人教版初中九年级上册数学《24.4 弧长和扇形面积》课件

1、第一课时第二课时人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册第一课时返回返回问题问题1 如图，在运动会的如图，在运动会的4100米比赛中，甲和乙分别在第米比赛中，甲和乙分别在第1跑跑道和第道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题问题2 怎样来计算弯道的怎样来计算弯道的“展直长度展直长度”？因为要保证这些弯道的因为要保证这些弯道的“展直长度展直长度”是一样的是一样的.导入新知导入新知2. 知道公式中字母的含义，并能正确运用这知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算些公式进行相关计算.1. 能推导能推导弧长和扇形面积弧长和扇形面积的计算公

2、式的计算公式.素养目标素养目标弧长计算公式及相关的计算弧长计算公式及相关的计算问题问题1 半径为半径为R的圆的圆,周长是多少？周长是多少？ORC=2 R问题问题2 360的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角所对的弧长是多少？1的圆心的圆心角所对的弧长是多少？角所对的弧长是多少？n的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角所对的弧长是多少？探究新知探究新知知识点 1问题问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？弧长是多少？OR180OR90OR45ORn探究新知探究新知180360180360180180R弧长弧长= 2R =9036

3、09036018090R弧长弧长 = 2R =453604536018045R弧长弧长 = 2R =360n360n180Rn弧长弧长 = 2R = 用弧长公式进行计算时，要注意公式中用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意的意义义n表示表示1圆心角的倍数，它是不带单位的圆心角的倍数，它是不带单位的.注意注意算一算算一算 已知弧所对的圆心角为已知弧所对的圆心角为60，半径是，半径是4，则，则弧长为弧长为_.432360180nn RlRu弧长公式弧长公式探究新知探究新知例例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度展直长度”，再，再下料，试计算图所示管道的展

4、直长度下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：单位：mm，精确到，精确到1mm)解：解：由弧长公式，可得弧由弧长公式，可得弧AB的长的长100 9005001570 (mm),180 l因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度l=2700+1570=2970（mm）. 答：答：管道的展直长度为管道的展直长度为2970mm 700mm700mmR=900mm(100 ACBDO弧长公式的应用弧长公式的应用700mm素养考点素养考点 1探究新知探究新知解：解：设半径设半径OA绕轴心绕轴心O逆时针方向逆时针方向旋转的度数为旋转的度数为n。解得解得 n90因此，滑轮旋转的角度约为因此，滑轮旋转的角

5、度约为90.15.7,180n R 1.一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重，当重物上升物上升15.7cm时，滑轮的一条半径时，滑轮的一条半径OA绕轴心绕轴心O逆时针方向旋逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取取3.14）？）？巩固练习巩固练习OA 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作的图形叫作扇形扇形. . 如图，黄色部分是一个扇形，记作如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形扇形OAB.半径半径半径半径OBA圆心角圆心角弧弧OB

6、A扇形扇形扇形面积计算公式及相关的计算扇形面积计算公式及相关的计算探究新知探究新知知识点 2下列图形是扇形吗？下列图形是扇形吗？判一判判一判探究新知探究新知问题问题1 半径为半径为r的圆的圆,面积是多少？面积是多少？Or2S= r问题问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢具体是多少呢?问题问题2 360的圆心角所对扇形的面积是多少？的圆心角所对扇形的面积是多少？1的圆心角所对扇形的面积是多少？的圆心角所对扇形的面积是多少？n的圆心角所对扇形的面积是多少？的圆心角所对扇形的面积是多少？探究新知探究新知圆心角占圆心角占周角的比例周角

7、的比例扇形面积扇形面积占占圆圆面积面积的比例的比例扇形的扇形的面积面积36018036045360453601809036090360r218Or180Or90Or45Orn360n360n2360nr221r2r41探究新知探究新知扇形面积公式扇形面积公式半径为半径为r的圆中，圆心角为的圆中，圆心角为n的扇形的面积的扇形的面积 公式中公式中n的意义的意义n表示表示1圆心角的倍数，它圆心角的倍数，它是是不带单位不带单位的；公式要的；公式要理解记忆理解记忆（即按照上面推导过即按照上面推导过程记忆）程记忆）.注意注意2=360n rS扇形探究新知探究新知 大小不变时，对应大小不变时，对应的扇形面积

8、与的扇形面积与 有关，有关， 越长，面积越大越长，面积越大.圆心角圆心角半径半径半径半径圆的圆的 不变时，扇形面不变时，扇形面积与积与 有关，有关， 越越大，面积越大大，面积越大.圆心角圆心角半径半径 圆心角圆心角 总结：总结：扇形的面积与扇形的面积与圆心角、半径圆心角、半径有关有关. .O ABDCEFO ABCD问题问题 扇形的面积与哪些因素有关？扇形的面积与哪些因素有关？探究新知探究新知问题：问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想想一想 : :扇形的面积公式与什么公式类似？扇形的面积公式与什么公式类似？ 11180221802扇形nrrnrSr

9、lrABOO180n rl2=360扇形n rS探究新知探究新知例例2 如图，圆心角为如图，圆心角为60的扇形的半径为的扇形的半径为10cm.求这求这个扇形的面积和周长个扇形的面积和周长.（精确到（精确到0.01cm2和和0.01cm）OR60解解：n=60，r=10cm， 扇形的面积为扇形的面积为=2 +180n rlr26010=36050=3252.36(cm ).扇形的周长为扇形的周长为2=180n rS6010=20+18010=20+330.47(cm).扇形面积公式的应用扇形面积公式的应用探究新知探究新知素养考点素养考点 2 2. 已知半径为已知半径为2cm的扇形，其弧长为的扇形

10、，其弧长为 ，则这个扇形的面积则这个扇形的面积S扇扇= 43 3. 已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为120，半径为，半径为2，则，则这个扇形的面积这个扇形的面积S扇扇= .24cm3 43 巩固练习巩固练习例例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积，求截面上有水部分的面积.（精确到（精确到0.01cm）(1)O .BAC 讨论：讨论：(1)截面上有水部分的面积是指截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？图上哪一部分？阴影部分阴影部分.求阴影部分的面积求阴影部分的面积探究新知探究

11、新知素养考点素养考点 3O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高水面高0.3 m是指哪一条线段的长？是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？这条线段应该怎样画出来？线段线段DC.过点过点O作作OD垂直于垂直于AB并交圆并交圆O于于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积阴影部分面积=扇形扇形OAB的面积的面积- OAB的面积的面积探究新知探究新知解解：如图，连接如图，连接OA，OB，过点，过点O作弦作弦AB的垂线，的垂线，垂足为垂足为D，交，交AB于点于点C,连接连接AC. OC0.6, DC0.3, ODOC- DC0.3， O

12、DDC.又又 AD DC，AD是线段是线段OC的垂直平分线，的垂直平分线，ACAOOC.从而从而 AOD60, AOB=120.O.BACD(3)探究新知探究新知有水部分的面积：有水部分的面积：SS扇形扇形OAB - SOAB2212010.6360210.120.60.22(m3 0.32)AB ODOO弓形的面积弓形的面积= =扇形的面积扇形的面积三角形的面积三角形的面积 S弓形弓形=S扇形扇形-S三角形三角形 S弓形弓形=S扇形扇形+S三角形三角形u弓形的面积公式弓形的面积公式 探究新知探究新知2 4. 如图如图 ，扇形，扇形 OAB 的圆心角为的圆心角为 60，半径为，半径为 6 cm

13、，C，D 是弧是弧 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_ 解析：解析：阴影部分的面积就是扇形阴影部分的面积就是扇形OAC的面积，由题意得：的面积，由题意得： AOC=603=20. S扇形扇形OAC= =2.3606202巩固练习巩固练习21.如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点D为为 O上一点，且上一点，且ABD=30，BO=4，则，则 的长为（）的长为（） A B C 2 D巩固练习巩固练习D连 接 中 考连 接 中 考BDBD2.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，B=60， C的半径为的半径为3，则图中阴影部分的面积是

14、（）则图中阴影部分的面积是（） A B2 C3 D6巩固练习巩固练习C连 接 中 考连 接 中 考2.如图，如图，RtABC中，中，C=90, A=30,BC=2,O、H分别为分别为AB、AC的中点，将的中点，将ABC顺时针旋转顺时针旋转120到到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过所扫过的面积为的面积为 （ ）A. BC. D.1.已知弧所对的圆心角为已知弧所对的圆心角为90,半径是半径是4,则弧长则弧长 .7733847338 433C2ABCOHC1A1H1O1课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3. 如图，如图，A、B、 C、 D

15、两两不相交，两两不相交，且半径都是且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积，则图中阴影部分的面积是是 .212 cmABCD课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题1. 如图，如图，RtABC的边的边BC位于直线位于直线l上上，AC ，ACB90，A30.若若RtABC由现在的位置向右无滑动地由现在的位置向右无滑动地翻转，当点翻转，当点A第第3次落在直线次落在直线l上时，点上时，点A所经过的路线的长所经过的路线的长为为_(结果用含结果用含的式子表示的式子表示)3(43)A1A2C1课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题l2. 如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是如

16、图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积，求截面上有水部分的面积.OABDCE=OABSSS弓形扇形解：解：课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题0.240.09 3224010.60.3 0.6 3360220.91 cm. 如图，一个边长为如图，一个边长为10cm的等边三角形模板的等边三角形模板ABC在水在水平桌面上绕顶点平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到按顺时针方向旋转到ABC的位置，求的位置，求顶点顶点A从开始到结束所经过的路程为多少从开始到结束所经过的路程为多少.ABABC解解: : 由图可知，由于由图可

17、知，由于ACB=60，则等边三角形木板绕点，则等边三角形木板绕点C按顺时按顺时针方向旋转了针方向旋转了120，即，即ACA =120，这说明顶点，这说明顶点A经过的路程长经过的路程长等于弧等于弧AA 的长的长.等边三角形等边三角形ABC的边长为的边长为10cm，弧弧AA 所在圆的半径为所在圆的半径为10cm.l弧弧AA 1201020(cm).1803答：答：顶点顶点A从开始到结束时所经过的路程为从开始到结束时所经过的路程为20cm.3课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题弧 长弧 长计算公式计算公式：180n Rl 扇 形扇 形定 义定 义公 式公 式2360n RS扇形112

18、SC R扇形阴影部分面积阴影部分面积求法：求法：整体思想整体思想弓 形弓 形公 式公 式S弓形弓形=S扇形扇形-S三角形三角形 S弓形弓形=S扇形扇形+S三角形三角形割补法割补法课堂小结课堂小结第二课时返回返回 下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？下面图片是什么形状的？你会求它们的面积吗？2. 会求会求圆锥的侧面积圆锥的侧面积，并能解决一些简单，并能解决一些简单的实际问题的实际问题.1. 体会体会圆锥侧面积圆锥侧面积的探索过程的探索过程.圆锥及相关概念圆锥及相关概念知识点 1顶点顶点母母线线底面半径底面半径侧面侧面高高u圆锥的形成圆锥的形成圆锥的高圆锥的高 母线母线SAOBr我们把连接圆

19、锥的顶点我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做等叫做圆锥的母线圆锥的母线u圆锥的母线圆锥的母线圆锥有圆锥有无数条无数条母线，它们都母线，它们都相等相等u圆锥的高圆锥的高从圆锥的顶点到圆锥底面圆心从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高之间的距离是圆锥的高要点归纳要点归纳h由勾股定理得：由勾股定理得： 如果用如果用r表示圆锥底面的半径表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长表示圆锥的母线长,那么那么r、h、l 之间数量关系是：之间数量关系是：lr2+h2=l2Or填一填填一填: : 根据下列条件求值（其中根

20、据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）半径、高线、母线长） （1）l = 2，r=1 则则 h=_. (2) h =3, r=4 则则 l =_. (3) l = 10, h = 8 则则r=_.356hlOrlor 思考：思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？圆锥的侧面展开图是什么图形？扇形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形. .圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图知识点 2问题：问题：1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？形，这个扇形的弧长

21、与底面的周长有什么关系？2.圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？一条线段相等？lo侧面侧面展开展开图图概念对比概念对比rlr2Cr180n rl扇形扇形其侧面展开图扇形的半径其侧面展开图扇形的半径=母线的长母线的长侧面展开图扇形的弧长侧面展开图扇形的弧长=底面周长底面周长u圆锥的侧面积计算公式的推导圆锥的侧面积计算公式的推导lo侧面侧面展开图展开图lr全底侧2 S= S+ S= r + rlu圆锥的全面积计算公式圆锥的全面积计算公式12SlR侧.221lrS侧侧面S= lr (r表示圆锥底面的半径表示圆锥底面的半径, l

22、 表示圆锥的母线长表示圆锥的母线长 )又又（l为弧长，为弧长，R为扇形的半径）为扇形的半径） 例例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120、弧长为、弧长为20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.解解：设该圆锥的底面的半径为设该圆锥的底面的半径为r，母线长为，母线长为a.可得可得 r=10.可得可得a=30.220r又又12020180a圆锥有关概念的计算圆锥有关概念的计算素养考点素养考点 1 1. 如图所示的扇形中，半径如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角，圆心角=144，用，用这个扇形围成一个圆锥的侧

23、面这个扇形围成一个圆锥的侧面.(1)则这个圆锥的底面半径则这个圆锥的底面半径r= (2)这个圆锥的高这个圆锥的高h= .AC BR=10Or42 21Ohrl 例例2 如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为如图，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm,母线为母线为50cm.在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面在一块大铁皮上裁剪时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积展开图？求出该侧面展开图的面积.解：解：该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示该烟囱的侧面展开图是扇形，如图所示. .设该扇形的面积为设该扇形的面积为S.S.圆锥有关面积的计算圆锥有关面积的计算素养考点素养考点

24、 222360rlog360288 .rloog222000 cm .360Sl解法一解法一解法二解法二 S= = 2rl= 24050=20002121解法三解法三 S=rl= 4050=2000 2. 已知一个圆锥的底面半径为已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线，母线长为长为20cm，则这个圆锥的侧面积为，则这个圆锥的侧面积为 ，全面积为全面积为 .cm2240cm2384例例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建毛毡搭建20个底面积为个底面积为35m2，高为，高为3.5m，外围高为，外围高为1.5m的蒙古包，至少需要多少

25、平方米的毛毡（精确到的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到1m2）？）？利用圆锥的面积解决实际问题利用圆锥的面积解决实际问题素养考点素养考点 3解：解：如图是一个蒙古包示意图如图是一个蒙古包示意图根据题意，下部圆柱的底面积为根据题意，下部圆柱的底面积为35m2，高为，高为1.5m；上部圆锥的高为上部圆锥的高为3.51.5=2（m）圆柱的底面积半径为圆柱的底面积半径为圆锥的母线长为圆锥的母线长为35m3.34m，223.3423.89m.23.3420.98m ，213.8920.9840.81 m2，圆柱的侧面积为圆柱的侧面积为23.341.531.46（平方米），（平方米），侧面展开扇形

26、的弧长为侧面展开扇形的弧长为圆锥的侧面积为圆锥的侧面积为20（31.46+40.81）1446（平方米）（平方米）答：答：至少需要至少需要1446平方米的毛毡平方米的毛毡. 3.圆锥形烟囱帽圆锥形烟囱帽(如图如图)的母线长为的母线长为80cm，高为，高为38.7cm,求求这个烟囱帽的面积（这个烟囱帽的面积（ 取取3.14，结果保留，结果保留2个有效数字）个有效数字） 解：解：l=80，h=38.7r=707 .38802222 hlS侧侧=rl3.1470801.8104（cm2）答：答：烟囱帽的面积约为烟囱帽的面积约为1.8104cm2.lhrA连 接 中 考连 接 中 考1 .圆锥的底面半

27、径为圆锥的底面半径为3cm，母线长为，母线长为6cm，则这个圆锥，则这个圆锥侧面侧面展开图扇形的圆心角是展开图扇形的圆心角是_2 .一个扇形，半径为一个扇形，半径为30cm，圆心角为，圆心角为120度，用它做成一个度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_ 18010cm已知圆锥的底面的半径为已知圆锥的底面的半径为3cm，高为，高为4cm，则则它的侧面积它的侧面积是是 ，全面积是全面积是 15cm224cm2基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题如图，已知圆锥的母线长如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为，轴截面的顶角为60，求，求圆锥

28、全面积圆锥全面积.解：解：AB=AC，BAC=60，ABC是等边三角形是等边三角形.AB=BC=AC=8cm.S侧侧=rl=48=32(cm2),S底底=r2=44=16(cm2),S全全=S侧侧+S底底=48(cm2).能 力 提 升 题能 力 提 升 题（1）在半径为）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？圆锥的底面圆的半径？（3）能否从最大的余料中剪出一个圆做该圆锥的底面？）能否从最大的余料中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由请说明理由ABCO拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题解：解：