大学物理下课件第9章静电场

1、大学物理学（下）大学物理学（下）主讲人：代国章主讲人：代国章 副教授副教授 数理大楼中栋数理大楼中栋419室，室mail:第四篇第四篇 电电 磁磁 学学自然界的四大作用力自然界的四大作用力类型类型定义定义作用粒子作用粒子特点特点引力引力万有引力引力子长程力，最弱电磁力电磁力电荷（磁极）之间的吸引电荷（磁极）之间的吸引/排斥排斥力力光子光子长程力，次强长程力，次强弱力弱力衰变的类衰变力，作用在夸克量级希格斯粒子（W, Z0)短程力，次弱强力强力束缚质子和中子于原子核的附加作用效果，作用在夸克量级胶子短程力，最强1905年爱因斯坦建立年爱因斯坦建立狭义相对论狭义相对论18

2、65年麦克斯韦提出年麦克斯韦提出电磁场理论电磁场理论1820年年奥斯特发现奥斯特发现电流对磁针的作用电流对磁针的作用公元前公元前600年年1831年年法拉第发现法拉第发现电磁感应电磁感应古希腊泰勒斯古希腊泰勒斯第一次记载电现象第一次记载电现象静电场静电场 相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场 两个物理量两个物理量： 场强、电势；场强、电势； 一个实验规律一个实验规律：库仑定律；库仑定律； 两个定理两个定理： 高斯定理、环路定理高斯定理、环路定理电荷守恒定律电荷守恒定律：在一个与外界没有电荷交换的系统在一个与外界没有电荷交换的系统内内, 正负电荷的代数和在任何物理过程

3、中保持不变。正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。 电荷的电荷的量子化效应量子化效应：Q=Ne9-1 电荷电荷 库仑定律库仑定律一、电荷一、电荷电荷的电荷的种类种类：正电荷、负电荷：正电荷、负电荷电荷的电荷的性质：性质：同号相斥、异号相吸同号相斥、异号相吸电量电量：电荷的多少：电荷的多少 单位单位：库仑：库仑 符号符号：C电荷电荷不能脱离电场不能脱离电场而存在而存在;电荷电荷不能脱离质量不能脱离质量而存在而存在带电粒子的静止质量带电粒子的静止质量不为零。不为零。法国工程师、物理学家。法国工程师、物理学家。1736年年6月月14 日生于法国日生于法国昂古莱姆。昂古莱姆。1806年年8月月23

4、日在巴黎逝世日在巴黎逝世 二、库仑定律二、库仑定律库库 仑仑02211221rrqqkFF 库仑定律：库仑定律：真空中真空中两个静止的点电荷两个静止的点电荷之间的作用力之间的作用力（静静电力电力），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线。1q2qror041 k真空介电常数。真空介电常数。or单位矢量，由单位矢量，由施力物体指向受力物体施力物体指向受力物体。电荷电荷q1作用于电荷作用于电荷q2的力。的力。21F0 22902121201094110858

5、CNmkmNC .讨论讨论库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。库仑定律包含同性相斥，异性相吸这一结果。(a)q1和和q2同性，则同性，则q1 q20, 和和 同向，同向， 方程说明方程说明1排斥排斥221F0r12F21F0r00002121 qqqq斥力斥力022102141rrqqF (b)q1和和q2异性，则异性，则q1 q20的的金属球金属球，在它附近，在它附近P点产生的场强点产生的场强为为 。将一点电荷。将一点电荷q0引入引入P点，测得点，测得q实际受力实际受力 与与 q之比为之比为 ，是大于、小于、还是等于，是大于、小于、还是等于P点的点的0E0EFqF1q2qP三、场强叠加原

6、理三、场强叠加原理点电荷系点电荷系连续带电体连续带电体10r1EE2E20rPdqEd0r iiEqFqFE00 EdE NiiFF11. 点电荷的电场点电荷的电场四、电场强度的计算四、电场强度的计算020041rrqqF 020041rrqqFE 02041rrqE )(0 qP0r E0r)(0 qPEE 的大小：的大小：24rqEo 若若q0,电场方向由点电荷电场方向由点电荷沿径向指向四方；若沿径向指向四方；若ql， 电偶极矩电偶极矩lqp 求：求：A点及点及B点的场强点的场强 lryx BAl E EoAE20)2(4lrqE 20)2(4lrqE 解：解：A点点 设设+q和和-q 的

7、场强的场强 分别为分别为 和和 E EirlrlrqrlilrqlrqEA2240220)21()21(42)2()2(41 3030241241rpirqlEA ilrqE20)2(4 ilrqE20)2(4 lryx BAl E EoAE)4(41220lrqEE xxxxEEEE 242cos22lrl 2cosE 0 yyyEEE对对B点：点：232204412)(coslrqlEEB 3041rp 3041rpEB lryx BAlr E E E EBEAE 30241rpEA 结论结论31rE 3041rpEB lryx BAlr E E E EBEAEpE 3. 连续带电体的电场

8、连续带电体的电场0204rrdqEd 02041rrdqEdE zzyyxxdEEdEEdEEkEjEiEEzyx 电荷元随不同的电荷分布应表达为电荷元随不同的电荷分布应表达为体电荷体电荷dVdq 面电荷面电荷dSdq 线电荷线电荷ldqd 例例2 求一均匀带电直线在求一均匀带电直线在O点的电场。点的电场。已知：已知： q 、 a 、 1、 2、 。解题步骤解题步骤1.选电荷元选电荷元 ldqd 2041rlddE sincosdEdEdEdEyx5. 选择积分变量选择积分变量一一个个变变量量是是变变量量，而而线线积积分分只只要要、lr 4. 建立坐标，将建立坐标，将 投影到坐标轴上投影到坐标

9、轴上Ed2.确定确定 的方向的方向Ed3.确定确定 的大小的大小EdxEdyEddlq1 2 lyxarO Ed选选作为积分变量作为积分变量 actgactgl)( dald2csc 22222222cscactgaalar cos2041rdldEx coscsccsc42220ada dacos40 xEdyEddlq1 2 lyxarO Ed dardldEysin4sin41020 21cos40 dadEExx)sin(sin4120 a 2104 dadEEyysin)cos(cos2104 a22yxEEE xEdyEddlq1 2 lyxarO EdjEiEEyx xyEEar

10、ctg 当直线长度当直线长度 2100,aL或或0 xE无限长均匀带无限长均匀带电直线的场强电直线的场强aE02 当EEy, 0, 0 方向垂直带电导体向外，方向垂直带电导体向外，当EEy, 0, 0 方向垂直带电导体向里。方向垂直带电导体向里。讨论讨论)sin(sin1204 aEx)cos(cos2104 aEyaEEy02 课堂练习课堂练习求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知求均匀带电细杆延长线上一点的场强。已知 q ,L,a204)xaL(dqdE L)xaL(dxE0204 )(aLa 1140 aPLXOxdxEd)()(aLaqaLaLqL 0044 xp例例3 求一均匀带电圆

11、环轴线上任一点求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。处的电场。已知：已知： q 、a 、 x。dlaqdldq 2 idEEd /kdEjdEEdzy 204rdqdE yzxadq/Ed EdrEd 当当dq位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。由对称性由对称性a.yzxdqEd0 zyEEyzxxpadqr/Ed EdEdcos/EdEdE2122)(cosxarrx cos241220rldaqEa cos2041rq 2322041)(xaqx iaxxqE23220)(4 讨论讨论当当 的方向沿的方向沿x轴正向轴正

12、向0qE ，2）当当x=0,即在圆环中心处即在圆环中心处，0 EiaxxqE23220)(4 0 x 区间区间当当 的方向沿的方向沿x轴负向轴负向Eq，0 0 x 区间区间1 1）当当 的方向沿的方向沿x轴负向轴负向0qE ，当当 的方向沿的方向沿x轴正向轴正向Eq，0 3）当当 时，时， ax 222xax 2041xqE 这时可以这时可以把把带电圆环看作一个点电荷带电圆环看作一个点电荷这正反映了这正反映了点电荷点电荷概念的概念的相对性相对性iaxxqE23220)(4 2ax 时时0 dxdE23220242)aa(qaEEmax 4 4）极值）极值0, Ex1.1.求均匀带电半圆环圆心处

13、的求均匀带电半圆环圆心处的 ，已知，已知 R、 E204RdqdE 电荷元电荷元dq产生的场产生的场根据对称性根据对称性 0ydE 0204sinRRdsindEdEEx 00)cos(4 RR02 课堂练习：课堂练习：oRXY d dqEd问题：若环上带电一半为正，另一半为负，结果如何？问题：若环上带电一半为正，另一半为负，结果如何？iRE02 OXY R204RdldE cosRdldEEy2042sin24cos202020 RdRR 取电荷元取电荷元dq则则 0 xdE由对称性由对称性方向：沿方向：沿Y轴负向轴负向 dl dEd2.2.求均匀带电一细圆弧圆心处的场强，已知求均匀带电一细

14、圆弧圆心处的场强，已知 , ,R例例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。 已知：已知：q、 R、 x 求：求：Ep解：细圆环所带电量为解：细圆环所带电量为22Rqrdrdq 由上题结论知：由上题结论知：2322041)(xrxdqdE 2322042)(xrrdrx 232200)(2xrrdrxdEER )1 (2220 xRx EdxROP q22xr drr讨论讨论1. 当当Rx（无限大均匀带电平面的场强）（无限大均匀带电平面的场强）0 0 )xRx(E22012 02 E212222)1 ( xRxRx 2)(211xR)1 (2220 xRxE 2

15、0)(21112xR 204xq )xRx(E22012 2. 当当R0211141rEdSESdEse R+rqRr qqi0224 qrE 2024rqE E222242rEdSESdEse E204Rq21rrROO解：解：rR电量电量 qqi高斯定理高斯定理024 qrE 场强场强204rqE 24 rESdEe 电通量电通量与点电荷的场强一样与点电荷的场强一样均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线ROEOrER204RqE2S 高高斯斯面面解解: E具有面对称具有面对称高斯面高斯面: 柱面柱面SESES 02110SES 012 02 E例例3. 均匀带电无限大平面

16、的电场，均匀带电无限大平面的电场，已知已知 ES1S侧侧S 12SSSeSdESdESdESdE侧侧 0iq0 E高高斯斯面面E解：场具有轴对称解：场具有轴对称 高斯面：圆柱面高斯面：圆柱面例例4. 均匀带电圆柱面的电场。均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 seSdESdESdESdE上上底底侧侧面面下下底底 (1) r R Rlqi20 rRE rE02 高高斯斯面面lrE seSdESdESdESdE上上底底侧侧面面下下底底 rlE 2 R2 令令例例5、电荷体密度为、电荷体密度为 的球体内有一球形空腔，两球的球体内有一球形空腔，两球心相距心相距a

17、,如图所示。求空腔中任一点如图所示。求空腔中任一点P的电场。的电场。 解解: （补偿法补偿法求解）求解） 空间任一点的电场可看作是带电空间任一点的电场可看作是带电的两个实心球的两个实心球体电场的叠加。体电场的叠加。 Po oaorE 3 由前面的结果，球体内：由前面的结果，球体内：+=o p1ro - p2r大小：大小：,3oaE 方向：由方向：由o指向指向o 。空腔中任一点空腔中任一点P的电场为的电场为orE 31 or 32 )(321rro oa 3 orE 3 Po oa+=o p1ro - p2roo1r2r a课堂练习：课堂练习： 求均匀带电圆柱体的场强分布，已知求均匀带电圆柱体的

18、场强分布，已知R， 202Rr ERr Rr r02 02 lrlE Rr Rr lrRrlE2202 对称性对称性实例实例GaussGauss面面场强场强球对称球对称半径为半径为r r的球面的球面均匀带电球面均匀带电球面球对称电荷分布球对称电荷分布均匀带电球体均匀带电球体24rqEo 外外0 内内E24rqEo 外外34RqrEo 内内24rQEo 外外24rdVEoS 内内内内用用Gauss定理解场的总结：定理解场的总结：rRQr对称性对称性实例实例GaussGauss面面场强场强轴对称轴对称半径为半径为r的的圆柱面圆柱面均匀带电均匀带电无限长直线无限长直线均匀带电均匀带电无限长圆柱体无限

19、长圆柱体均匀带电均匀带电无限长圆柱面无限长圆柱面rEo 2rEo 2外外0 内内ErREo 22外外orE 2对称性对称性实例实例GaussGauss面面场强场强面对称面对称小圆柱面小圆柱面均匀带电均匀带电无限大平面无限大平面平行板电容器平行板电容器均匀带电均匀带电无限大平板无限大平板oE 2oDE 2外外odE 内内oE 9-4静静电场力的环路定理电场力的环路定理 电势电势rdrr cl dc E ba保守力保守力dlEql dEql dFdAcos00drdl cos其中其中baEdrqA0EdrqdA0则则与路径无关与路径无关 qarbrdr barrbao)rr(qqdrrqq1144

20、0020 一电场力做功一电场力做功推广推广: 点电荷系点电荷系banabl dEEEqA)(210 bababanl dEql dEql dEq02010iibiainrrqqAAA)11(40021(与路径无关与路径无关)结论结论 试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。 acbadbl dEql dEq000二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。00

21、q 0l dEq0沿闭合路径沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功一周电场力所作的功acbbdal dEql dEql dEqA000在静电场中，电场强度的环流恒为零。在静电场中，电场强度的环流恒为零。 静电场的静电场的环路定理环路定理静电场的两个基本性质：静电场的两个基本性质：有源且处处无旋有源且处处无旋b点电势能点电势能bW则则ab电场力的功电场力的功baabldEqA0baWW 000aaaldEqAWEWa属于属于q0及及 系统系统试验电荷试验电荷 处于处于0qa点电势能点电势能aWab注意注意三、电势能三、电势能保守力的功保守力的功=相应势能的减少相应势能的减少所以所以 静电力的

22、功静电力的功=静电势能增量的负值静电势能增量的负值是相对量是相对量对于任一点对于任一点 00aaaldEqWu定义定义电势差电势差 电场中任意两点电场中任意两点 的的电势之差（电压）电势之差（电压）bauu 00abbaabl dEl dEuuu bal dE 00aaldEqW四、电势四、电势 电势差电势差单位正电荷在该点单位正电荷在该点所具有的电势能所具有的电势能单位正电荷从该点到电势零单位正电荷从该点到电势零点电场力所作的功点电场力所作的功 a、b两点的电势差等于将单位正电荷从两点的电势差等于将单位正电荷从a点移点移到到b时，电场力所做的功。时，电场力所做的功。 定义定义电势电势 将电荷

23、将电荷q从从ab电场力的功电场力的功baqE dl baabWWA()abq uu 注意注意1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。2、两点间的电势差与电势零点选择无关。、两点间的电势差与电势零点选择无关。3、电势零点的选择。、电势零点的选择。A、一般地，取无限远为零势点；、一般地，取无限远为零势点；B、电荷分布无限大时，选某一特定点、电荷分布无限大时，选某一特定点为零势点为零势点根据电场叠加原理场中任一点的根据电场叠加原理场中任一点的1、电势叠加原理、电势叠加原理若场源为若场源为q1 、q2 qn的点电荷系的点电荷系场强场强电势电势nEEEE .21

24、 0021)(PPnl dEEEl dEu niinuu.uu121各点电荷单独存在时在该点电势的各点电荷单独存在时在该点电势的代数和代数和 00201.PPnPl dEl dEl dE五、电势的计算五、电势的计算2 2、点电荷电场中的电势、点电荷电场中的电势r qP 0r如图如图 P点的场强为点的场强为 0204rrqE PrPrqdrrqldEu02044 由电势定义得由电势定义得讨论讨论 对称性对称性大小大小以以q为球心的同一球面上的点电势相等为球心的同一球面上的点电势相等最最小小ururuq 00最最大大ururuq 00由电势叠加原理，由电势叠加原理，P的电势为的电势为点电荷系的电势

25、点电荷系的电势 iiirquu04 rdqduu04 连续带电体的电势连续带电体的电势由电势叠加原理由电势叠加原理dqP r1r 1q 2qnq 2rnr 根据已知的场强分布，按定义计算根据已知的场强分布，按定义计算 由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 0PPldEu电势计算的电势计算的两种两种方法方法： iiirquu04 rdqduu04 例例1 、求电偶极子电场中任一点求电偶极子电场中任一点P的电势的电势lOq q XYr1r2r ),(yxP 210122010214)(44rrrrqrqrquuuP 由叠加原理由叠加原理lr cos12lrr

26、 221rrr 20cos4rlqu 222yxr 22cosyxx 其中其中23220)(41yxpxu Vrqu201108 .2844 rO2q1q4q3q课堂练习：课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的点电荷已知正方形顶点有四个等量的点电荷r=5cmC9100 . 4 求求将将求该过程中电势能的改变求该过程中电势能的改变oucq90100 . 1 0电场力所作的功电场力所作的功JquuqA720000108 .28)108 .280()( 电势能电势能 0108 .28700WWWXYZO Rdlr Px例例2、求均匀带电圆环轴线求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：上的电势分布。已知：

27、R、q解解:方法一方法一 微元法微元法rdqdu04 rdl04 RPrRrdlduu 20004242204xRq 方法二方法二 定义法定义法由电场强度的分布由电场强度的分布23220)(4RxqxE ppxxRxqxdxEdxu23220)(40 u推广推广：均匀带电圆盘轴线上的电势分布。已知：均匀带电圆盘轴线上的电势分布。已知：R，以圆环为微元以圆环为微元2204xrdqdU drrdq 2圆盘在轴线上任一点的电势为：圆盘在轴线上任一点的电势为： xRxrxrdrUR 22002122022 （1）盘心处）盘心处0 x002 RU （2）无限远处）无限远处Rx xxRU1402 l d例

28、例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q解解: 方法一方法一 叠加法叠加法 (微元法微元法)任一圆环任一圆环 RdRdSsin2 dRdSdqsin22 ldRldqdu sin2414200 ldq08sin drRldlsin22 rRqdldu08 cos2222RrrRl RrRrrqrRqdlu0048 Rr Rr rRrRRqrRqdlu0048 ORPr 方法二方法二 定义法定义法Rr Rr 由高斯定理求出场强分布由高斯定理求出场强分布Rr Rr E204rq 0 PldEu由定义由定义 RrRl dEl dEu Rdrrq2040 R

29、q04 rdrrqu204 rq04 ORPr 例例4、求非均匀带电球体的电势分布。已知、求非均匀带电球体的电势分布。已知R，4Rqr Rr 解：先求电场，电场呈球对称，作同心球面为高斯面解：先求电场，电场呈球对称，作同心球面为高斯面 24 rESdEe drrRqdrrRqrdq342444 443044rRqdrrRqqri 用高斯定理求解用高斯定理求解4024RqrE Rr qdrrRqqRi 3044204rqE 同理：同理：用定义求电势：用定义求电势： PldEuRr RrRl dEl dEudrrqdrRqrRrR 2040244 4030123RqrRq Rr rqdrrqur0

30、2044 Rr 例例5、一半径为、一半径为R的均匀带电球面，带电量为的均匀带电球面，带电量为q；球；球面外有一均匀带电细线，电荷线密度为面外有一均匀带电细线，电荷线密度为 , 长为长为l, 细细线近端离球心距离为线近端离球心距离为ro,如图所示。如图所示。求求细线受的力和细线受的力和细线在球面电场中的电势能。细线在球面电场中的电势能。Rroloq xdx 解解 F24xqo dx lrroo)(4lrrlqooo aaquW Wxqo 4 dx lrrooooorlrq ln4 课堂练习课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差求等量异号的同心带电球面的电势差 已知已知+q 、-q、RA

31、 、RB ARBRq q 解解: 由高斯定理由高斯定理ARr BRr 204rq BARrR E0由电势差定义由电势差定义 BAABuuu BARRBABARRqdrrql dE)11(44020 求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c ，电场力所作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所作的功电场力所作的功 2.如图已知如图已知+q 、-q、Rq q RRROdabc)434(000RqRquuAcoocRq06 0oOuuA3.如图，已知如图，已知Q，q，R，r，求，求A点的电势。点的电势。rqRQu0044 4.如图以如图以A点为零势点，求点为零势点，求

32、B点的电势。点的电势。已知已知q，r，RqABrRrqRqu0044 ARQrq一、一、 等势面等势面等势面等势面 ： 电场中电势相等的点组成的曲面电场中电势相等的点组成的曲面+9-5 电电场强度与电势梯度的关系场强度与电势梯度的关系+电偶极子的等势面电偶极子的等势面人心脏的等人心脏的等电势线，类电势线，类似于电偶极似于电偶极子。子。 等势面的性质等势面的性质等势面与电场线处处正交，等势面与电场线处处正交， 电场线指向电势降落的方向。电场线指向电势降落的方向。2 令令q在面上有元位移在面上有元位移ld0cosdlEldEdudcuu 0)(dcdccduuqWWA沿电力线移动沿电力线移动 q

33、cdEEl d等势面等势面电荷沿等势面移动时电场力不做功。电荷沿等势面移动时电场力不做功。0)(baabuuqAbauu a,b为等势面上任意两点移动为等势面上任意两点移动q,从从a到到babu 等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小。规定规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等场中任意两相邻等势面间的电势差相等 课堂练习：课堂练习：由等势面确定由等势面确定a、b点的场强大小和方向点的场强大小和方向1u2u3uab03221 uuuu已知已知aEbE二、电势梯度二、电势梯度 设有两个十分接近的等势面设有两个十分接近的等势面1和和2,如图所示如图所示,其电其电势分别为势分别为u和和u+du,并设并设du0。 在同一场点在同一场点,其电势沿不同其电势沿不同方向的空间变化率也是不同的。方向