复杂流体力学第二章

1、第二章第二章 场论和张量初步场论和张量初步21 矢量和标量的区别矢量和标量的区别一、概念的区别一、概念的区别在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量；在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用一定的方向才能说明性质，叫矢量。二、运算法则区别二、运算法则区别标量运算服从代数运算法则。矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。矢量常用带有箭头的直线段表示。线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向。 三、正负号区别三、正负号区别 矢量正负号：在选定一个正方向的前提下，矢量的正负号实质上表示矢量的方向。若矢量为正，表示该矢量跟选定正方向相同；矢量为负表示跟选定正方向相反。 标量正负号：

2、虽然标量无方向，但有的标量也存在正、负号问题。标量常见的有以下几种类型： 表示相对零点大小的正负号，如重力势能、电势能、电势、分子势能、摄氏温度等这些物理量，它们的正负号，常表示大小的意义。 表示相反的物理过程的正负号，例如功、热量、动能增量、势能增量、内能增量和机械能增量等过程物理量，它们的正负号就表示某一物理过程，即能量增加（或减小）过程。 表示物体特性的正负号，如电量、透镜焦距、像距等物理量的正负号，表示物体的特性。如电量q0表示带正电，否则带负电；f0表示该镜是凸透镜，否则是凹透镜；像距v0，表示成实像，否则成虚像。 四、矢量表达式与标量表达式的区别四、矢量表达式与标量表达式的区别矢量

3、可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。在标量表达式如动能定理、机械能守恒、功能关系、透镜成像公式等中，计算时只需直接将物理量即大小及正负号代入公式计算即可。五、矢量的运算五、矢量的运算2数量积cosxxyyzz=a ba ba ba ba b标量标量3矢量积sin=a ba b大小大小其矢量表达式其矢量表达式xyzxyzijkaaabbba b =方向用右手规则确方向用右手规则确定定1求和与差作图法 遵循平行四边形法则和 分量法2 22 2 场的定义、分类及几何表示场的定义、分类及几何表示一、场的定义一、场的定义设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区

4、域内的函数为场。二、场的分类二、场的分类1、根据所定义的函数、根据所定义的函数标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。( , )( , , , )tx y z tr( , , , )( , , , )( , , , )TT x y z tpp x y z tx y z t矢量场：矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。( , )( , , , )tx y z traaa2、根据场内同一时刻各点函数值是否相

5、等、根据场内同一时刻各点函数值是否相等( ) t( ) taa均匀场：( , )( , , , )r tx y z t( , )( , , , )r tx y z taaa定常场：非均匀场：3、根据场内函数值是否依赖于时间、根据场内函数值是否依赖于时间( )r( )raa ( , )( , , , )tx y z tr( , )( , , , )tx y z traaa 非定常场：三、场的几何表示三、场的几何表示1、标量场的几何表示、标量场的几何表示空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。0( ,)tcr其特点：（其特点：（1）疏密程度看出标

6、量函数的变）疏密程度看出标量函数的变 化状况，靠得近的地方函数变化化状况，靠得近的地方函数变化 得快。得快。 （2）函数值的改变主要在等值面的法线方向，沿等值面的切线方向移动）函数值的改变主要在等值面的法线方向，沿等值面的切线方向移动 时函数值并不改变。时函数值并不改变。大小和方向随空间坐标而变的场大小和方向与坐标无关的场被称为均匀场 等温线等温线 温度云图温度云图 2 2、矢量场的几何表示、矢量场的几何表示用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为 矢量线。xyzdxdydzFFFxyzdxdydzVVV0d rF(r)0d s V(s)2 23 3 梯度梯度标量场不均匀性的度量标量场不

7、均匀性的度量一、方向导数一、方向导数( , )r t给定一标量场给定一标量场 在某一固定时刻在某一固定时刻tt0研究标量场研究标量场。M1MMns1CC0()()limMMMMsMM过过M点可以作无穷多个方向，每个方点可以作无穷多个方向，每个方向都有对应的方向导数，且都可以用向都有对应的方向导数，且都可以用过过M点的等位面法线方向点的等位面法线方向n上的方向导上的方向导数数 及方向及方向n，s来表示。来表示。ncos( , )n ssn我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的

8、变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率变化率证明：过M点作等位面M1MMns1CC( )()rMC1101()()limMMMMnMM0()()limMMMMsMM1cos( , )MMMMn s由此可证，cos( , )n ssn二、梯度二、梯度n大小为 方向为n的矢量称为标量函数的梯度。gradnn梯度梯度描写了描写了M点邻域内函数点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀性的的变化状况，是标量场不均匀性的量度。量度。在直角坐标系中的表达式为：gradijkxyz三、梯度的主要性质三、梯度的主要性质1、梯度梯度描写

9、了场内任一点描写了场内任一点M邻域内函数的变化状况，它是邻域内函数的变化状况，它是标量场不均匀性的量度；标量场不均匀性的量度；2、梯度、梯度的方向与等位面的法线方向重合，且指向函数增大的的方向与等位面的法线方向重合，且指向函数增大的方向，大小是方向，大小是n方向上的方向导数方向上的方向导数 ；n3、梯度矢量、梯度矢量在任一方向在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数；上的投影等于该方向的方向导数；4、梯度、梯度的方向，即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。的方向，即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。定理定理1 梯度梯度 满足关系式满足关系式gradddgradr反之，若反之，若 ，则，则

10、a必为必为 。ddr agradr=x,y,zdgradfdr定理定理2 若 ，且，且 矢径矢径r的单值函数，则沿的单值函数，则沿任一封闭曲线任一封闭曲线L的线积分满足关系式的线积分满足关系式 grada0(0ddr即）LLa反之，若反之，若矢量矢量a沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分的线积分， 则则a必必为为某一标量函数的梯度，即某一标量函数的梯度，即 grada0drLa例例 题题:计算仅与矢径大小计算仅与矢径大小r有关的标量函数有关的标量函数 的梯度的梯度 。( ) rgrad(1)利用性质利用性质,标量函数标量函数 的等位面是以坐标原点为心的的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的

11、法线方向，即矢径球面，而球面的法线方向，即矢径r的方向，故的方向，故 的方的方向就是矢径向就是矢径r的方向；其次的方向；其次 的大小是的大小是( ) rgradgrad( ) rr于是( )( )xi+ yj+ zkgradrrrrr(2)表示成分量形式：表示成分量形式：drxdrxyydrdrzzdrdr因2222rxyzryyrrzzrrxxr故于是x dxr dry dyr drz dzr dr( )xi+ yj+zk dgradijkrxyzrdrrr(3)利用定理1，( )( )( )rdrr drrdrr微分22drdrrr2222( ()()2222)d rd xyzxdxydy

12、zdzdrr即drdrrr于是( )( )rdrdr rr根据定理1可推出( )gradrrr= grada位势场位势场位势函数位势函数2 23 3矢量矢量a a通过通过S S的通量的通量 矢量矢量a的散的散度度 奥高定理奥高定理一、通量一、通量an代表矢量代表矢量a在法线方向的投影。在法线方向的投影。矢量矢量a通过面积元通过面积元dS的通量。的通量。矢量矢量a通过通过S面的通量。面的通量。cos( , )cos( , )cos( , )nxyzaan xan yan za nnSa dSna dS通量，是表示物质分子移动量的大小，指某种物质在每秒内通过每平方厘米的假想平面的摩尔或毫尔数。定义

13、面积矢量定义面积矢量dSdS是大小为是大小为dS，方向为法线正方向，方向为法线正方向n n的量的量ddSSncos( , )cos( , )cos( , )dSn xdydzdSn ydzdxdSn zdxdycos( , )cos( , )cos( , )nxyzaan xan yan za ncos( , )cos( , )cos( , )()nSSSxyzSxyzSa dSdSdan xan yan z dSa dydza dzdxa dxdy dSa naS当当S是封闭曲面时，矢量是封闭曲面时，矢量a通过通过S面的通量面的通量nSa dS在场内任取一点在场内任取一点M，以体积，以体积V

14、包之，若包之，若V的界面为的界面为S，则，则0divlimnSVa dS=Va奥高定理的奥高定理的微分形式微分形式Gauss公式此极限存在，定义为矢量此极限存在，定义为矢量a a的散度。的散度。散度是一个不依赖于坐标系选取的数量，其为一个散度是一个不依赖于坐标系选取的数量，其为一个标量标量。二、散度二、散度散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。三、奥高定理三、奥高定理散度在直角坐标系中的表达式散度

15、在直角坐标系中的表达式这里这里是是的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧，cos、cos、cos是是上点上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。处的法向量的方向余弦。高斯定理高斯定理：设空间闭区域设空间闭区域是分片光滑的闭曲面是分片光滑的闭曲面所围成，函所围成，函数数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在在上具有一阶连续偏导数，则上具有一阶连续偏导数，则有有()PQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyz()(coscoscos )PQRdVPQRdSxyz利用奥高定理，则有利用奥高定理，则有因体积分中的被积函数是连续的，根据中值公式，上式可因体积分中的被积函数是连续的，

16、根据中值公式，上式可改写为改写为cos( , )cos( , )cos( , )nxyzSSa dsan xan yan z dS()yxzVaaadVxyz()yxznQSaaaa dsVxyz0divlim()yxzQVaaa=xyza当当V向向M点收缩时，点收缩时，Q点最后与点最后与M重合，重合，divyxzaaaxyza =divnSVa dsdVa奥高定理的奥高定理的积分形式积分形式四、无源场及其性质四、无源场及其性质diva0的矢量场称为无源场或管式场。1、无源矢量a经过矢量管任一截面上的通量保持同一数值。2、矢量管不能在场内发生或终止。一般说来它只可能伸延至无穷， 达到区域的边界

17、上或自成封闭管路。3、无源矢量a经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相等，亦即此通量只依赖于周线而与所张曲面的形状无关。2 26 6矢量矢量a a沿回线的环量沿回线的环量. . 矢量矢量a a的的旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理一、环量一、环量给定一矢量场给定一矢量场a(r,t)，在场内取任意一曲线，在场内取任意一曲线L，作线积分，作线积分若是封闭曲线，则可表示为：若是封闭曲线，则可表示为：()xyzLLda dxa dya dzar称之为矢量称之为矢量a沿曲线沿曲线L的环量。的环量。()xyzLLda dxa dya dzar环量（circulation）是流体的速度沿着一条闭

18、曲线的路径积分，通常用来表示。绝参冯潮清绝参冯潮清 赵愉深赵愉深 何浩法何浩法,矢量与张量分析矢量与张量分析,国防工业出版社国防工业出版社,1986年年12月第月第1版版二、旋度二、旋度设设M是场内一点，在是场内一点，在M点附近取无限小封闭回线点附近取无限小封闭回线L，取定某一，取定某一方向为方向为L的正方向。的正方向。设张于周线设张于周线L上的曲面是上的曲面是S，作，作S的法线方向的法线方向n，其根据，其根据L的正方的正方向及右手螺旋定则来确定。向及右手螺旋定则来确定。0rotlimLnSa dr=Sa矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影。三、斯托克斯公式三、斯托克斯公式斯托克斯公式（定理

19、）：设斯托克斯公式（定理）：设为分段光滑的空间有向闭曲线，为分段光滑的空间有向闭曲线，是以是以为边界的分片光滑的有向曲面，为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正向与的外侧符的外侧符合右手规则，函数合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面在包含曲面在在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有()()()RQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyPdxQdyRdz()xyzLLda dxa dya dzar()cos( , )()cos( , )()cos( , )yyxxzzSaaaaaan xn yn z

20、 dSyzzxxy利用中值公式，有利用中值公式，有()cos( , )()cos( , )()cos( , )yyxxzzLaaaaaadSn xn yn zyzzxxy环量ar0rotlim()cos( , )()cos( , )()cos( , )yLznSyxxza draa=n xSyzaaaan yn zzxxyarotrotrotyzxxzyyxzaayzaazxaaxyaaarotxyzijkxyzaaaa四、无旋场及其性质四、无旋场及其性质1 1、定义、定义rota0的矢量场称为无旋场。2 2、性质、性质= grada无旋场和位势场(有势场)的等价性，即若a是位势场，= gra

21、da则a必为无旋场，rota0反之，若rota0，则。 3 3、证明、证明= grada设 ，则= gradarot0ijkxyzxyza即rotrotgrad0=a反之，设rota0，则由斯托克斯公式有rot0LSdrdSaa其中L是任意封闭周界，于是矢量a沿任意封闭回线L的线积分为零，根据1.3中定理定理2可得 2 27 7 基本运算公式基本运算公式一、拉普拉斯算子一、拉普拉斯算子二、哈密顿算子二、哈密顿算子一个具有矢量和微分双重性质的符号，一方面它是一个矢量，一个具有矢量和微分双重性质的符号，一方面它是一个矢量，另一方面它是一个微分算子，但必须是对其右边的量发生微另一方面它是一个微分算子

22、，但必须是对其右边的量发生微分作用。分作用。222xyz ijkxyz ()ijkxyzgradijkxyz() ()xyzijka ia ja kxyzadivyxzaaaxyza()()rotxyzijka ia ja kxyzaa2()() ()ijkijkxyzxyz 2 28 8 张量初步张量初步一、迪卡尔张量一、迪卡尔张量(1)标量是只有数值大小而无方向的量，只需用标量是只有数值大小而无方向的量，只需用一个实数一个实数来表来表示。示。(2)矢量则是既有大小，又有方向的量，（在三维空间中）有矢量则是既有大小，又有方向的量，（在三维空间中）有三个分量，需要用三个分量，需要用三个实数三个

23、实数来表示。来表示。(3)比标量和矢量更复杂的量，称为张量。比标量和矢量更复杂的量，称为张量。在三维空间中，在三维空间中，r阶张量具有阶张量具有3r个分量。个分量。零阶张量（即标量）有零阶张量（即标量）有30=1个分量；个分量；一阶张量（即矢量）有一阶张量（即矢量）有31=3个分量；个分量；二阶张量有二阶张量有32=9个分量；个分量；三阶张量有三阶张量有33=27个分量；个分量；在在n维空间中，维空间中，r阶张量具有阶张量具有nr个分量。个分量。张起的平行四边形或平行六面体的对角线才能表示的量，所以叫做张量。只不过矢量是一阶张量，我们习惯上仍称之为矢量或向量，而通常把二阶张量及三阶以上的高阶张

24、量才称之为张量。定义：在三维空间中，二阶迪卡尔张量定义：在三维空间中，二阶迪卡尔张量A是由是由32个分量个分量Aij组组成的量。成的量。2 29 9 张量表示法张量表示法在张量表示法中，将坐标改写成在张量表示法中，将坐标改写成x x1 1，x x2 2，x x3 3一、指标记法一、指标记法Rxiyjzk把i，j，k分别写成i1，i2，i3，则1 12 23 3Rx ix ix igrad的张量表示法为ix1 12 23 3(1,2,3)i iRx ix ix ixii二、求和约定及哑标二、求和约定及哑标1 122nnSa xa xa x1niiiSa x (1,2,.)iiSa xiN略去了求

25、和记号略去了求和记号求和约定：求和约定：若某个指标在某一项中重复出现，而且仅重复出现若某个指标在某一项中重复出现，而且仅重复出现一次，则该项代表一个和式，按重复指标的取值范围求和一次，则该项代表一个和式，按重复指标的取值范围求和。（爱因斯坦）（爱因斯坦）例：例：ijijSa x x,1,2.i jN11 NNijijijSa x x哑标哑标：表示求和的重复指标。而哑标采用什么字母来表示表示求和的重复指标。而哑标采用什么字母来表示对结果没有影响。对结果没有影响。例如：例如：iimma xa xiikkaai jijja x x xi是哑标，j不是哑标。3311 i jijjija x x x31

26、 i jijjia x x x三、自由指标三、自由指标设有方程组111 1122133221 1222233331 1322333ya xa xa xya xa xa xya xa xa x112233mmmmmmya xyaxyax(1,2,3)iimmya xi自由指标自由指标：凡不属于哑标的指标凡不属于哑标的指标。在同一方程中，每一项的。在同一方程中，每一项的自由指标必须相同。自由指标必须相同。例如：(1,2,3)0(1,2,3)( ,1,2,3)iiiiijjijimjmabciabc diTA Ai jijmmab x没有意义。没有意义。四、克罗尼克尔符号四、克罗尼克尔符号1()0(

27、)ijijij(1)ijji(2)1122333ii(3)111 112213312233mmmmmmaaaaaaaaaimmiaa(4)111 112213312233mmjjjjjmmjjmmjjTTTTTTTTTimmjijTTmijmjiimmjijimmjjkikTT (5) iiijij五、置换符号五、置换符号（1）置换符号）置换符号eijk的定义的定义110ijke , ,123, ,123, ,环逆环标。i j ki j ki j k若形成 ， ， 的循序列（,）;若形成 ， ， 的循序列（,）;若中有相同的指123231312321132213ee, eeeeeijk共代表共

28、代表27个量，其中个量，其中21个为零。个为零。ijk123（2）置换符号）置换符号eijk的作用的作用利用置换符号eijk可将两矢量的矢积AB表示成简单的分量形式。ii iCABCiijkjkCe A B112323132322332223131213133113331212321211221CeA BeA BA BA BCeA BeABA BABCeABeA BABA B六、指标记法的运算特点六、指标记法的运算特点(1)求和：凡自由指标完全相同的项才能相加（或减）。,ijijijiimmikkabCabC d,ijikiijabab无意义无意义(2)代入：iimmaU biimmbV Ci

29、immnnaU V C(3)乘积：mmpa bmmqC dmmnnpqa b C d(4)因子分解：因子分解：0ijjiT nnnj作为公因子提出来作为公因子提出来ni写成写成ijnj()0ijjiijjijjijijjT nnT nnTnimmiaaimmjijTT一、迪卡尔张量的代数运算一、迪卡尔张量的代数运算1、张量的和、张量的和定义：两个定义：两个r阶张量的和仍是阶张量的和仍是r阶张量，其分量是原来两张阶张量，其分量是原来两张量分量之和。量分量之和。2、对称张量和反对称张量、对称张量和反对称张量设设Tij为二阶张量，若为二阶张量，若TijTji，则称该张量为对称张量；若，则称该张量为对

30、称张量；若TijTji，则称该张量为反对称张量。，则称该张量为反对称张量。3、张量和矩阵、张量和矩阵矩阵与张量有许多相似的性矩阵与张量有许多相似的性质，张量的一些运算法则可质，张量的一些运算法则可通过矩阵来表示。通过矩阵来表示。ijijijijijijjiABCABDA BE2 210 10 张量运算张量运算4、张量的外积、张量的外积定义：一个定义：一个r阶张量和一个阶张量和一个s阶张量的外积是一个阶张量的外积是一个r+s阶张量，阶张量，其分量由原来两个张量的各个分量的乘积组成。其分量由原来两个张量的各个分量的乘积组成。5、张量的缩并、张量的缩并定义：使定义：使r（2）阶张量分量的两个指标相同

31、，并对该重）阶张量分量的两个指标相同，并对该重复指标求和，这种运算称为缩并。复指标求和，这种运算称为缩并。ijkmnijkmnA BC112233iikkkkkAAAAC若将若将r（2）阶张量进行一次缩并，结果仍是张量，但将为）阶张量进行一次缩并，结果仍是张量，但将为r-2阶。张量的缩并可反复进行，直到运算结果降为一阶张阶。张量的缩并可反复进行，直到运算结果降为一阶张量（矢量）或零阶张量（标量）。量（矢量）或零阶张量（标量）。6、张量的内积、张量的内积定义：两个张量的内积就是将两个张量的外积进行缩并。定义：两个张量的内积就是将两个张量的外积进行缩并。如二阶张量如二阶张量Cij和和Dmn，它们可

32、构成四种内积，即，它们可构成四种内积，即,ijinjnijjninijmijmijmjimC DEC DFC DGC DH7、对称张量场、对称张量场ijjiAA反对称张量场反对称张量场ijjiAA ijkjikAAijkA关于前两个指标对称关于前两个指标对称二、迪卡尔张量的微分二、迪卡尔张量的微分1、张量场、张量场标量场或矢量场由给定区域的点组成，并且在每一点上有标量场或矢量场由给定区域的点组成，并且在每一点上有该标量或矢量的对应值。该标量或矢量的对应值。温度分布温度分布T(x1，x2，x3)是标量场（通常称为温度是标量场（通常称为温度场场）速度分布速度分布v(x1，x2，x3)是矢量场（通常

33、称为速度场）是矢量场（通常称为速度场）任何一个任何一个r2的的r阶张量均可分解为一个对称张量和一个反阶张量均可分解为一个对称张量和一个反对称张量之和对称张量之和。1122ijijjiijjiAAAAA应变率张量：描述变形的特征量应变率张量：描述变形的特征量1122iiiiijjijiuuuuuxxxxx给定区域的每一点上定义一个张量，就是张量场。给定区域的每一点上定义一个张量，就是张量场。应力分布应力分布(x1，x2，x3)便是二阶张量场。便是二阶张量场。标量场和矢量场分别为零阶和一阶张量场。标量场和矢量场分别为零阶和一阶张量场。2、张量场的表示方法、张量场的表示方法标量场标量场可写成可写成(xk)或或(xk，t)矢量场矢量场A可写成可写成Ai(xk)或或Ai(xk，t)二阶张量场二阶张量场T可写成可写成Tij(xk)或或Tij (xk，t) 3、张量场的梯度、张量场的梯度grad ()(/)ikiixx /ix标量场的偏导数标量场的偏导数 为矢量场的分量，即为矢量场的分量，即3、张量场的散度