图的深度优先遍历C

1、西北师范大学地环学院地理信息系数据结构实验讲义十 图的存储与深度优先遍历张长城2011-2-8图存储以及深度优先遍历算法分析，C语言实现实验任务描述1 用C语言邻接矩阵完成图的存储；2 分析深度优先遍历算法；3 用C语言实现图的深度优先遍历；4 深度优先遍历应用：图的关节点计算。一、 邻接矩阵存储图的深度优先遍历过程分析对图1这样的无向图，要写成邻接矩阵，则就是下面的式子图 1顶点矩阵：V= 弧长矩阵： A=一般要计算这样的问题，画成表格来处理是相当方便的事情，实际中计算机处理问题，也根本不知道所谓矩阵是什么，所以画成表格很容易帮助我们完成后面的编程任务。在我们前面介绍的内容中，有不少是借助着

2、表格完成计算任务的，如Huffman树。V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）01100000V2 （2）10011000V3 （3）10000110V4 （4）01000001V5 （5）01000001V6 （6）00100010V7 （7）00100100V8 （8）00011000表1 图1的邻接矩阵表为了记录那些顶点是已经走过的，还要设计一个表来标记已经走过的顶点，在开始，我们假设未走过的是0，走过的是1，于是有：V1V2V3V4V5V6V7V800000000表2 图1的顶点访问表Visited深度优先遍历过程如下：（1）从第1

3、行开始，寻找和V1相连的第1个顶点，首先在Visited表中标记V1被访问到，就是：V1V2V3V4V5V6V7V810000000表3 图1的顶点访问表Visited 深度优先遍历步骤(1)在该行，我们找到的第一个连接顶点是V2，找到V2顶点后，记录：V1->V2，意味着我们已经抵达V2，注意修改邻接矩阵表； V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）01100000V2 （2）10011000表4 图1的邻接矩阵表 深度优先遍历步骤(1)（2）然后则转向V2顶点所在的行，意味着我们已经抵达V2，再次在Visited表中标记V2顶点已经

4、被访问，就是：V1V2V3V4V5V6V7V811000000表5 图1的顶点访问表Visited 深度优先遍历步骤(2)然后，寻找连接V2的、并且是未被访问过的第一个顶点，就是V4：记录V2->V4；V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）01100000V2 （2）10011000V4 （4）01000001表6 图1的邻接矩阵表 深度优先遍历步骤(2) （3）然后则转向V4顶点所在的行，意味着我们已经抵达V4，再次在Visited表中标记V4顶点已经被访问，就是：V1V2V3V4V5V6V7V811010000表7 图1的顶点访问

5、表Visited 深度优先遍历步骤(3)然后则转向V4顶点所在的行，寻找连接V4的、并且是未被访问过的第一个顶点，就是V8：记录V4->V8；V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）01100000V2 （2）10011000V4 （4）01000001V8 （8）00011000表8 图1的邻接矩阵表 深度优先遍历步骤(3)（4）然后则转向V8顶点所在的行，意味着我们已经抵达V8，再次在Visited表中标记V8顶点已经被访问，就是：V1V2V3V4V5V6V7V811010001表9 图1的顶点访问表Visited 深度优先遍历步骤

6、(4)然后则转向V8顶点所在的行，寻找连接V8的、并且是未被访问过的第一个顶点，就是V5：记录V8->V5；V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）01100000V2 （2）10011000V4 （4）01000001V8 （8）00011000V5 （5）01000001表10 图1的邻接矩阵表 深度优先遍历步骤(4)（5）然后则转向V5顶点所在的行，意味着我们已经抵达V5，再次在Visited表中标记V5顶点已经被访问，就是：V1V2V3V4V5V6V7V811011001表11 图1的顶点访问表Visited 深度优先遍历步骤(

7、5)寻找连接V5的、并且是未被访问过的第一个顶点，此处未找到，注意V2、V8顶点已经在Visited表中标记已访问过。V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）01100000V2 （2）10011000V4 （4）01000001V8 （8）00011000V5 （5）01000001表12 图1的邻接矩阵表 深度优先遍历步骤(4)（5）这个地方一定注意：V5上找不到未访问过的顶点，说明此路到此就算走死了。此时看Visited表：其中还有顶点没有抵达过，于是要按原路返回，所谓原路就是从表12、表10、表9走过的路线返回、然后逐个查找这些顶点上

8、有无未抵达过的顶点。过程如下：再次从V5返回到V8，查找V8上有无未抵达过的顶点，结果是无；再次从V8返回到V4，查找V4上有无未抵达过的顶点，结果是无；再次从V4返回到V2，查找V2上有无未抵达过的顶点，结果是无；再次从V2返回到V1，查找V1上有无未抵达的顶点，结果是V3，于是重复第(1)步，首先标记V3访问到：标记V1->V3，标记Visited表V3被访问：V1V2V3V4V5V6V7V811111001表13 图1的顶点访问表Visited 深度优先遍历步骤(4)到V3，就是这样的情况：V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）

9、01100000V2 （2）10011000V4 （4）01000001V8 （8）00011000V5 （5）01000001V3 （3）10000110表14 图1的邻接矩阵表 深度优先遍历步骤(5)（6）到达V3后，寻找第一个未被访问过的顶点：V6，首先标记Visited表，说明已经抵达V6，就是：V1V2V3V4V5V6V7V811111101表15 图1的顶点访问表Visited 深度优先遍历步骤(6)再从V6开始找下一个顶点就是V7：V1（1）V2（2）V3（3）V4（4）V5（5）V6（6）V7（7）V8（8）V1 （1）01100000V2 （2）10011000V4 （4）0

10、1000001V8 （8）00011000V5 （5）01000001V3 （3）10000110V7 （7）00100100表16 图1的邻接矩阵表 深度优先遍历步骤(6)（7）在Visited表中标注V7已经访问到，就是：V1V2V3V4V5V6V7V811111111表17 图1的顶点访问表Visited 深度优先遍历步骤(7)至此，图1的深度优先遍历完成。二、结果分析从上面的过程可以看出：仅仅就顶点访问到的次序而言，图1的深度优先遍历结果是：V1->V2->V4->V8->V5->V3->6->V7但实际执行过程中我们可以发现：所谓图的遍历、其

11、结果应该是一个树：图 2 深度优先遍历生成树在C语言中，显示这个结果并不容易，所以大多教材中并不会给出这样的结果。三、C语言编程实现图的深度优先遍历图1只有8个顶点，可在实际中，一个图的顶点个数是不确定的，在编程中要保存顶点数据、邻接矩阵，首先就要考虑动态数组；其次，为了方便邻接矩阵的输入和修改，最好是把数据保存在文本文件中。在我们的教材中、程序使用了键盘输入的方式，而在实际操作中、在图的顶点个数比较多的情况下，手工无差错输入很多数据、几乎是无法办到的事情，为此，我们在文件p176G719.txt中保存了图1的邻接矩阵数据。这个文件的名称含义是：教材176页图7.19的顶点名称和邻接矩阵数据。

12、有了这样的数据文件，在记事本程序中可以很方便的修改和补充数据。这个文件的内容如下：12345678910111213141516178V1V2V3V4V5V6V7V80 1 1 0 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 01 0 0 0 0 1 1 00 1 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 1 0 0 0表18 p176G719.txt文件内容这个文件第一行是8，说明这个图有8个顶点，随后在第2行到第9行，则是图的顶点名称，第10行到末尾，则是该图的邻接矩阵。根据不同的图，在记事本程序中完成这样

13、的数据是非常简单的事情，哪怕错了再修改也是很容易做到。1 设计图的存储结构以及数据文件读取图的存储、无论哪种方法，都是由两部分组成的，一个是顶点名称集合，一个是顶点关系集合，在邻接矩阵方式中，顶点名称是一个字符串数组，而顶点关系则是一个矩阵、这个矩阵在C语言中是一个二维数组。于是图的结构可以是：struct Graphint A100100; /邻接矩阵char V10020; /顶点名称矩阵，100行，每个名称字符串不超过20字节int num; /顶点个数int Visited100; /访问记录表;但这样的定义很死板，它假设程序最大是100个顶点，实际我们的教材中就是这么定义的。但幸好我

14、们前面已经知道该怎么处理二维数组，于是这里我们可以动态申请内存，以保证在很多顶点的情况也能使用，对二维数组，则上述定义变为：struct Graphint *pA; /邻接矩阵指针char *pV; /顶点名称指针int num; /顶点个数int *Visited;/访问记录表指针;对这样数组的构造，参见第5部分：数组，好在我们前面有过介绍。回忆一下，如有数组：int A33=1,2,3,4,5,6,7,8,9;则A0、A1、A2则代表每一行的地址，一般称为行首地址，比如这三行行首地址分别是100、200、300，这三个地址数据分别存储在地址2000、2001、2002的存储空间里，则地址2

15、000就是这个数组A的含义，就是所谓行首地址数组的首地址。反过来，如:int *p3;p0=A0;p1=A1;p2=A2;上面的式子里，如p0地址为3000、3001、3002，其中的内容保存的是100、200、300，这样就相当于保存了A数组的行首地址，所以p就是个二维数组行首指针数组，只不过它仅仅是三行的二维数组。如把p0的地址给另外一个指针变量pA，则pA就是：int *pA;假如这个变量的地址在5000，给这个变量赋值：pA=&p0;于是地址5000中将存储3000，这里pA和A的含义是一致的。实际数组A本身就是地址5000，如有以下语句：X=A12;就是从A的地址5000 、

16、读到内容3000、再从3001读到200、再从200后取第1个数，过程如下图3所示：图 3 二维数组的数据读取过程针对n个顶点，则初始化一个图的函数就是：1234567891011121314151617181920#define VLENGTH 20 /定义每个顶点名称不超过20字节struct Graph *GraphInit(int n)int i;struct Graph *g;if(n<=0) return NULL;g=(struct Graph *)malloc(sizeof(struct Graph);g->num=n;g->pA=(int *)malloc(

17、sizeof(int )*n);g->pV=(char *)malloc(sizeof(char)*n); for(i=0;i<n;i+)g->pAi=(int *)malloc(sizeof(int)*n);g->pVi=(char *)malloc(sizeof(char)*VLENGTH);g->Visited=(int *)malloc(sizeof(int )*n); for(i=0;i<n;i+)g->Visitedi=0; return g;表19 动态申请内存，为n个顶点构造顶点名称数组、邻接矩阵数组，见程序G0.C注意第9行，是为行首

18、地址数组申请内存；注意第13行，是为每行数据申请存储空间；注意第14行，前面定义每个顶点的名称是VLENGTH长度，这里是20字节。由于C语言的指针可以用下标法读写内容，所以完全可以把pA、pV当做普通的二维数组来处理，此处不再叙述。2 从文件中读数据到邻接矩阵和顶点名称矩阵这个过程在链表的处理中已经介绍过了，只不过数据格式有差异而已。针对我们前面介绍的数据格式，读数据文件并构造图的函数如下：1234567891011121314151617struct Graph * GraphCreat(char FileName20)int i,j,n;FILE *fp,*fopen();struct

19、Graph *G;fp=fopen(FileName,"r");if(fp=NULL) return NULL;fscanf(fp,"%d",&n);G=GraphInit(n);for(i=0;i<n;i+)fscanf(fp,"%s",G->pVi);for(i=0;i<n;i+)for(j=0;j<n;j+)fscanf(fp,"%d",&G->pAij);fclose(fp);return G;表20 从文件中读顶点数据以及邻接矩阵数据 见G0.c第8行首先读文

20、件中顶点个数，然后根据顶点个数、使用GraphInit()申请内存并构造这个图的存储空间，然后在第10行读n个顶点名称、在第12行按二维数组的组织读邻接矩阵。最后，返回G就是包含有顶点名称、邻接矩阵的图的存储空间。有了这两个函数后，就可以编写main()来测试它们，就是：1234567891011121314151617main()int i,j;struct Graph *G;G=GraphCreat("p176G719.txt"); /打印顶点名称for(i=0;i<G->num;i+)printf("%s ",G->pVi);pr

21、intf("n");/打印邻接矩阵for(i=0;i<G->num;i+) for(j=0;j<G->num;j+)printf("%d ",G->pAij);printf("n");表21 从文件中读顶点数据以及邻接矩阵数据并显示 见G0.c这个程序第5行，你可以修改成用scanf()来读到一个文件名称字符串，然后，就可以使用任何格式符合要求的数据文件了。G0.C中还包含有GraphFirstAdj()、GraphNextAdj()、GraphDestory()三个函数，这些函数的意义你能看懂么？2 深

22、度优先遍历的编程实现从前面算法分析过程可知：对一个图的深度优先遍历，实际就是从第n个顶点开始、标记该顶点已被访问，然后查找该顶点上第一个和它相连、并且未被访问到的顶点、比如是第i个顶点，再去第i个顶点，如此繁琐的说这些，实际就是：12345678910void DFS(struct Graph *G,int n)int i;if(G=NULL) return;if(n<0|n>G->num) return;G->Visitedn=1;printf("%s ",G->pVn); for(i=0;i<G->num;i+)if(G->

23、;pAni!=0&&G->Visitedi!=1) DFS(G,i);表22 深度优先遍历图 见G1.c第6行是标记该顶点被访问；第9行就是：查找第n个顶点上、未被访问到的顶点，如找到该顶点、且顶点编号是i，则再次DSF(G,i)；有了这个函数后，构造main()开始从第0个顶点遍历图1，就是：123456789101112131415161718main()int i,j;struct Graph *G;G=GraphCreat("p176G719.txt");for(i=0;i<G->num;i+)printf("%s &qu

24、ot;,G->pVi);printf("n");for(i=0;i<G->num;i+) for(j=0;j<G->num;j+)printf("%d ",G->pAij);printf("n");DFS(G,0);printf("n");表23 深度优先遍历图 见G1.c进一步测试该函数，按图1的数据仔细分析下它的执行过程，如有图的连接分量不为1，则会在第一个连接分量遍历完成后终止。如下图4，在G1.C中是无法全部遍历完成的。这个图的文件在G4.TXT，修改表23中第5行，从G

25、4.TXT中读数据，则会发现这个程序仅仅遍历了A、B、C、D，而没有到达过E、F、G这三个顶点。图 4 两个连同分量的图为确保多个分量的图都能顺利遍历完成，则该函数退出后还需要判断是有顶点是否确保全部遍历完成、并确保每次遍历开始的时候、其访问数组Visited中全部是0，就是：12345678910void DFSTraverse(struct Graph *G)int i;if(G=NULL) return;for(i=0;i<G->num;i+)G->Visitedi=0;for(i=0;i<G->num;i+)if(G->Visitedi=0) DFS

26、(G,i); 表24 深度优先遍历图 见G2.c表24中函数，很容易修改成计算图的连接分量的函数，这个工作就由同学们自己完成。如果你遇到困难无法完成，参见G3.C略加修改main()函数，补充：DFSTraverse(G);即可完成图4的深度优先遍历。到此，C语言的深度优先遍历到此结束。四、图的遍历及其应用1 图的关节点图的关节点、在图上或许仅仅是个理论或者方法，但对GIS而言，却绝对是个重要意义的理论、尽管目前还没见到这类应用。求解图的关节点、是典型的深度优先遍历应用，首先我们从教材中找到G5的图，其邻接矩阵如下：A BCDEFGHIJKLMA0110010000010 B101100110

27、0001 C1100000000000 D0100100000000 E0001000000000 F1000000000000 G0100000110100 H0100001000100 I0000001000000 J0000000000011 K0000001100000 L1000000001001 M0100000001010表25 G5的邻接矩阵表从A点开始、进入A点后由邻接矩阵右端向左遍历，其结果就是：ALMJBHKGIDECF仔细根据上述结果、可以得到图5这样的深度遍历生成树。图 5 G5的深度优先遍历树注意图5：每个结点上标注的数字是在深度优先遍历上抵达的次序。对这个邻接矩阵

28、，我们从右向左做了深度优先遍历，这代表着一个方向，然后，我们要从左到右、在遍历的时候、逐个结点寻找与当前结点相连的最小次序结点（这里一直没想好个比较恰当的措辞来描述这个概念），而这个结点、则构成了所谓的回边路径，如图5中虚线所指的线路，如J-L、B-A等线路。这种线路很关键：它的物理意义是：你可以通过B直接抵达A、或者C直接抵达A、G直接抵达B等等，这些回边路径，则立刻喻示着你炸毁K点、对I点则没什么影响。从右向左深度优先遍历，这里的现实意义就是说：从其他各个顶点回到A的情况。相连最小次序结点序号，通常用Low 数组来表示，比如J结点，这个值就是2，它代表着J可以抵达第2个遍历到的结点L，这就

29、是所谓的回边路径。同理，对于C，这个值是1，它代表着在C点，可以直接到A。如果当前结点下标是v，而在Visitedv代表这个结点深度遍历中的次序，w代表v顶点在生成树上的孩子结点下标，k代表v的祖先结点下标，则：Lowv=minVisitedv,Loww,Visitedk当然，这个式子很简洁，要真正计算出来Low 的值、显然要在程序上说了算。而要在编程中体现这些，还要首先是能手工计算出这个值来。2 关节点的计算首先我们设计表格如下：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 1表26 G5最早回边路径计算表(1) 顶点A，步骤1对于A，它就是来自步骤1，就是A，

30、于是Low为1。(2) 顶点L，步骤2现在，根据遍历的次序，我们抵达L这个顶点，注意L的邻接矩阵：A BCDEFGHIJKLML1000000001001 表27 G5中L的邻接矩阵表，顶点L从表27可知：深度优先遍历经过的顶点里有A、J、M，其中只有A是深度优先遍历访问过的顶点、所以最小次序号是1，也就是A是L能直接抵达的回边路径上的顶点，所以，表26就是以下结果：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 11表28 G5最早回边路径计算表(3) 顶点M，步骤3现在，我们根据表28抵达顶点M，这个顶点的邻接矩阵表如下：A BCDEFGHIJKLMM01000

31、00001010表29 G5的邻接矩阵表，顶点M这个地方可以看到：M可以和B、J、L相连，但B、J尚未被访问过，而M又从L而来，所以此时M的回边就是L的回边，于是有：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 111表30 G5最早回边路径计算表(4) 顶点J，步骤4根据遍历的次序，我们进入顶点J，此时邻接矩阵如下：A BCDEFGHIJKLMJ0000000000011 表31 G5的邻接矩阵表，顶点J对于顶点J，这里可知与L、M相连，从表30知道L是步骤2到达、M是步骤3到达，取步骤次序最小、即为2，它意味着在顶点J上可以抵达深度遍历次序为2的顶点、就是L，

32、于是有：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 1112表32 G5最早回边路径计算表从这个表第4步，我们回头看图5，就相当于J与L之间的连接虚线。在L、M之间找最小连接次序的意义是：把M炸掉、J依然能回到L。(5) 顶点B，步骤5依然要看邻接矩阵，B顶点是：A BCDEFGHIJKLMB1011001100001 表33 G5的邻接矩阵表在这里，我们发现B与A、C、D、G、H、M相连，其中：A、M是深度优先遍历已经遍历过得顶点，找最小次序的、就是A，也就是第一步就抵达的顶点，所以有：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow

33、 11121表34 G5最早回边路径计算表(6) 顶点H，步骤6再次看邻接矩阵表，H顶点就是：A BCDEFGHIJKLMH0100001000100 表35 G5的邻接矩阵表可以发现H与B、G、K连接，其中B是深度优先遍历访问过的顶点，注意到B的是在第5步访问的，所以有：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 111215表36 G5最早回边路径计算表对于顶点H，该顶点是由邻接矩阵这种硬性连接造成的回边路径只能是5、就是说它只能通过B回到A，这就非常麻烦，立刻喻示着B是一个关节点。(7) 顶点K，步骤7同样要仔细看邻接矩阵，K就是：A BCDEFGHIJK

34、LMK0000001100000 表37 G5的邻接矩阵表，顶点K我们看到K与G、H相连，但这两个顶点目前都没有被深度优先遍历访问到，此时的情况、立刻说明从邻接矩阵中无法得到Low，同表28的顶点M情况一致，就是说从H顶点来，而H顶点又来自B，所以K的Low也是5。步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 1112155表38 G5最早回边路径计算表这现实意义也很明确：如果把B炸毁了、K就是受害者，当然H也是。(8) 顶点G，步骤8还是看G的邻接矩阵：A BCDEFGHIJKLMG0100000110100 表39 G5的邻接矩阵表，顶点G在这个表中可知：G连

35、接有B、H、I、K，其中B、H、K是深度优先遍历都访问过的，这3个顶点里，以访问B的步骤最小，就是5，于是：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 11121555表40 G5最早回边路径计算表对这个结果还能说什么？意味着B炸掉后又多了个受害者。(9) 顶点I，步骤9同样要看邻接矩阵，对于I就是：A BCDEFGHIJKLMI0000001000000 表41 G5的邻接矩阵表，顶点I这个顶点更不幸，它仅仅与G相连，对于这样的顶点，我们知道访问到G的步骤：8，就是这个顶点的Low，就是：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLo

36、w 111215558表42 G5最早回边路径计算表回忆我们对B-H路径的分析，我们知道此时的G同样是I的关节点，I回到A，必须经过G。如果炸掉G、B这样的顶点，I城市就算没救了。(10) 顶点D，步骤10还是先看邻接矩阵，对于D，就是：A BCDEFGHIJKLMD0100100000000 表43 G5的邻接矩阵表，顶点D可知顶点D与B、E相连，对于D，此时最先抵达的顶点是B，在步骤5，所以有：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 1112155585表44 G5最早回边路径计算表这个结果说明B依然是控制着D的生命线。(11) 顶点E，步骤11还是看E

37、的邻接矩阵，就是：A BCDEFGHIJKLME0001000000000 表45 G5的邻接矩阵表，顶点E可以知道E与D直接相连，于是回边上另一个顶点D、也就是在步骤D，于是：步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 111215558510表44 G5最早回边路径计算表总结下：设当前顶点为v，下一个顶点是w，其步骤都在Visited 中保存，则：Loww>= Visitedv则v必然是关节点，比如此时v是顶点D，而w代表E；或者v是顶点B，而w代表H、K等顶点。从图5中我们不难发现炸掉D确实能孤立E。(12) 顶点C，步骤12还是看邻接矩阵，在顶点C

38、有：A BCDEFGHIJKLMC1100000000000 表45 G5的邻接矩阵表，顶点C从这个地方可知C与A、B相连，这两个顶点都在第1、5步骤访问过，显然回到A最直接，于是此时Low为1。步骤12345678910111213名称ALMJBHKGIDECFLow 1112155585101表46 G5最早回边路径计算表由于有这个回边线路，所以看图5我们就知道：炸掉B对这个结点不起任何作用。最后一个顶点F，看邻接矩阵表可知与A相连，所以表46中自行写入1即可，不再重复计算。到此，G5图中各个顶点回到A顶点路径上、各个回边和关节点计算完毕，我们回顾这个过程不难发现：A、B、G、D是这个图的

39、关节点。在关节点上分割图，立刻可以将一个图分割成若干个不相连的子图，这就是图论中对关节点的要求。2 关节点计算的编程实现根据上面计算的过程，我们可以总结如下：关节点的计算首先要获得Low ，如设图为G，则计算过程分两种情况：（1） 深度遍历过程中，如到当前顶点v，如该顶点邻接顶点没有被深度优先遍历访问过，如前面的M、K这两个顶点，则此时该顶点最早回边顶点值(Low)等同前一节点值，也就是：G->Lowv=G->Loww；（2） 在遍历过程中，如到当前顶点v，该结点邻接矩阵中可以找到已经遍历过的邻接顶点，则G->Lowv= min(G->Visitedw);，如B、J等。

40、而关节点的判断条件则是：遍历过程中，如当前顶点为v，邻接顶点为w，如满足：G->Loww>=G->Visitedv如v是顶点B、w是顶点H，则v是关节点。为了满足上述计算要求，我们首先修改Graph的定义，补充内容如下：123456789struct Graphint *pA;char *pV;int num;int *Visited;int Count;int *Low;表47 为关节点计算补充设计的Graph结构， 见G4.c新补充的变量Count是一个计数器，用来计算深度优先遍历的步骤，有这个步骤，我们才能在图5上标注每个结点在深度优先遍历中是在哪一步到达的。而对于Lo

41、w ，我们知道这里是最小回边的次序号，定义为指针是准备按顶点个数来动态申请内存，由此，我们图的初始化函数就是表27。同表19的程序实际没什么差别，仅仅是初始化了Low 这个数组。深度优先遍历的过程，同前面的过程实际完全一致，但此时Visited 中将不是简单的把已经访问过得顶点如v设置成1，而是要标记步骤，标记步骤，就是让深度优先遍历的过程中，每次都要进行：+G->Count;然后把这个结果赋值给：G->Visitedv=Count;其中v是遍历到当前结点的下标。所以能标记步骤的深度优先遍历就是表28，运行下这个程序，你会看到遍历结果，逐个将Visited 中的值打印出来，就有了深

42、度优先遍历到每个顶点的步骤。123456789101112131415161718192021222324struct Graph *GraphInit(int n)int i;struct Graph *g;if(n<=0) return NULL;g=(struct Graph *)malloc(sizeof(struct Graph);g->num=n;g->pA=(int *)malloc(sizeof(int )*n);g->pV=(char *)malloc(sizeof(char)*n); for(i=0;i<n;i+)g->pAi=(int

43、*)malloc(sizeof(int)*n);g->pVi=(char *)malloc(sizeof(char)*VLENGTH);g->Visited=(int *)malloc(sizeof(int )*n); g->Low=(int *)malloc(sizeof(int )*n); for(i=0;i<n;i+)g->Visitedi=0; g->Lowi=0;g->Count=0;return g;表48 为关节点计算申请内存构建必要的数据存储空间， 见G4.c表48补充了Low 空间申请、Low 构造初始值的语句，基本是表19程序的补充

44、。123456789101112131415void DFS(struct Graph *G,int v)int w;if(G=NULL) return;if(v<0|v>G->num) return;+G->Count; G->Visitedv=G->Count; printf("%3s",G->pVv);for(w=G->num-1;w>=0;w-)if(G->pAvw!=0) if(G->Visitedw=0)DFS(G,w);表49 为关节点计算申请内存构建必要的数据存储空间， 见G4.c同原来的DFS()相比，就是加了个计数器并能记录步骤，补充如G4.c的main()，读进文件P719G5.txt的数据来计算，这样，你就获得了深度优先遍历的结果和步骤。注意表49第9行，我们是从邻接矩阵右边向左开始遍历。有了遍历步骤计