微专题1直线与圆

1、第六讲解析几何微专题1直线与圆命题者说考题统计考情点击2018全国卷山T6直线与圆位 置关系的应用2018北京高考T7点到直线距 离的最值2017全国卷山T10直线与圆的 位置关系2016全国卷H T4圆的方程、点 到直线的距离1圆的方程近两年为高考全 国课标卷命题的热点，需重点关 注。此类试题难度中等偏下，多 以选择题或填空题形式呈现。2直线与圆的方程偶尔单独命 题，单独命题时有一定的深度， 对直线与圆的方程（特别是直 线）的考查主要体现在圆锥曲线 的综合问题上。首向剖折 对点锻纯riri-ieisB _.F « I fJl jT T f Nin s ri r 韦hd關m 曲考向一

2、直线的方程k的值是()B. 1 或 5D. 1 或 2B(m,m)(1<m<4), C(4,2)，则当)【例1】(1)已知直线11： (k-3)x+ (4-k)y+ 1 = 0与直线I?: 2(k- 3)x- 2y+ 3= 0 平行，则A . 1 或 3C. 3 或 5(2)在厶 ABC 中，A(1,1), ABC的面积最大时，m=(A. IC 1C. 2解析（1）当k= 4时，直线11的斜率不存在，直线12的斜率存在，所以两直线不平行；当kz 4时，两直线平行的一个必要3一 k42条件是= k 3,解得k= 3或k= 5;但必须满足工(截4 kk42距不等)才是充要条件，经检验知

3、满足这个条件。故选Co(2)由两点间距离公式可得|AC|= 10,直线AC的方程为x3y+ 2= 0,所以点B到直线AC的距离d=冋-3； + 2|,从而1 i1 i 3 C. 8D. 2解析 易知直线l1: 4x+ y= 1关于直线l2： x y= 0对称的 直线方程为 x+ 4y= 1，又13: 2x my= 3。故由题意得 1X 2 +1 ABC 的面积 S= 2|AC|d = 2|m /m+ 2| = /mqf4，又391<m<4，所以1< m<2，所以当.m= f，即m=4时，S取得最大值。故选B o答案(1)C(2)B直线方程应用的两个关注点(1)求解两条直

4、线平行的问题时， 在利用A1B2 A2B= 0建立 方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情 况。(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意。变|式|训|练1. (2018 门模拟)已知三条直线11： 4x+ y= 1, I2： x y=0, I3： 2x my= 3,若b关于I?对称的直线与I3垂直，则实数m 的值是()1A . 8B . 214X ( m) = 0,所以m =。故选D。答案 D2. （2018河南名校联考）已知 m, n, a, b R，且满足3m + 4n = 6,3a + 4b= 1,贝m a 2+ nb2

5、的最小值为（）A. 3B.21C. 1D. 2解析 此题可理解为点A(m, n)和点B(a, b)分别在直线3x + 4y= 6与l2： 3x + 4y= 1上，求A、B两点距离的最小值，|AB|="'m a 2+ n b 因为 I, I2,所以 |AB|minl£1| =；'32+ 421。答案 C考向二圆的方程【例2】(1)(2018珠海联考)已知圆C与直线x y= 0及x y 4 = 0都相切，圆心在直线 x+ y= 0上，则圆C的标准方程 为()A. (x+1)2+ (y 1)2=2B. (x 1)2+ (y+ 1)2= 2C. (x 1)2+ (y

6、 1)2= 2D. (x+1)2+ (y+ 1)2=2(2)(2018贵阳摸底)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分 别相交于A, B两点，O为坐标原点，若 OAB的面积为8,则 OAB外接圆的标准方程是 。解析(1)由题意设圆心坐标为(a, a),则有|a匕已"=|aa - 4|,即|a|= |a-2|,解得a= 1。故圆心坐标为(1,-1),2半径r = 2= 2，所以圆C的标准方程为(x-1)2+ (y+ 1)2= 2 故选B。(2)解法一：设直线I的方程为£ + b= 1(a>0, b>0)，由直线I2 2 1过点 M(2,2)，得|+ b= 1,

7、又 °ab=新=8,所以 a = 4, b= 4,不妨设A(4,0), B(0,4), OAB外接圆的方程为 x2+ y2+ Dx + EyF = 0,+ F = 0,则将0, A, B的坐标分别代入得 16 + 4D + F = 0,解16 + 4E+ F= 0,F = 0得D = 4, 所以 OAB外接圆的方程为x2 + y2-4x-4y= 0,E= 4,标准方程为(x-2)2+ (y- 2)2= 8。解法二：设直线I的方程为：+ b = 1(a>0, b>0),由直线l过2 21点 M(2,2)，得-+ b = 1。又 SoAB= 2ab = 8,所以 a= 4,

8、b = 4, a b2所以 OAB是等腰直角三角形，且 M是斜边AB的中点，则OAB外接圆的圆心是点 M(2,2),半径|0M| = 2 2,所以 OAB外 接圆的标准方程是(x- 2)2+ (y- 2)2 = 8。答案 (1)B(2)(x- 2)2 + (y-2)2= 8求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心, 半径。(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程， 再由条件求得各 系数。变|式|训|练1抛物线y2= 4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于 A, B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M, A, B三点的圆的 标准方程为。解析 由题意知，A(1,

9、2), B(1 , - 2), M(- 1,0), AMB 是 以点M为直角顶点的直角三角形，则线段 AB是所求圆的直径， 故所求圆的标准方程为(x 1)2+ y2= 4。答案 (x- 1)2+ y2= 42.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx -y-2m- 1 = 0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方解析解法:由题意得：半径等于册T''m+ 1 2,m2 + 1"1+活+产、1 + m+p 2，当且仅当m= 1时取等号, 所以半径最大为r2,所求圆为(x-1)2+ y2= 2。解法二：直线 mx- y-2m- 1 = 0, y=

10、 m(x- 2)- 1 恒过点M(2,- 1)，如图，设 C(1,0)，贝U M为切点时半径最大，且rmax=|CM |= p (2- 1 f + ( - 1 )2 = (2，所以半径最大的圆的标准方程 为(x- 1)2+ y2 = 2。答案(x 1)2+ y2= 2考向三直线与圆的位置关系 微考向1:直线与圆的相交弦【例3】(1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C: (x-2)2 + (y-3)2= 1交于 M , N两点，若IMN匸专，则直线1的方程为。(2)设直线x y a= 0与圆x2 + y2= 4相交于A, B两点，O 为坐标原点，若 AOB为等边三角形，则实数A. 土-

11、3B. ±, 6 C. ±解析(1)直线l的方程为距离 d=|2k-3+1|=|2k 2|,k2+ 1D.y= kx+1,圆心 -f1a的值为()'k2+ 111+三，解得k= 2或1,所求直线52(2 )由题意知：圆心坐标为为2,所以 AOB的高为3,由 r2= d2+ |MN| 2 得 1±C(2,3)到直线I的_(2k 2)2=k2+ 11l的方程为y= 2x+ 1或y=2x+ 1。(0,0)，半径为2,则厶AOB的边长 即圆心到直线x y a=0的距离为V3,所以寸J+( "2 = V3,解得a= ±6。故选B1答案(1)y=

12、2x+ 1 或 y = 2x+ 1(2)Biffi(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半 径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两 半径差与和的比较。(2)弦长的求解方法 根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2= d2 + 4（其中I为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直 线的距离），弦长1 = 2 'r2- d2。 根据公式：l = 1 + k2% X2I求解（其中I为弦长，Xi , X2 为直线与圆相交所得交点的横坐标， k为直线的斜率），或根据I =1 + ：2“1y2i 求解。 求出交点坐

13、标，用两点间距离公式求解。变i式 i训i练（2018合肥一模）设圆X2+ y2 2x 2y 2 = 0的圆心为C,直 线I过（0,3），且与圆C交于A, B两点，若AB|= 2 3，贝V直线I 的方程为（）A . 3x+ 4y 12= 0 或 4x 3y+ 9 = 0B. 3x+ 4y 12= 0 或 x= 0C. 4x 3y+ 9 = 0 或 x= 0D. 3x 4y+ 12= 0 或 4x+ 3y+ 9 = 0解析 当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为x= 0,圆 心到直线I的距离为d= 1,所以|AB| = 2.4 1 = 2 3，符合题意。 当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=

14、 kx+ 3,因为圆x2+ y2 2x 2y 2= 0 即(x 1)2+ (y 1)2 = 4,所以圆心为 C(1,1),圆的半径r = 2，易知圆心 C（1,1）到直线y= kx+ 3的距离d =k 1 + 3| = |k+ 2|k2+ 1 = . k2+ 1因为d2 +晋F=r2,所以法+ 3= 4解【例4】(1)(2018全国卷山)直线x+ y+ 2 = 0分别与x轴， y轴交于A, B两点，点P在圆(x- 2)2 + y2= 2上，则 ABP面积 的取值范围是()A 2,6B. 4,8C. 2, 3 2D. 2 2, 3 2(2)(2018北京高考)在平面直角坐标系中，记 d为点P(c

15、osB, sin®到直线x-my-2 = 0的距离。当6, m变化时，d的最大值 为()A . 1B . 2C. 3D. 4解析(1)因为直线x+ y+ 2= 0分别与x轴，y轴交于A, B 两点。所以A( 2,0), B(0, - 2),则|AB|= 2 2。因为点P在圆 (x-2)2+ /= 2上，所以圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离 d1 = |2+ 0； 2|= 2 2故点P到直线x+ y+ 2= 0的距离d2的取值范围为 r.2, 3 2O(2 )解法一：为圆心的单位圆，又x-my- 2 = 0表示过点(2,0)且斜率不为0的 直线，如图，可得点(一1,0)到直线x=

16、2的距离即为d的最大值。 故选C。解法二：由题意可得|cos 0 msin 0 2| |msin 0 cos 0+ 2|d=m2+ 1r 2m . A + (考向一)已知直线 A： ax+ (a+ 2)y+ 1 = 0,x+ ay+ 2=0,其中 a R，则“ a=- 3” 是 “h 丄 D” 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析 直线h丄12的充要条件是a + (a + 2)a= 0,所以a(a + 3) = 0,所以a= 0或a=- 3。故选 A。答案A 帀+sn0£m+cosm2 +1| m2 + 1sin 0 °

17、+ 2|、m2+ 1因为一1 < sin( 0 其中 cos# mm+ 1, SM= - m2m2 +°)= 1，所以m2 + 1，m2+ 1 + 2'卅+ 1 + 2 = 1 +赛 dw f2+ 1，m2 + 122，所以当m= 0时，d取最大值3。故选Com2+ 1答案(1)A(2)C禾U用圆的图形特征求解有关距离的最值问题往往比一些常 规的方法简单、便捷。变|式|训|练x+ y)1. (2018太原五中模拟)已知k R，点P(a, b)是直线=2k与圆x2 + y2= k2 2k+ 3的公共点，贝U ab的最大值为(A . 15B. 9C. 15D. 32kl解析

18、 由题意得，圆心到直线 x+ y= 2k的距离d =2< k2 2k+ 3,且 k2 2k+ 3>0，解得3< k< 1，因为 2ab= (a + b)2 (a2+ b2) = 4k2 (k2 2k+ 3) = 3k2 + 2k 3,所以当 k= 3 时，ab取得最大值9。故选B。答案 B2. (2018山西晋中二模)由直线y= x+ 1上的一点 P向圆(x-3)1 (考向二)(2018安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x+ y= 0上，圆C与直线x- y= 0相切，且在直线 x- y 3= 0上截得的弦长为&，则圆C的方程为。 + y2= 1引切线，则

19、切线长的最小值为 。解析 设圆心 M到直线y = x + 1的距离为 d，贝U d =2 2。所以切线长jPM|2- 1 2 ；22- 1 = 7。则切线长的最小值为7o答案 7IK夾彼压轴小题课外选做冲击3. （考向三）（2018郑州外国语中学调研）已知圆Ci： （x+ 2a） 1 |OA|OB|sin/ AOB= sin / AOB当/AOB= 90°寸， AOB + y2= 4和圆C2： x2 + （y b）2= 1只有一条公切线，若a, b R1 i且abz 0,则孑+小的最小值为（）A. 2B. 4C. 8D. 9解析由题意可知，圆C1的圆心为（2a,0）,半径为2,圆C2

20、的圆心为（0, b），半径为1,因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以''2a 0 2+ 0 b 2 = 2 1,即卩 4a2+ b2= 1。所11 1 12 ,2b2 4a2b2 4a2 、/以孑+产尹/ （4a + b）=5+孑+ 475+2 .孑習=9当 且仅当b?=嘗，且4a2+ b2= 1,即a2= 6, b2 =扌时等号成立，所1 1以孑+ U的最小值为9。故选D。答案 D4. （考向三）（2018南宁、柳州联考）过点（.2, 0）作直线I与 曲线y=- 1 X2相交于A, B两点，O为坐标原点，当 AOB的 面积取最大值时，直线I的斜率等于 。解析1令 PC.2, 0），如图，易知 |OA|=|OB|= 1，所以 aob = 2的面积取得最大值，此时过点0作0H丄AB于点H，则|OH= 22,于是sin/°PH =帯唏 =2,易知/ OPH为锐角，所以/ OPH=30°则直线AB的倾斜角为150°故直线AB的斜率为tan 150 °3。答案-33B,C两点，且/ BAC = 120°则圆C的方程为由题意，