最新人教A版高中数学必修2课时提升作业(二十六) 4.2.1

1、最新人教版数学精品教学资料课时提升作业(二十六)直线与圆的位置关系一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是()a.5b.4c.3d.2【解析】选c.由题意得|a-1|=2,故a=3或a=-1(舍去).2.(2013·安徽高考)直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()a.1b.2c.4d.46【解题指南】由圆的半径、弦心距、半弦长组成直角三角形,利用勾股定理即可求得半弦长.【解析】选c.由(x-1)2+(y-2)2=5得圆心(1,2),半径r=5,圆心到直线x+2y-5+5=0的距离d

2、=|1+4-5+5|5=1,在半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中,弦长l=2r2-d2=24=4.3.(2013·陕西高考)已知点m(a,b)在圆o:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆o的位置关系是()a.相切b.相交c.相离d.不确定【解题指南】利用点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系中的半径与距离,列出关系式,解之即可判断直线ax+by=1与圆o的位置关系.【解析】选b.点m(a,b)在圆x2+y2=1外a2+b2>1.圆心o(0,0)到直线ax+by=1的距离d=1a2+b2<1=圆的半径,故直线与圆相交.4.(2013·烟台高一检测)直线y=

3、x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()a.相切b.相交但直线不过圆心c.直线过圆心d.相离【解析】选b.因为圆心(0,0)到直线y=x+1的距离为d=12=22<1,所以直线与圆相交,又直线y=x+1不过点(0,0),故选b.5.(2013·大连高一检测)已知直线ax-by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()a.是锐角三角形b.是直角三角形c.是钝角三角形d.不存在【解析】选b.因为直线与圆相切,所以d=|c|a2+b2=1,所以a2+b2=c2,所以以|a|,|b|,|c|为三边的三角形是直角三角形.6.(2014&

4、#183;衡水高一检测)过点p(2,3)引圆x2+y2-2x+4y+4=0的切线,其方程是()a.x=2b.12x-5y+9=0c.5x-12y+26=0d.x=2和12x-5y-9=0【解析】选d.点p在圆外,故过p必有两条切线,所以选d.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知直线5x+12y+m=0与圆c:x2-2x+y2=0相切,则m=_.【解析】由题意,得圆心c(1,0),半径r=1,则|5+m|52+122=1,解得m=8或-18.答案:8或-188.(2014·吉林高一检测)已知圆c的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆c与直线x+y+3=0相切.则圆c的方程为

5、_.【解析】易知圆c的圆心为(-1,0),又圆c与直线x+y+3=0相切,所以r=|-1+0+3|12+12=2,所以圆c的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=2【变式训练】由直线y=x+1上的一点向圆c:(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为_.【解析】设过直线y=x+1上的点p作切线,切圆c于a,则pa2=pc2-1,所以要求切线长的最小值,也就是求pc的最小值,又(pc)min=22,所以(pa)min=7.答案:79.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于e,f两点,则eof(o为坐标原点)的面积等于_.【解析】圆心o1(2,-3)到直

6、线l:x-2y-3=0的距离为5,则ef=29-5=4,o到l的距离d=35.故seof=12d·ef=655.答案:655三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·广州高一检测)已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,p点坐标为(2,3),求圆的过p点的切线方程以及切线长.【解析】如图,此圆的圆心c为(1,1),ca=cb=1,则切线长|pa|=|pc|2-|ca|2=(3-1)2+(2-1)2-12=2.(1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0,则圆心到切线的距离d=|k-1-2k+3|k2+1=1,解得k

7、=34,故切线的方程为3x-4y+6=0.(2)若切线的斜率不存在,切线方程为x=2,此时直线也与圆相切.综上所述,过p点的切线的方程为3x-4y+6=0和x=2.11.(2013·珠海高二检测)已知,圆c:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆c相切.(2)当直线l与圆c相交于a,b两点,且ab=22时,求直线l的方程.【解析】将圆c的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆c相切,则有|4+2a|a2+1=2.解得a=-34.(2)过圆心c作cdab

8、,则根据题意,得cd=|4+2a|a2+1,cd2+da2=ac2=22,da=12ab=2.得a=-7或-1.所以直线l的方程是7x-y+14=0和x-y+2=0.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·长沙高一检测)过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是()a.3x-y-5=0b.3x+y-7=0c.3x-y-1=0d.3x+y-5=0【解析】选a.x2+y2-2x+4y=0的圆心为(1,-2),截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1,-2).所以直线方程为3x-y-5=0,故选a.2.(2014·福州高一检测)已

9、知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于()a.2b.23c.d.2【解析】选d.圆x2+y2=4的圆心为o(0,0),半径r=2,设直线x+7y=10与圆x2+y2=4交于m,n两点,则圆心o到直线x+7y=10的距离d=|-10|1+49=2,过点o作opmn于p,则|mn|=2r2-d2=22.在mno中,|mo|2+|on|2=2r2=8=|mn|2,则mon=90°,这两段弧长之差的绝对值等于(360-90)××2180-90××2180=2.3.(2014·安徽高考)过点p(-3,-1)

10、的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()a.0,6b.0,3c.0,6d.0,3【解题指南】求出直线与圆相切时的直线的斜率,数形结合即可得到直线l的倾斜角的取值范围.【解析】选d.设过点p与圆相切的直线方程为y+1=k(x+3),则圆心到该直线的距离d=|3k-1|1+k2=1,解得k1=0,k2=3,画出图形可得直线l的倾斜角的取值范围是0,3.4.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()a.1个b.2个c.3个d.4个【解析】选c.圆的圆心(-1,-2),半径r=22,而圆心到直线x+y+1=0的距离为2.圆x2+y2+2x+

11、4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点有3个.【举一反三】若把条件改为“圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为1的点”共有几个?【解析】有4个.因为圆的圆心(-1,-2),半径r=22,而圆心到直线x+y+1=0的距离为2,则直线的两侧各有两个点.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·南京高一检测)设直线l截圆x2+y2-2y=0所得弦ab的中点为-12,32,则直线l的方程为_;|ab|=_.【解析】由圆心为(0,1),且ab的中点为-12,32,故kab=1.故l的方程为y-32=1·x+12,即x-y+2=0.又半径r=1

12、,故|ab|=2.答案:x-y+2=026.(2014·成都高一检测)过直线x+y-22=0上点p作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点p的坐标是_.【解析】设p(x,y),则由已知可得po(o为原点)与切线的夹角为30°,故|po|=2,故x2+y2=4,x+y=22,解得x=2,y=2.答案:(2,2)三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知圆c经过p(4,-2),q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为43,半径小于5.(1)求圆c的方程.(2)若直线lpq,且l与圆c交于点a,b,aob=90°,求直线l的方程.【解

13、析】(1)设所求圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,由已知得4d-2e+f=-20,d-3e-f=10,e2-4f=48,解得d=-2,e=0,f=-12或d=-10,e=-8,f=4.当d=-2,e=0,f=-12时,r=13<5;当d=-10,e=-8,f=4时,r=37>5(舍),所以所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.(2)设l的方程为x+y+m=0,由x+y+m=0,(x-1)2+y2=13,得2x2+(2m-2)x+m2-12=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=1-m,x1x2=m2-122.因为aob=90°,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,所以m2+m-12=0,所以m=3或-4(均满足>0),所以l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0.8.已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于p,q两点,o为原点,且opoq,求实数m的值.【解析】设点p,q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由opoq,得kop·koq=-1,即y1x1·y2x2=-1,x1x2+y1y2=0.又(x1,y1),