矩阵的初等变换与线性方程PPT课件

1、第1页/共23页习习题题课课（1）交换行次序；（2）以不等于的数乘某个行；（3）一个行加上另一个行的k倍 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)说明:1.由单位矩阵由单位矩阵 E 经一次经一次初等变换初等变换，得到的矩阵称为，得到的矩阵称为初等初等矩阵矩阵。2.初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型相同且变换类型相同3.3.4.行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵( (行最简形矩阵行最简形矩阵) )A初等变换B. BA标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF 5.5.第2页/共23页习习题题课课矩阵秩的概

2、念矩阵秩的求法(1)(1)利用定义利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);(2)(2)初等变换法初等变换法(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).( )( )A BR AR B 不等于零的子式的最高阶数第3页/共23页习习题题课课有解的判定条件有无穷多解. .非齐次线性方程组bAx 齐次线性方程组0 Ax nAR ;0只只有有零零解解 Ax nAR .0有有非非零零解解 Ax;有有唯唯一一解解bAx ( )( )R AR Bn ( )( )R AR Bn Axb 解法系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是

3、否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb 线性方程组第4页/共23页习习题题课课 AE 1EA 初等行变换AE 初等列变换1EA 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数)注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形第

4、5页/共23页习习题题课课一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法第6页/共23页习习题题课课一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩

5、阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用二种方法则较为简单实用第7页/共23页习习题题课课例例求下列矩阵的秩.34147191166311110426010021 A解解对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因此因此注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形第8页/共23页习习题题课课二、

6、求解线性方程组二、求解线性方程组当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则第9页/共23页习习题题课课例例求非齐次线性方程组的通解)1(.2255,1222,132,123,1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使其成为行最简单形B 2025511222111321112311321B1323433540255202231114530200000r rrrr r124252202005520223

7、1111010000000r rr rr r12341221010011020231110000000000rrrr r 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr第10页/共23页习习题题课课解解对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使其成为行最简单形B 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00

8、000000001113202011001012213214rrrrr 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(,43214取任意常数取任意常数的通解是的通解是可得方程组可得方程组令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知，而方程组(1)中未知量的个数是，故有一个自由未知量.3)()( BRAR4 n第11页/共23页习习题题课课 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxx

9、axxxxxxxxxx例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解a解法一解法一系数矩阵的行列式为AaaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa., 0,21方程组有非零解方程组有非零解时时或者或者当当 Aaa:,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321为任意常数为任意常数kkxxxxx 从而得到方程组的通解 00000300101011112323121121211111,2化为化为之变换可

10、把之变换可把由计算由计算时时当当AAa 0000010010100001.,1010 4321为为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx 第12页/共23页习习题题课课 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解a aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形A., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者

11、者当当 ARaa 2000010010101111aa第13页/共23页习习题题课课三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法.,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1AEEAEA 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵第14页/共23页习习题题课课例例求下述矩阵的逆矩阵 111211120A解解.),(施行初等行变换施行初等行变换作分块矩阵作分块矩阵EA 1001110102110011

12、20 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r 11010021212101025232100121) 1(rr.1102121212523211 A注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换第15页/共23页习习题题课课四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法BAX )1()(BA)(1

13、BAE 初初等等行行变变换换BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列变变换换BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行变变换换ABX1 BAXTTT)(1 或者第16页/共23页习习题题课课例例.,2,410011103 XXAAXA求矩阵求矩阵且且设设 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行变换初等行变换.322234225 X第17页/共23页习习题题课课一、填空题一、填空题1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，若元线性方程组有

14、解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是nrk的通解为的通解为则则设设0,111111111 . 3 AXA4 4线性方程组线性方程组 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要条件是有解的充要条件是第18页/共23页习习题题课课000111015.22011100A矩阵的秩是二、计算题二、计算题.,. 1确定矩阵的秩确定矩阵的秩值的范围值的范围讨论讨论 068650

15、35322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解下列线性方程组求解下列线性方程组 342231771110441132161015122111 第19页/共23页习习题题课课 4423321321321bxxxxaxxxaxx有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解线线性性方方程程组组取取何何值值时时,. 3ba 554931232362323325432154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵,011012111. 1 1111111111111111. 2第20页/共23页习习题题课课123453 1.,; 2.; 3.;5 4.0; 5.2.rn rnkaaaaa一、零解; 2,3; 3,3)1( . 1 秩为秩为时时当当秩为秩为时时当当二、二、 . 2,0; 4,0)2( 秩为秩为时时当当秩为秩为时时当当 ;1004541010474300