相关系数公式

1、1v各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全负相关，所以负相关，所以不同股票的投资组合可以降低风险，不同股票的投资组合可以降低风险，但又不能完全消除风险但又不能完全消除风险。股票的种类越多，风险。股票的种类越多，风险越小。越小。 问题二：问题二：v在投资组合中，增加股票的种类，会降低风险，在投资组合中，增加股票的种类，会降低风险，但是同时会增加成本并降低收益，你怎么认为？但是同时会增加成本并降低收益，你怎么认为？问题三：问题三：v目前我国的基金大多使用投资组合，但是基金却目前我国的基金大多使用投资组合，但是基金却往往跑输大盘，你怎么看这件事情？往往跑

2、输大盘，你怎么看这件事情？课堂问题课堂问题2两种证券组合报酬率概率分布的标准差是：两种证券组合报酬率概率分布的标准差是： QjQj是第是第j j 种证券在投资总额中的比例；种证券在投资总额中的比例； QiQi是第是第i i种证券在投资总额中的比例；种证券在投资总额中的比例； 是第是第j j 种证券与第种证券与第i i种证券报酬率的协方差。种证券报酬率的协方差。2j2jijji2i2ipQQ2QQ)(Var组合ij（3）证券相关系数的计算）证券相关系数的计算3协方差与相关性：先计算协方差，再求相关系数协方差与相关性：先计算协方差，再求相关系数v协方差公式：协方差公式： v相关系数公式相关系数公式

3、：)rr)(rr (ECovjjiij , iji,jij , iji,4课堂例题课堂例题经济状况经济状况发生概率发生概率rirj萧条萧条0.10-15%10%衰退衰退0.2010%20%正常正常0.5020%-2%繁荣繁荣0.2040%10%合计合计1.00期望收益期望收益 0.185 标准差标准差 0.1484 期望收益期望收益0.06标准差标准差 0.0872例例3 3：I,JI,J公司各种情况下的收益预测及其概率公司各种情况下的收益预测及其概率ij5两公司收益率离差计算表两公司收益率离差计算表经济状况发生概率I公司收益率离差J公司收益率离差收益率离差的乘积概率后的离差乘积萧条0.10-

4、0.3350.04-0.0134-0.00134衰退0.20-0.0850.14-0.0119-0.00238正常0.500.015-0.08-0.0012-0.0006繁荣0.200.2150.040.00860.00172合计1协方差-0.0026ji,6两个公司的协方差与相关系数计算两个公司的协方差与相关系数计算v协方差协方差 =-0.0026=-0.0026v相关系数相关系数 =-0.2010=-0.2010)rr)(rr (ECovjjiij , iji,0872. 01484. 00026. 0jij , iji,7（4 4）协方差与相关系数的关系）协方差与相关系数的关系v相关系数

5、在相关系数在-1-1至至+1+1间取值间取值。v当相关系数为当相关系数为1 1时，表示一种证券报酬率的增长总时，表示一种证券报酬率的增长总是与另一种证券报酬率的增长成比例，反之亦然。是与另一种证券报酬率的增长成比例，反之亦然。v多数证券之间的相关系数多为小于多数证券之间的相关系数多为小于1 1的正值。的正值。 jiji,j , i8（5 5）多个证券组合的协方差矩阵）多个证券组合的协方差矩阵v 当当m m为为3 3时，即多种证券组合时，其可能的配对组合的协方时，即多种证券组合时，其可能的配对组合的协方差矩阵如下所示差矩阵如下所示 左上角的组合（左上角的组合（1 1，1 1）是）是 与与 之积，

6、即标准差的平方，之积，即标准差的平方，称为方差，此时，称为方差，此时，j=kj=k。从左上角到右下角，共有三种。从左上角到右下角，共有三种j=kj=k的组合，在这三种情况下，影响投资组合标准差的是三种的组合，在这三种情况下，影响投资组合标准差的是三种证券的方差。证券的方差。当当j=kj=k时时，相关系数是，相关系数是1 1，并且，并且 变变为为 。对于矩阵对角线位置上的投资组合，其协方差就。对于矩阵对角线位置上的投资组合，其协方差就是各证券自身的方差。是各证券自身的方差。3 , 32, 31 , 33 , 22, 21 , 23 , 12, 11 , 111kj2j9协方差比方差更重要协方差比

7、方差更重要 影响证券组合的标准差不仅取决于单个证券影响证券组合的标准差不仅取决于单个证券的标准差，而且还取决于的标准差，而且还取决于证券之间的协方差证券之间的协方差。随着证券组合中证券个数的增加，协方差项随着证券组合中证券个数的增加，协方差项比方差项更重要。比方差项更重要。随着组合中证券个数的增加，证券的斜方差随着组合中证券个数的增加，证券的斜方差数量增长的很快，对数量增长的很快，对投资组合风险的影响会投资组合风险的影响会更大。更大。10v 例例4 4：假设：假设A A证券的预期报酬率为证券的预期报酬率为10%10%，标准差是，标准差是12%12%。B B证证券的预期报酬率为券的预期报酬率为1

8、8%18%，标准差是，标准差是20%20%。现等比例投资于。现等比例投资于两种证券，即各占两种证券，即各占50%50%。 该组合的预期报酬率为：该组合的预期报酬率为： 10%10%0.500.5018%18%0.50=14%0.50=14% v 情况情况1 1：如果两种证券的相关系数等于：如果两种证券的相关系数等于1 1，没有任何抵消作，没有任何抵消作用，用，两者的协方差为两者的协方差为0.0240.024，则该组合的方差为：则该组合的方差为：（0.50.50.500.500.120.122 2 + 2+ 20.50.50.50.50.0240.024 + 0.5 + 0.50.50.50.2

9、0.22 2 ） =0.0256=0.0256v 该组合的标准差为该组合的标准差为0.160.16。v 等于两证券的加权平均数等于两证券的加权平均数0.32/2=160.32/2=16 课堂例题课堂例题11情况情况2 2：如果两种证券的预期相关系数是：如果两种证券的预期相关系数是0.20.2，两者的协方差为两者的协方差为0.00480.0048，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：（0.50.50.500.500.120.122 2 + 2+ 20.50.50.50.50.00480.0048 + 0.5 + 0.50.50.50.20.

10、22 2 ） =0.016=0.016v 组合的标准差为组合的标准差为0.1260.126。小于两证券加权平均的标准差。小于两证券加权平均的标准差0.160.16。v 本例启示：只要两种证券之间的相关系数小于本例启示：只要两种证券之间的相关系数小于1 1，证券组合，证券组合报酬率的标准差就小于各种证券报酬率标准差的加权平均报酬率的标准差就小于各种证券报酬率标准差的加权平均数。数。2j2jijji2i2ipQQ2QQ)(Var组合J资产定价模型认为一个公司普通股期望的收益率资产定价模型认为一个公司普通股期望的收益率E(r)E(r)与其市场风险与其市场风险之间的关系为：之间的关系为：J资本资产定价

11、模型的假设资本资产定价模型的假设条件条件所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期望收益和标准差为基础进行组合选择。望收益和标准差为基础进行组合选择。所有投资者均可以无风险利率无限制的借入或贷出资金。所有投资者均可以无风险利率无限制的借入或贷出资金。所有投资者拥有同样预期，即对所有资产收益的均值、方差和协方差所有投资者拥有同样预期，即对所有资产收益的均值、方差和协方差等，投资者均有完全相同的主观估计。等，投资者均有完全相同的主观估计。所有的资产均可被完全细分，拥有充分的流动性且没有交易成本。所有的资产均可被完全细分，

12、拥有充分的流动性且没有交易成本。没有税金。没有税金。所有投资者均为价格接受者。即任何一个投资者的买卖行为都不会对所有投资者均为价格接受者。即任何一个投资者的买卖行为都不会对股标价格产生影响。股标价格产生影响。)()(fmfrrErrE3 CAPM3 CAPM法中的贝塔系数求解法中的贝塔系数求解1213课堂问题课堂问题v问题四：问题四：v贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并进行投资呢？进行投资呢？14 ，到底是多少？到底是多少？目前公开渠道查找目前公开渠道查找包括：包括：vyahoo!ya

13、hoo!vCNN MoneyCNN MoneyvWall Street Research Wall Street Research Net(Net() )。 通过对比贝塔值发现：通过对比贝塔值发现：v亚马逊公司，在线报告的亚马逊公司，在线报告的值是值是3.323.32，价值线，价值线估估计值计值1.951.95。v雅虎，在线报告为雅虎，在线报告为3.783.78，价值线为，价值线为2.052.05。v可口可乐，可口可乐， 在线报告在线报告0.0330.033，价值线为，价值线为0.3 0.3 。15J度量一项资产风险的指标是贝他系数，用希腊度量一项资产风险的指标是贝他系数，用希腊字母字母 表示

14、表示。股票股票系数的大小取决于：系数的大小取决于：v该股票与整个股票市场的相关性；该股票与整个股票市场的相关性；v它自身的标准差；它自身的标准差；v整个市场的标准差。整个市场的标准差。 v系数的计算有两种方法：系数的计算有两种方法：v线性回归法和公式法线性回归法和公式法16（1 1）系数计算的线性回归法系数计算的线性回归法根据数理统计的线性回归原理，根据数理统计的线性回归原理，系数均可以通系数均可以通过同一时期内的资产收益率和市场组合收益率的过同一时期内的资产收益率和市场组合收益率的历史数据，使用线性回归方程预测出来。历史数据，使用线性回归方程预测出来。求解线性回归公式：求解线性回归公式：y=

15、y=a+bxa+bx的的b b系数就是该线性回归方程的回归系数系数就是该线性回归方程的回归系数b b 。17v例例5 5：J J股票历史已获得收益率以及市场历史已获股票历史已获得收益率以及市场历史已获得收益率的有关资料如表所示。得收益率的有关资料如表所示。v 计算计算 值的数据值的数据 年度年度J股票收益率（YJ股票收益率（Yi i） 市场收益率（X市场收益率（Xi i）1 11.81.81.51.52 2-0.5-0.51 13 32 20 04 4-2-2-2-25 55 54 46 65 53 3课堂例题课堂例题18求解回归方程求解回归方程y=y=a+bxa+bx 系数的计算公式如下：系

16、数的计算公式如下： a a= = b= b=niniiiniNIniniiiiiIXXnYXXYX121211112)(niniIininiiniiiiXXnYXYXn1212111)(19v 线性回归法计算线性回归法计算 值的数据准备值的数据准备 年度年度J股票收益率（YJ股票收益率（Yi i）市场收益率（X市场收益率（Xi i）X Xi i2 2X Xi iY Yi i1 11.81.81.51.52.252.252.72.72 2-0.5-0.51 11 1-0.5-0.53 32 20 00 00 04 4-2-2-2-24 44 45 55 54 4161620206 65 53 3

17、9 91515总计总计11.311.37.57.532.2532.2541.241.220将有关准备数据代入公式：将有关准备数据代入公式：直线方程斜率直线方程斜率b b，就是该股票的，就是该股票的 系数。系数。 2232.25*11.3-7.5*41.20.406*32.257.56* 41.27.5*11.31.186*32.257.5ab21（2 2） 系数计算的公式法系数计算的公式法公式法计算公式法计算值的数据准备值的数据准备 ()iXX()iYY() *()XiXYiY2()Xi X2()Yi Ymim, i22相关系数的计算：相关系数的计算：相关系数相关系数 =J股票与股票与m市场收益率的相关系数市场收益率