fang第二章 牛顿运动定律3

1、三、惯性力三、惯性力设设S 系系( 非惯性系非惯性系 ) 相对相对S 系系( 惯性系惯性系 ) 平动平动，加速度为，加速度为 。ea质点质点 m 在在S 系和系和S 系的加速度分别为系的加速度分别为aa由伽俐略变换有由伽俐略变换有 ra,eraaaa 在在S 系系:eraamamamF引入引入虚拟力虚拟力或或惯性力惯性力eamF0惯性力惯性力是是虚拟力虚拟力，没有施力者，也没有反作用力。不满，没有施力者，也没有反作用力。不满足牛顿第三定律。足牛顿第三定律。在在S 系：系：reamamF 0ramFF牛顿第二定律形式上成立牛顿第二定律形式上成立说明说明惯性力的概念可推广到非平动的非惯性系。惯性力

2、的概念可推广到非平动的非惯性系。(1)(2)则则TT1011amamTgm2022amamTgm)(02121agmmmma)(202121agmmmmT质量分别为质量分别为 m1 和和 m2 的两物体用轻细绳相连接后，悬挂在的两物体用轻细绳相连接后，悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及所有摩擦均不计。当电梯以所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时。的加速度下降时。解：解：0a取电梯为参考系取电梯为参考系 a a01 aaa02 aaa例例1：m1 和和 m2 的加速度和绳中的张力。的加速度和绳中的张力。求：

3、求：m1gm2gO对对m1 有有对对m2 有有m0a ra0aaar)(0aamamNgmr)sin(sin0aammgrcoscos0mamgNcos)(0agmNsin)(0agar方法方法(一一)取地面为参考系取地面为参考系例例2：一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以匀加速度匀加速度a0 上升时，质量为上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。的物体从斜面顶端开始下滑。yxN0arax 方向方向y 方向方向物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。求：求：解：解：设物体的加速度为设

4、物体的加速度为agmcossinrmaNcoscosr0mamamgNcos)(0agmNsin)(0agarN0amyxgmx 方向方向y 方向方向ramFNgm0方法方法(二二)取升降机为参考系取升降机为参考系惯性力惯性力00amFra0R解：解：重力和纬度关系重力和纬度关系物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的.R惯f0W惯fWW02mRf惯20)cos(Rm0W惯fW由于由于惯fW 01cos与与 的大小和方向都相差不多的大小和方向都相差不多, 所以所以WW0cos0惯fWW)cos0035. 01 (22RMmG例例3：第三章第三章 功和

5、能功和能研究力在空间的积累效应研究力在空间的积累效应 功、动能、势能、动能定理、功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。机械能守恒定律。 力力经历一段空间经历一段空间经历一段时间经历一段时间 物体状态变化物体状态变化力的空间累积力的空间累积能量变化能量变化力的时间累积力的时间累积动量变化动量变化/FdP dt3-1 功功 功率功率一、恒力的功一、恒力的功 FsAcosSFAMF MabsS二、变力的功二、变力的功问题：问题：物体受变力物体受变力 的作用，的作用， 从从 a 点点变力所作的功？变力所作的功？移动到移动到 b 点，点，ab( )F t思路：思路：将将 ab 分割成若干微小位移分割

6、成若干微小位移每段微小位移上，每段微小位移上，均可近似为恒力均可近似为恒力用恒力功的公式求解元功用恒力功的公式求解元功变力变力aoLbiFarbrrricosdAF drcosiiiiAFrF drLLAdAF dr变力对物体所作的功为变力对物体所作的功为FiF 功的普遍公式功的普遍公式 力与质点力与质点元位移标积的线积分元位移标积的线积分说明说明(1) 功是标量，且有正负功是标量，且有正负(2) 功是一个过程量。一般来说，功的值与质点运动的路径功是一个过程量。一般来说，功的值与质点运动的路径有关。有关。 功是过程的函数功是过程的函数。 (3) 合力的功合力的功 rFrFrFbLanbLabL

7、addd21nAAA21 rFFFrFAbLabLad)(dn21合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和(4) 在直角坐标系中在直角坐标系中 bLazyxzFyFxFA）（dddkFjFiFFzyxkzj yi xrdddd bLasFAdcos(5) 在自然坐标系中在自然坐标系中srdd(6) 功的计算与参考系的选取有关功的计算与参考系的选取有关, , 或功的计算依赖于参考或功的计算依赖于参考 系的选取系的选取MMabsff三、内力的功三、内力的功质点系内任意两质点间的相互作用的内力，总是成对质点系内任意两质点间的相互作用的内力，总是成对出现的出现的。imjmirjri

8、jfjifijrOijjirrrjjiiijrfrfAdddjiijff）（jiijrrfdd ）（jiijrrfdijijrfd两个质点间的相互作用力所做的元功之和，等于其中两个质点间的相互作用力所做的元功之和，等于其中一个质点所受的力和此质点相对于另一个质点的元位一个质点所受的力和此质点相对于另一个质点的元位移的点积移的点积结论结论(1) (2) 相对位矢及相对元位移与参照系无关，相对位矢及相对元位移与参照系无关，irdjrd所以一对内力的元功之和一般不为零的，所以一对内力的元功之和一般不为零的，一对内力做功之和一般也不为零的。一对内力做功之和一般也不为零的。未必相等，未必相等，由于由于一

9、般不为零的。一般不为零的。ijrd所以一对内力所以一对内力做功之和也应与参照系无关。做功之和也应与参照系无关。 这是任何一对作用力这是任何一对作用力反作用力所做功之和的重要特点反作用力所做功之和的重要特点tAP四、功率四、功率力在单位时间内所作的功，称为功率。力在单位时间内所作的功，称为功率。平均功率平均功率 FFcosvv trFPdd当当 t 0时的瞬时功率时的瞬时功率 tAtAPtddlim0已知已知 m = 2kg , 在在 F = 12t 作用下由静止做直线运动作用下由静止做直线运动解：解：mFa 23tvttxd3d2Jtt144d36203Wtt2883122xxFA0dtttF

10、02d3v FP例例1：求：求：t = 02s 内内F作的功及作的功及t = 2s 时的功率。时的功率。t 6t ddvtxdd作用下沿图示路径运动。作用下沿图示路径运动。(SI)制。制。jiFxy322oaAFobAocboA质点在力质点在力在以下路径上的功在以下路径上的功(1) (2) (3) xyOcb (3,2)aabA(4) 解：解：求：求：例例2：oa 的方程为的方程为 0yyFxFAyxdd 22yFx0oaA(1) (2) xy320d yxyd32d yFxFAyxdd 302d323d)32(2xxxx17obA(3) 3x0d xyAd92018abA例例3：已知物体质量

11、为已知物体质量为和运动方程为和运动方程为cossinratibtj求：求：作用于物体上的力从作用于物体上的力从 a 到到 b 的功？的功？解：解：分析受力分析受力作用力为变力作用力为变力2raFmr mybaxobabatdysinbmtdxcosam22bxyLaAF drF dxF dy)ba(mydymxdxmAba222020221 例例4：如图，重量为如图，重量为 P 的摆锤系在细绳的摆锤系在细绳，上端固定。，上端固定。水平力水平力 F 从零逐渐增大，方向不变，从零逐渐增大，方向不变，一直拉到绳子一直拉到绳子下端，绳长为下端，绳长为 l 缓慢地作用在摆锤上，缓慢地作用在摆锤上，与竖直

12、方向成与竖直方向成0的位置。的位置。求：求：变力的功？变力的功？ld 解：解： 作用过程中，作用过程中， 处处接近力平衡（拉力、重力、张力）处处接近力平衡（拉力、重力、张力）0sinTF水平方向：水平方向：竖直方向：竖直方向：0 PcosTPtgF 当摆锤在任意当摆锤在任意位置时，变力所作的元功位置时，变力所作的元功 dA 为为cosdAF dsFdsldsinPdscosPtg有一个有一个drFPT当当0时，该变力所作的功时，该变力所作的功 A 为为)cos1 (sin000PldPlA例例5：光滑水平面上一质量为光滑水平面上一质量为m 的物体的物体 从从 t = 0 始，物体受到力始，物体

13、受到力 b 为常矢量，它与为常矢量，它与物体在此力作用下，物体在此力作用下，沿水平面滑动一段沿水平面滑动一段求：求：在沿水平面滑动过程中该力作的功？在沿水平面滑动过程中该力作的功？F = bt 作用作用,水平面保持成水平面保持成 角，角，mFx 距离后离开水平面。距离后离开水平面。解：解： 随时间变化随时间变化cos?AF drAbtdxForce 力是变力力是变力由牛顿定律可知由牛顿定律可知mcosbtmFaxx00costtxxbta dtdtmvcosxxbtda dtdtmv2cos2xbtmv元功元功: 223cos2xxxbtdAF dxFdtdtmvmgsinbtF,tty00则

14、物体离开水平面，当sinbmgt 0422430322820sinbcosgmdtmtcosbAt作用力作功作用力作功xyzO3-2 几种常见力的功几种常见力的功 一、重力的功一、重力的功重力重力mg 在曲线路径在曲线路径 M1M2 上的功为上的功为 221111ddMMzMMAFrF z 211dZZzmg）（）（21zzmg(1) 重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。径无关。 (2) 质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。 1M2MmG结论结论(3) 质点沿任意闭合路

15、径运动一周沿路径重力所作的总功质点沿任意闭合路径运动一周沿路径重力所作的总功 必为零。必为零。0d rF二、弹性力的功二、弹性力的功 21dxxxkxA(1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。径无关。 (2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。弹性力作负功。22212121kxkx 1x2xFikxF弹簧弹性力弹簧弹性力由由x1 到到x2 路程上弹性力的功为路程上弹性力的功为 结论结论xO(3) 质点沿任意闭合路径运动一周时，弹性力的功也必为零

16、。质点沿任意闭合路径运动一周时，弹性力的功也必为零。0d rF(4) 适用于质点沿适用于质点沿任意曲线任意曲线移动时弹性力作功的计算。移动时弹性力作功的计算。三、万有引力的功三、万有引力的功 上的元功为上的元功为 3dddmMAFrGrrr 万有引力万有引力 在全部路程中的功为在全部路程中的功为 21 )( 2drLrrrmMGA)11(12rrGmMMab1rmF在位移元在位移元Frd023mMmMFGrGrrr F2dmMGrr r drrdr2r四、摩擦力的功四、摩擦力的功在这个过程中所作的功为在这个过程中所作的功为 1M2MvF(2) 质点移近质点时，万有引力作正功；质点远离质点质点移

17、近质点时，万有引力作正功；质点远离质点 时，时，万有引力作负功。万有引力作负功。 摩擦力摩擦力F(1) 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。行经的路径无关。 结论结论(3) 质点沿任意闭合路径运动一周时，万有引力的功也必为零。质点沿任意闭合路径运动一周时，万有引力的功也必为零。0d rF 21dMLMrFAmgsA Fmg 21MMLmgds 21dMMLmg s 结论结论摩擦力的功，不仅与始、末摩擦力的功，不仅与始、末位置有关位置有关，而且与质点所行经的，而且与质点所行经的路径有关路径有关。沿任意闭合路径一周。沿任意

18、闭合路径一周,摩擦力所作的总功摩擦力所作的总功不为零。不为零。五、保守力和非保守力五、保守力和非保守力如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为位置，这样的力称为保守力保守力。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。 即即 例如例如:重力、万有引力、弹性力都是保守力。重力、万有引力、弹性力都是保守力。 作功与路径有关的力称为作功与路径有关的力称为非保守力非保守力。 例如例如: 摩擦力摩擦力d0Lfr力场力场当质点所受到的力仅为它的位矢的函数时，即当质点所受到的力仅为它的位矢的函数时，即我们将我们将表示的质点受力的空间分布称为表示的质点受力的空间分布称为力场力场 rFF rF例例1：分析下述力场的保守性分析下述力场的保守性1(0)Fayj y解：解：保守力保守力()bxjdxidyjdzk1ABCDF drABCCDAbxj dyjbxdybxdybxdyBACDxyo构建质点运动轨迹，构建质点运动轨迹，2(0)Fbxj x11yyayj