D12_2对坐标曲线积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 对坐标的曲线积分 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移cosABFW “大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO目录 上页 下页 返

2、回 结束 1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功为,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykxO目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO目录 上页 下页 返回

3、 结束 2. 定义定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ目录 上页 下页 返回 结束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkk

4、xPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则

5、LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:

6、,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A目录 上页 下页 返回 结束 yxO例例2. 计算其中 L 为,:, 0aaxyBAaa(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4