贝叶斯统计简介

1、抛出一枚硬币， 硬币落地， 现在我不知道结果如何，问 是 还 是反 ？答案有三个： A 正面朝上、 B 反面朝上、 C 正面朝上反面朝上的概 率各占 1/2 哪个正确？经典统计学里面正确答案能是 A或者B,只有在贝叶斯统计学里面答 案 C 是才是被允许的 一次实验的结果在经典统计学里面被叫做样本点，是确定的。 那么为什么在贝叶斯统计学里面第三个的答案的说法是正确的呢？ 关键在于贝叶斯学派关于随机变量的定义：任何一个未知量 * 都可以 看做一个随机变量。这也是贝叶斯学派最基本的观点， 只要是未知的量都可以看做随机变 量。仅仅从这一个简单的例子就已经可以看到经典统计学派与贝叶斯统 计学派的争议来了

2、， 其实两个学派在一些问题上的争论是相当深刻而 激烈的，当然也有相同相通之处，在这里就不便展开详细的讨论了。 就我本人还是比较倾向于贝叶斯学派的。我们在回到上面的问题，看答案 C 正面朝上反面朝上的概率各占 1/2，仔细想想这句话，实际上我们已经给出了未知量（本次实验结 果）一个概率分布的描述。要么正面朝上要么反面朝上，概率各占 1/2，这个概率分布被叫做先验分布。先验分布是指根据先验信息所 给出的随机变量的分布， 这里的先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息。那么先验分布与经典统计学里面的概率分布有什么区 别呢？在所要满足的条件上，如是一致的，主要区别在与概率分 布得到的途径上。经典统

3、计学里概率及其分布的确定来自大量重复实 验，与频率密切相关，由大数定律、中心极限定理这些基本定理做为 理论基石而得来。特别强调的是经典统计学的概率分布 包含了所有样,即所有可能的实验结果都要被包含进去。这是与贝叶斯统 计学里的先验分布不同的地方，贝叶斯统计学的先验概率分布来自于 过去的经验，这里之所以加上”过去的“三个字并且对其强调，是想告 诉大家先验分布只考虑已出现的样本点， 不是所有的样本点。并且可 以由经验而来不必做大量的重复实验。 在这一点上克服了经典统计学 的一些局限性，使得我们的研究深入到那些不适宜或不能大量重复的 随机现象中来。当然这也使先验分布带有的主观性色彩。 关于这一点 也

4、是一个经典统计学与贝叶斯统计学的一个争议点，有很多深入的问题正在探讨中。在这里我们就不讨论了。若仅仅研究先验分布贝叶斯估计也就没大意思了，与先验分布对 应的还有后验分布。我们先来看一下后验分布的定义，在样本 x给定 下二的条件分布被称为二的后验分布。我们分析一下这句话，首先可 以明白后验分布是一个条件分布，怎样的条件分布呢，在样本 X给定 的条件下的条件分布，看来仍然是需要样本，在贝叶斯统计中的样本 又是什么样子的呢？从贝叶斯观点看， 样本X = (Xi,Xn)的产生主要分 两步。首先设想从先验分布二二产生一个样本V ,这一步是“老天爷” 做的，人们是看不见得，故用“设想”二字。第二步是从总体

5、分布pxJ产生一个样本X=(Xi,Xn)，这个样本是具体的，人们能看的到的，此 时样本X发生的概率与如下联合密度函数成正比np x-p xi I=1这个联合密度函数综合了总体信息与样本信息，常被称为似然函数， 及为LJ.由于X是设想出来的，他仍然是未知的，它是按先验分布 二二而产生的，要把先验分布进行综合，不能只考虑 丁，而应对二 的所有可能加以考虑。这样一来就有了样本 x与参数二的联合分布 h xf = p X、二二把先验信息，总体信息，样本信息都综合进去了。我们在是件形式初等概率中已经学过贝叶斯公式的事件形式P ABiP AP A Bi P Bin' P A Bi P Bii=1根

6、据贝叶斯公式我们也可把hx户做如下分解h，x g x这里g X是X的边缘分布函数，与二无关，不含有二的任何信息在二是离散型随机变量时，g x =' q I ；-bo在是连续型随机变量时，gq xp二二；-no这样我们就可以得到条件分布“X =h xF_ q x，g xg x-x就是给定样本x下，d的条件分布了，也即d的后验分布。可以说后验分布是对先验分布的调整， 它是集中了总体，样本和先验 等三种信息中有关r的一切信息后的结果。为了更好的理解后验分布我们来看一个例子例1：为提高某产品的质量，公司经理考虑增加投资来改进生产设备， 预计需投资90万元，但从投资效果上看下属两个部门有两种意见

7、：S :改进生产设备后，高质量产品可占 90%S :改进生产设备后，高质量产品可占 70%经理当然希望.1发生，但根据两部门过去意见被采纳的情况，经理认 为40%第一个部门是可信度的，60%第二个部门是可信度，即随机变 量投资结果过二的先验分布列为：二S二40% ;二J二60% 这是经理的主管意见，经理不想仅用过去的经验来决策此事，想慎重 一些，通过小规模实验，观察其结果后再定。为此做了一项实验，实 验结果（记为A）如下：A :试制五个产品，全是高质量产品。经理很高兴，希望通过这次结果来修正他原来对 宀和，2的看法。下面 我们分别来求一下弓和二2的后验概率。如今已有了二齐和二还需要条件概率PA

8、T和P A，?,这可根据 二项分布算的，PAJ =0.90.590 ； PA =0.70.168由全概率公式可算的P A二P Ap二3 P AT二2 = 0.337最后由后验分布公式可求得：二 3 A = P A 二 R / P A 二 0.236/0.337 二 0.7二 6 A = P A 匕二 R /P A =0.1.01/0.337 二 0.3这表明，纪理根据实验 A的信息调整了自己对投资结果的看法，把 对“和比的信任度由0.4,和0.6分别调整到了 0.7和0.3。后者综合了 经理的主观概率和实验结果而获得，要比主观概率更具有吸引力，更 贴近当前实际。当然经过实验 A后经理对投资改进

9、质量的兴趣更大 了，但如果为了进一步保险起见可以把这次得到的后验分布列再一次 作为先验分布在做实验验证，结果将更贴近实际。从上面这个例子中我们初步体验到了后验的求法，同时也能够看到贝叶斯统计的实用性。贝叶斯统计应用最做的是在决策方面，决策就是对一件事做出决定，它与统计推断的区别在于是否涉及到后果。 统计推断依统计理论而进行，很少考虑到推断结果被使用时所带来的 利润或造成的损失，这在决策中恰恰是不能忽略的。度量利损得失的 尺度就是收益函数与损失函数，把收益函数和损失函数加入到贝叶斯 推断就形成了贝叶斯决策论。在这里首先明确几个概念状态集 -八，其中二表示自然界（或社会）可能出现的一种状 态，所有

10、可能的状态的集合组成状态集。行动集二二其中每一个元素表示人对自然界可能采取的一个 行动。损失函数，在一个决策问题中假设状态集为行动集为二旨,定义在心上的二元函数L a称为损失函数，假如它能表示在自然界（或社会）处于状态 而人们采取行动a对人们引起的 （经济的）损失。决策函数：在给定的贝叶斯决策问题中，从样本空间 二x = Xi Xn '到行动集A上的一个映射T x称为该决策问题的一个 决策函数。状态集，行动集，损失函数是构成一个决策问题必不可少的三个 要素。风险函数：评价T的优劣标准用平均损失RT，即R'T =EL r,T 1称RhT为T在二处的风险函数后验风险：损失函数Lya

11、对后验分布的期望称为后验风险决策空间：设随机变量 X的概率函数或概率密度函数为f xj， 其中 v 未知。对参数二采取的所有“行动”（估计）组成的集合称 为决策空间，记为A，在一般问题中，A是实数集且可测。有了上面的基础，我们就可以讨论贝叶斯估计量了，为了简便起 见，在这里假设X的分布和的分布均为连续型。贝叶斯估计的基本 思想就是选择一个估计值a，使得平均损失最小，即使EL丄二 L = a最小。我们知道，后验分布是对先验分布的调整，在获得了一组样本的观测 值之后，我们用二的后验概率密度函数二二X代替二二，则上式写为：EL ：,a 丄二 L jax d，如果对样本的任何一组观测值，令T x表示使上式最小的估计值，即a =T x，则称T x为二的贝叶斯估计量。T x满足下式EL 二，a 丨 - mi