赫里型（第一类）边值问题 2 ( )VSf 在体积之内在表面上边值问题：边值问题：通过微分方程和边界条件来求解的问题。2021-11-16Copy right By Dr.Fang213-4 3-4 静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理( (续续) ) 一、边值问题 2纽曼型（第二类）边值问题 2 ( )Vgn 在体积之内在表面上边值问题：边值问题：通过微分方程和边界条件来求解的问题。2021-11-16Copy right By Dr.Fang22 3混合型（第三类）边值问题混合型（第三类）边值问题 01201 () ()Vfgn 在体积之内在表面上3-4 3-4 静电场的唯一性定理

14、静电场的唯一性定理( (续续) ) 一、边值问题 边值问题：边值问题：通过微分方程和边界条件来求解的问题。2021-11-16Copy right By Dr.Fang23二、唯一性定理二、唯一性定理(Uniqueness Theorem)(Uniqueness Theorem)及其意义及其意义唯一性定理：唯一性定理：当空间各点的电荷分布与边界条件已知时，空间各部分的场就唯一地确定了。 教材8284页给出了唯一性定理唯一性定理的证明，应用了格林定理，请同学们自己阅读。 不管通过什么方法得到的解，哪怕是猜测出的解，只要它能满足边值条件，这个解就是唯一正确的解。 3-4 3-4 静电场的唯一性定理

15、静电场的唯一性定理( (续续) ) 唯一性定理的意义唯一性定理的意义2021-11-16Copy right By Dr.Fang243-53-5 镜像法镜像法 镜像法：镜像法：通过电荷的镜像来解决静电场问题的方法。一、无限大理想导体平面的镜像一、无限大理想导体平面的镜像 无限大接地平面导体上方d 处的点电荷q 产生的电位满足： 2 0( ,0, )0 xz在半无限大空间 y0,点电荷处除外在理想导体表面上 y=0镜像法意义：镜像法意义：可以使一些具有特殊电荷分布的场求解变得简单。镜像法的原则：镜像法的原则：用镜像电荷代替感应电荷，并且保证待求区域的电荷分布以及边界条件不变。2021-11-1

16、6Copy right By Dr.Fang25分析：分析：由于电荷q，导体板上会出现分布不均匀感应电荷，导体板上方的电位是q与所有感应电荷共同产生的。难点难点：计算感应电荷的分布。2 0( ,0, )0 xz在半无限大空间 y0,点电荷处除外在理想导体表面上 y=00SRzdyxqzyxSSd414,022202021-11-16Copy right By Dr.Fang26说明：说明：所求电位只在导体板上方有效；只有导体板无限大时，镜像电荷才与原电荷等值异号，并位于原电荷镜像位置上。 移走导体板，在电荷q对称点(0, d, 0) ( y = d )放置镜像电荷 。镜像电荷替所有感应电荷的作

17、用。 qqq采用镜像法求解采用镜像法求解0(a)原问题2021-11-16Copy right By Dr.Fang270011( , , )4yqx y zRR根据电位叠加原理，可得：11220222222114qxydzxydz如何证明解的正确性？ 根据唯一性定理进行验证。 Niiirrqr10411212222222()()RxydzRxydzqq2021-11-16Copy right By Dr.Fang282255222202222222222224() 3() 3()()qxxydzxxydzxxydzxydz2255222202222222222224() 3() 3()()y

18、dydqyxydzxydzxydzxydz唯一性定理唯一性定理 空间各点电荷分布与边界条件已知，空间各部分场就唯一地确定。空间各点电荷分布与边界条件已知，空间各部分场就唯一地确定。 因此只要解满足拉普拉斯方程和边界条件，解就是正确的。22222220 xyz00y即，2021-11-16Copy right By Dr.Fang292255222202222222222224() 3() 3()()qzxydzzxydzzxydzxydz22222220 xyz0114021222212220yzdyxzdyxq 2255222202222222222224() 3() 3()()qxxydz

19、xxydzxxydzxydz2255222202222222222224() 3() 3()()ydydqyxydzxydzxydzxydz0q(0,d,0)2021-11-16Copy right By Dr.Fang30根据电位的边界条件：Snn221132222001242Syqxydzydy 1122022222211, ,4qx y zxydzxydz能否求出感应电荷的面电荷密度分布？能否求出感应电荷的面电荷密度分布？322220122yxydzyd 0q(0,d,0)2021-11-16Copy right By Dr.Fang31322222qdxdz 验证：验证： qzdxxq

20、dSSS 232222dzdd322221242Sqxdzd32222122xdzd 0q(0,d,0) 采用镜像法只能求所给定空间静电场的电场强度E 和电位，不能求这个空间以外其他空间的静电场和电位分布。 需要说明需要说明322222duuCuaua积分公式积分公式2021-11-16Copy right By Dr.Fang3245o+q-q+q+q-q+q-q例例正电荷q与相交成45角的两个接地导板的距离分别为d1和d2，采用镜像法求电位，需要几个镜像电荷？给出电荷位置、大小和极性。解：解：结论结论-q分析可知：本题需要7个镜像电荷。 所有两个导板夹角为360o/ / = n(n为整数)

21、 条件下镜像电荷数为n1。2021-11-16Copy right By Dr.Fang33二、无线长理想导体圆柱的镜像二、无线长理想导体圆柱的镜像( (阅读阅读) )2021-11-16Copy right By Dr.Fang34电流元的镜像电流元的镜像电流元视为等量异号电荷构成的电偶极子。电流元电流正方向由负电荷指向正电荷。根据电荷镜像原理，可确定无限大理想导体平面上电流元的镜像。HHIIIIII2021-11-16Copy right By Dr.Fang353-6 3-6 电场能量电场能量 一、点电荷系统的静电场能一、点电荷系统的静电场能 两个点电荷系统的静电场能（静电位能）：两个点

22、电荷系统的静电场能（静电位能）： 空间无任何点电荷时将点电荷 置于 ，无需外力作功。1q1r2d2relFW2d)(2rlEq将 从无穷远处搬到 ,此过程中外力克服电场力作的功就是 的静电位能，也是 和 两个点电荷系统的静电位能。其值为： 2q1q2q2q2r2d2rlEq 2212rq120124rrqq总结：总结：q2的静电位能等于q2乘上q1在 处的电位。2r2021-11-16Copy right By Dr.Fang363-6 3-6 电场能量电场能量( (续续) ) 一、点电荷系统的静电场能一、点电荷系统的静电场能( (续续) )同理可得 的静电位能，也是 和 系统的静电位能，值为

23、： 1q2q1q显然显然21eeeWWW 11211rqWe210214rrqq结论：结论：点电荷的静电位能为电荷量与电荷处电位的乘积。1220214eqWqrr q2的静电位能总结：总结：q1的静电位能等于q1乘上q2在 处的电位。1r为q2在 处的电位1r 121r2021-11-16Copy right By Dr.Fang37 故该两个点电荷系统的静电位能可写成： 2121eeeWWW 112122121122qrqr可推论三个点电荷系统的静电位能可写成： 32121eeeeWWWW 11121131,eWqrr 22212232,eWqrr 33313323eWqrr21111201

24、2= 4eqWqqrr，1222210214eqWqqrr各电荷的静电位能为其电荷量与电荷处（另外两个电荷产生的）电位的乘积。2021-11-16Copy right By Dr.Fang38三个点电荷系统的静电位能： 32121eeeeWWWW 11311211rrqWe 22322122rrqWe 33313323eWqrr21021124)(rrqr1212021( )4qrrr3131013, ( )4qrrr1313031( )4qrrr3232023, ( )4qrrr23023324)( ,rrqr其中2021-11-16Copy right By Dr.Fang39其中3231

25、32321213121 , ,32121eeeeWWWW 11311211rrqWe 22322122rrqWe 13213133rrqWe323132321213121212121qqq332211212121qqq三个点电荷系统的静电位能： 332211212121qqqWe3121iiiq表示除 外其余电荷在 处产生的电位总和。 iqiqi2021-11-16Copy right By Dr.Fang40112niEiiWq1211iiniiiiii因此：表示除 外其余电荷在 处产生的电位总和。 iqiqi3121iiieqW三个点电荷系统的静电位能： 可以推论出n个点电荷系统的静电位能

26、n个点电荷系统的静电位能个点电荷系统的静电位能其中323132321213121 , ,2021-11-16Copy right By Dr.Fang41二、分布电荷系统的静电位能二、分布电荷系统的静电位能 将上式的第i个点电荷qi可改为dq =dv，将求和改为体积分，便得到体电荷分布系统的静电位能，即 VEWd21同理有： sWSEd21112niEiiWq3-6 3-6 电场能量电场能量( (续续) ) n个点电荷系统的静电位能2021-11-16Copy right By Dr.Fang42三、带电导体系统的静电位能三、带电导体系统的静电位能Si n个带电导体组成的系统中，第i个导体的表

27、面积为 ，其电位为 ，其带电量为 ，因电荷分布在导体表面，所以有电荷面密度 ，则第i个导体的静电能位为： iSiiqSi niSiiSEiiSW1d21niSiSiiiS1d21niiiq1213-6 3-6 电场能量电场能量( (续续) ) iiSiiSeiSWd21n个带电导体系统的静电位能为：2021-11-16Copy right By Dr.Fang43Si已知体积V内电荷连续分布，则体积V所具有的静电场能为： 四、静电场能量密度四、静电场能量密度VEWd213-6 3-6 电场能量电场能量( (续续) ) 利用矢量恒等式： VEWd21AfAfAf)(VDd21VDd21 D利用高

28、斯定理：利用高斯定理： DDD)(D DEDDED)(2021-11-16Copy right By Dr.Fang44将积分区域扩展到无限空间 ，则 随之扩展到 。 SV可知单位体积能量(即电场能量密度)为： 122,rDrSr，上式第一项为零。r 2e1122wE DE VEDWd21DEDD)( VVEDEDWd21d21VDESDd21d211d2EVE D W故并有所以VVeEEwWd21d22021-11-16Copy right By Dr.Fang45 例例 在均匀介质中，有一个半径为a的带电为q的金属球，试求其静电位能WE。 解：解：24 rqEer无穷远处电位为0，金属球表面上电位为 金属球所具有的静电势能为 aarrEdSWSEd21arrqd42arq4aq4SSd21SSd21q21aq82金属球产生的静电场由高斯通量定理得 方法1：利用电位求金属球静电位能 arr2021-11-16Copy right By Dr.Fang46金属球产生的静电场由高斯通量定理得 24 rqEer第二种方法：VeEwWdVVEdlim212 200222dddsin421arrrq 2002ddsin1421arq 20022ddsin32aq20022dcos32aq20022dcos32aqaq82利用能量密度公式求金属球的静电势能 3213