空间中的垂直关系练习题

1、 教学目标 1线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化 2线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用基础知识基础知识要点回顾要点回顾两条相交直线垂直两条相交直线垂直 垂直于垂直于 基础知识基础知识要点回顾要点回顾垂线垂线 基础知识基础知识要点梳理要点梳理交线交线 变式：变式：如图如图,ab为圆为圆o的直的直径径,c为圆周上异于为圆周上异于ab的任一的任一点点,pa面面abc,问问:图中共有多图中共有多少个少个rt?找出直角三角形找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直也就是找出图中的线线垂直.如图所示，如图所示，pa面面abc,bc面面pac，则图中有哪几，则图中有哪几个直角三角形？个直角三角形？变

2、式：变式：如图所示，如图所示，pa面面abc,在在abc中，中，bcac，则图中直角三角形的个数是则图中直角三角形的个数是pa面面abc,paac,pabc,paab.ab为圆为圆o的直径的直径,acbc.又又acbc,pabc,paac=a,bc面面pac.pc 平面平面pac,bcpc.故图中有四个直角三角故图中有四个直角三角形形:pac,pbc,pab,abc.【典例探讨】【典例探讨】 例例1 1、如图所示，在空间四边形、如图所示，在空间四边形abcd中，中，abad，cbcd，求证求证bdac. 【典例探讨】【典例探讨】 例例1 1、如图所示，在空间四边形、如图所示，在空间四边形abc

3、d中，中，abad，cbcd，求证求证bdac. 证明：证明：取取bd的中点的中点e，连接连接ae、ce，abad，aebd，又又cbcdcebd，又又aecee，ae 平面平面ace，ce 平面平面ace，bd平面平面ace.又又ac 平面平面ace,bdac. 线线垂直可由线面垂直的性质推得线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平直线和平面垂直面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线这是寻找线线垂直的重要依据线垂直的重要依据.例例2 2、平行四边形、平行四边形abcd的对角线交点为的对角线交点为o，点点p在平行四边形在平行四边形abcd所在平面外，所

4、在平面外，且且papc，pdpb，判断，判断po与平面与平面abcd的位置关系，并加以证明。的位置关系，并加以证明。证明：证明：popo平平面面abcd.abcd.o为平行四边形为平行四边形abcd对角线的交点，对角线的交点，oaoc.又又papc, ,poac.poac.同理同理pobd.pobd.又又acbdacbdo o，ac 平面平面abcd，bd 平面平面abcd，popo平平面面abcd.abcd.证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有

5、直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决高线与添加辅助线解决.例例3 3如图，长方体如图，长方体abcda1b1c1d1中，中，abad1，aa12，点，点p为为dd1的中的中点求证：平面点求证：平面pac平面平面bdd1.证明：证明：长方体长方体abcda1b1c1d1中，中， abad1， 底面底面abcd是正方形，是正方形， acbd， 又又dddd1平面平面abcd，acac平面平面abcd， dd1ac， 又又dd1bdd， dd1平面平面bdd1，bd平面平面bdd1， ac平面平面bdd1， 又又ac平

6、面平面pac, 平面平面pac平面平面bdd1.跟踪练习：跟踪练习：如图，如图，p为为abc所在平面外一点，所在平面外一点，pa平面平面abc于点于点a，adbc于点于点d，求证：平面求证：平面pbc平面平面pad. 证明：证明：pa平面平面abc，且，且bc平面平面abc， pabc， 又又adbc，paada， 且且ad平面平面pad，pa平面平面pad， bc平面平面pad， bc平面平面pbc， 平面平面pbc平面平面pad. 当有面面垂直时，一般是在一个面内找当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）交线的垂线，则有线垂直于面；（作）交线的垂线，则有线垂直于面； 在证面面垂直时，一般可

7、先从现有的直线寻在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决.pabc探究：探究：如图，已知如图，已知papa平面平面abcabc，平面，平面pabpab平面平面pbcpbc， 求证：求证：bcbc平面平面pabpab探究：探究：如图，已知如图，已知papa平面平面abcabc，平面，平面pabpab平面平面pbcpbc， 求证：求证：bcbc平面平面pabpabpabce证明：过点证明：过点a作作aepb于于e，平面平面pab平面平面pbc， 平面平面pab平面平面pbc=pb， ae 平面平面pab ， ae平面平面pbc.bc平面平面pbc, aebcpa平面平面pab,ae平面平面pab, 且且paae=a，bc平面平面pabpa平面平面abc，bc平面平面abc,pabc答案：1、a 2、3、证明：作sobc，垂足为o，连接ao， 侧面sbc底面abcd， 平面sbc平面abcd=bc， 且so平面sbc， so