棒球最佳击球点(最终)

1、棒球最佳击球点研究摘要本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，并在此基础上分析了在球棒中添 加软木填充物、不同球棒材质相对于普通木质球棒的击打效果。针对问题(1),首先对球棒外形进行儿何简化抽象描述，得到球棒的儿何描 述方程。然后以球-棒碰撞系统为研究对象，利用动量守恒定理、角动量守恒定 理以及恢复系数建立了刚体动力学模型，进而提出最佳击球点的计算方法，得出 普通木质球棒的“最佳击球点”在距离球棒柄段66厘米处。针对问题(2),本文从添加填充物引起的球棒质量、质心、转动惯量变化出 发，分析了添加软木填充物对击球效果的影响，得到“填充软木塞降低棒球的速 度”的结论。问题(3)中，根据不同材质导致转

2、动惯量和恢复系数不同，研究了不同材 质对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并会导致体育“装 备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。鉴于球棒击球时存在机械振动这一客观事实，本文最后提出了利用接触力学 和波动力学理论分别对碰撞模型的改进模型。通过建立接触力学的Henz模型和 振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面 定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出 高速球的结论。关键词：最佳击球点 动力学模型 Henz模型 横向振动梁模型一、问题重述棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个

3、 典型的例子。请查找资料，建立数学模型，解决以下问题：(1) 每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把 打击球的力量最大程度地转移到球上。基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最 末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。构建模型，解释最佳击球点棒 球棒的最末端的原因。(2) 有一些棒球手相信在最佳击球点填充软木塞可以提高打击效果(在球棒 头部挖一个圆柱状槽，填充软木塞或者橡皮)。进一步扩展模型确定或否定该结 论。解释为什么棒球联盟否定这种做法。(3) 球棒的撞击效果可能与材质有关系，构建模型以预测木质和金属球棒的 不同打击效果。解释这是否是联盟禁止金属球棒的原因。二、问题

4、分析“击球”是一个典型的碰撞问题。题目要求构建模型解释“最佳击球点”为 何不在球棒最末端，在最佳击球点填充软木塞是否可以提高打击效果，不同材质 的球棒是否会产生不同的打击效果。首先需要明确的是“最佳击球点”的含义。 题目中称“可以把打击球的力量最大程度地转移到球上”的击球点为“最佳击球 点”。力量的转移不容易量化，但球的离开速度可以作为其外在表现加以测量。 这样，寻找“最佳击球点”就是寻找能使球的击出速度最大的击球点。在最佳击 球点添充软木塞会产生如下变化：改变球棒质心、改变球棒重量、改变转动惯量 进而影响击球效果。不同材质球棒的区别主要有：密度不同、质量不同导致的转 动惯量不同；材料不同导致

5、的恢复系数不同、弹性系数不同进而影响击球效果。将球、棒视为刚体，可以建立“球-棒”系统为研究对象建立经典动力学模 型进行分析。己有研究表明，在撞击瞬间手对棒施加的力对球棒的影响不大， 可以近似为球棒是“自由端”。利用“动量守恒定理”、“角动量守恒定理”以及 “恢复系数”等研究撞击位置与球离开速度的关系，从而找到“最佳击球点”并 分析填充软木塞、改变材料对击球效果的影响。经典动力学模型用恢复系数來表示碰撞瞬间动能的突变，这样得到的结果是 粗糙的。考虑球、棒碰撞时发生的形变，使用接触力学的理论，改进动力学模型, 可以得到更精确的结果。球棒在击球过程中可看做一个一端固定一端自由的振动梁，因此可利用振

6、动 力学的知识列出球棒在击球过程中满足的微分方程，进而求解该微分方程，得出 球棒的振动方程。通过不同材质的相关参数的不同得到木质球棒与铝制球棒之间 的振动差异，进而定性的解释木棒与铝棒在击球过程中体现出的不同特点。三、模型假设与约定1、球在飞行过程中不自旋。2、球棒击球时，球的速度方向与球棒轴线正交。3、球棒形状、尺寸、重量相同。v符号说明符号含乂e恢复系数CJM重心位置 转动惯屋 球棒重量五、理论力学模型的建立与求解5.1球棒外形的抽象描述模型文献表明，木质棒球球棒的一般规格为：表1棒球球拍的物理参数参数数值棒长L0.855m棒重M0.885kg木质密度Q649kg/m3木质杨氏模量E1.8

7、14x10】°“/屛最大半径Z7cm最小半径片2.5cm重心位置C距较小端面0.564m球棒为一种旋转体，沿轴线的截面如下:球棒重量：M = p-V = p-+ -7tr2H-inirh + 7rrL-x)(1)3-3"r2 "依据质心的定义，质心两侧球棒所受重力对重心力矩平衡：M宀初(2)=匸 q g 龙才(C 一 x)dx+J： Q g 廿(C 一 x)dx= f '： p g 7rr (x - C)dx+f Q g 托亡(x 一 C)dx式中厂为积分变量x的函数，有：空二1 = 口x2 _召 x-x1由(1) (2)式，带入数据得:不=0.3459乙

8、=0.6423这样，棒球各部分的半径长:0.025r(x)=匕 + (x-xj = 0.025 + 0.152(x-0.3459)0.070球棒外形简化模型的确定，为不同材质、材质不均匀(如填充软木塞)的球 棒转动惯量的求解提供了方便。5. 2最佳击球点的刚体动力学模型分析击球手的击球动作可知，击球瞬间存在两个转动系统：手臂和球棒以身 体重心轴为轴的转动、球棒以手腕为轴的转动。以身体重心所在轴B为坐标原点，球棒轴线为x轴，轴线垂直方向为y轴建 立平面直角坐标系。设球棒质心坐标C,身体重心坐标B,手持点坐标击球点坐标P,球 棒近身端坐标入°。间距离为/?, WC间距离为CP间距离为S。

9、示意图 如下：图2击球过程抽象图碰撞瞬间，球、棒间的作用力远大于球、棒的重力、手的支持力，因此，以 球-棒系统为研究对象，y轴方向上有动量守恒：+ m2ul =+ itiLu2(3)其中耳为球的质量，、为球棒质量，岭为球的初速度，冬为球的离开速度,©为击球前棒的质心速度，心为击球后棒的质心速度。设球棒击球前后的角速度分别为©、贝叽"i = ©(R + H), u2 = cd2(R + H)(4)恢复系数£为碰撞接触点碰撞前相对接近速度除以碰撞后相对远离速度， 即：e =丄一z=(5)-v1 + 他 + ©S以身体重心轴为轴建立球-棒系

10、统的角动量守恒方程，以球棒质心为轴，球- 棒系统无外力矩，因此角动量守恒，即：片片(S +R+/)+丿© =7#2(S+ /? + /) +丿马(6)由（3）、（4）、（5）、（6）可得击打后的球速表达式为:=I，_ 丿(1+ £)儿-©(S + H + /?) _ 1-J + mS + R + H)2其中转动惯量:X对S求导得:d一丿(1 + £)(丿 + “ (S + H + /?)') - 2“x/ (1 + e)(v -叫(S + H + R)dS(J + mS + H + R)2)2令芸=。得最佳击球点位置。统计文献表明，棒球击球瞬间的

11、运动学参数如下:表2击球瞬间的运动学参数运动学参数数值277m/s©17.288rad/s计算得最佳击球点位置为距棒手柄端点70cm处。改变击球点位置，得到棒球撞击后的离开速度曲线如下图:图3击球点位置与球离开速度的关系5. 3球棒填充物的影响分析棒球手在最佳击球点添充的软木塞一般为直径1英寸(2.54cm) , 10英寸 (25.4cm)深的圆柱体。软木塞密度260320kg/m3,密度幅度较大，主要由各地区树皮的密度决定，一般不超过340 kg/m3,小于木质球棒的密度649kg/mJ。 因此，在球棒中填充软木会带來以下变化：(1) 球棒质量变小，惯性减小，可增加球棒的可控性(b

12、atcoimol) o(2) 球棒质心向手握点靠近，可使击球时球棒的角动量减小，进而影响击球效 果。(3) 转动惯量变小，进而影响最佳击球点及最大球速。下面从以上三个方面量化分析填充物对击球效果的影响。质量减小量：AM =(p-px)Vs质心改变距离：C = C-C'在建立的坐标系中，原质心横坐标C = 56.4。设填充后质心横坐标为C',根 据质心定义，在质心左右两侧重力矩平衡，有：£ pgx)(C'-x)dx = d pg7Vx)(x-C')dx+pgtvx) - r;) + psg7rr;lx 由此式可计算填充后质心坐标为C，。球员击球时，以身体

13、重心轴为转轴挥棒的转动惯量：八J %成也+二回(成-尸)+门对皿转动惯量减小量：AJ = J-J'利用问题(1)所建模型易知，球棒填充软木塞后的最佳击球点及球的最大 离开速度的计算只需修正公式中的转动惯量。即：_、，/(l+e)W-卯2-177求导易得球的最大离开速度及对应的最佳击球点。最大离开速度改变量：Av = v2 - v2代入软木塞密度下限A/ = 260 kg/m3，软木塞密度上限d=320kg/m可以 得到塞入软木塞的影响效果区间：10150.10.20.30.40.50.60.70.80.9球棒上击球位置x2 0-2 2 2 2 m m m m m m35302520表3

14、球棒填充物影响结果项目度AMACAJAvpsu = 320 kg/m340gO.Olc/n0.02kg - nrlAm/spsl = 260 kg/m346gO.Olc/n0.03kg 存1.6m/ s图4不同转动惯量下球的离开速度随击球点的变化表4不同转动惯量下球的最大离开速度J0.1630.1730.1830.1930.2030.213最大击球速度点0.5960.6170.6380.6600.6820.702最大速度31.51732.08532.64533.19833.74434.283结果分析：通过以上结果可知，在球棒中添加填充物对击球效果并不能产生 积极影响，主要原因是由于球棒变轻，球

15、棒转动惯量减小，使碰撞能量传输效率 变低。但是，这种做法的优势主要体现在对球棒更好的控制能力，加速快，可以 延长反应时间。5.4不同材料的球棒对击球效果的影响金属球棒与木质球棒的主要区别有：密度不同、质量不同导致的转动惯量不同；材料不同导致的恢复系数不同、 弹性系数不同。利用经典理论力学模型，假设两种球棒的外形与前面的抽象模型 相同，从转动惯量、恢复系数的角度研究两种材质的球棒的性能，易得球的最大 离开速度为：丿(1+£)«-%2_ 1_ 77扁F查阅相关资料得到铝棒的恢复系数，积分求得铝棒的转动惯量，将木棒和金 属棒的代表值代入上式，可得击球点与球速的关系图如下：木棒与铝

16、棒的棒球球速比较302520151000.10.20.30.40.50.60.70.80.9击球点位置5图5木质球棒与铝质球棒的球速比较粗略的建模结果显示，用铝棒击球较木棒很容易打出乂高乂远的高飞球。体 育竞技的宗旨在于提高棒球运动员本身的身体素质和技巧，而不是搞体育装备竞 赛，所以正规比赛是不允许使用金属棒的。六、模型扩展6.1接触力学模型经典力学的碰撞模型中，通过使用恢复系数來体现动能的突变。进一步地研 究球与棒的碰撞问题就必须考察碰撞时的接触过程。Hertz的接触理论可以很好 的解释碰撞中的接触过程，并解答其中的能量转换关系，是球棒振动的初值问题。球与球棒的碰撞是一个中速撞击（V <

17、;500/77/5 ）问题，对此可有如下假设叫（1）碰撞的两物体表面都是连续的，并且是非协调接触（2）小应变条件，即接触面半径远小于物体尺寸UyR）（3）碰撞的两物体都可被看做是一个弹性半空间（4）接触面无摩擦（5）撞击速度与弹性波速相比很小接触力学中己经证明，在中速撞击问题中，由于撞击速度与弹性波速相比很 小，用准静态方法求解弹性撞击问题是正确的，即使塑性形变发生，解法依然在 相当精度内是正确的。因此可以把动态的碰撞过程分解为一系列静态弹性接触过 程，独立地运用Hertz接触理论求解。根据Hertz接触理论，球与圆柱体接触，接触面为椭圆，而球与平面的接触 面为圆，为简化计算，将球棒假设为四棱

18、体，文献表明，这种改变引起的误差较 小。两个相互接触的无摩擦弹性旋转体之间所形成的接触圆上的压强分布一定 满足如下形式：则：接触圆内法向位移:U3-r2 + r2 cos2 0)d0(2a2 -r2r<a几：接触圆圆心压强，是接触圆上的压强最大值 a :接触圆半径/；：接触圆某点到接触圆圆心的距离分析球棒的碰撞过程：设球的质量为加，半径为心，初速度为,球棒质量为M,长L。球棒受手 的握力作用，并假设球棒与手的接触面为窄带状，设q为击球后球的加速度，冬 为杆的碰撞端切向加速度，4为杆的质心加速度，0为杆的角加速度。设球对杆 的碰撞力碰撞力大小为斤，压缩形变量为手对杆的接触力为&，压

19、缩形变量 为11#图6旋转体的接触面整个碰撞过程中，有运动学关系：aia2= <'(t)v ci2 =ac+ PSq =%_H0 = _5；(t)根据牛顿定律、质心运动定理及对质心的角动量定理，有:-Fl = maY< F + F)= MacFR + H + S)-F2R = J p=>乩話（-丄-丄-心HTS竺一丄1（t>1 m MJ- J M&旷讨ZH+S）丄）七（型+丄）Jt） 1 JM - J M人与4，匚与的函数关系可由Hertz接触力学中的公式决定:4 (t)=2(t)=R。+ ln(r2-r2)+0. 814(8)2(1-心7tEe7tEe

20、2(1-必“:材料泊松比,此为0.25球与杆的碰撞力：结合式(P)可得球与杆接触处的最大弹性形变:式代入式中,并代入参数，可得：3无产-kj%F+k4_1 _1K、= 3.46x1 Oh “乜；心=769x10"3s-2；/C3 =2.18xl0105-2;lmax =6.20xl0-5/«在碰撞结束后，系统角动量守恒：bnV0=-bnV my-dy(i)y-6:=_/讥_評爲+ *M肱0=_乩_ $+送八其中V表示球的末速。IV故碰撞前后的能量损耗为：结论：碰撞前后的系统能量损耗与杆的质量、压缩形变的一阶导数的平方成 正比。在球棒中添加填充物时，会使压缩形变的一阶导数增大

21、，因此不能产生预 期的好的击球效果。使用铝棒，会引起球棒质量减少，导致系统能量损耗降低， 从而具有较好的击球效果。6. 2振动力学模型在球与棒的撞击过程中，二者的相对速度大小约为60nVs,为中速碰撞问 题，利用经典力学理论计算碰撞中的能量损失偏差较大。为了研究碰撞过程中能 量传递情况要利用弹性力学中的Timoshenk梁理论來建立模型，求出碰撞过程中 能量损失。在人手握棒时，棒的另一端为自由端，则棒在受到求球冲击后可简化为一 个一端固定一端自由横截面积一定的梁，如下图所示图7简化梁模型示意图建立上图所示坐标系，设y(x,t)为梁上距离原点X处的截面在时刻/的横向 位移,p(x,t)表示单位长

22、度的梁上分布的外力，加(x,f)表示单位长度上分布的外 力矩。记梁的密度为梁的横截面积为A ,梁的杨氏模量为截面对梁中 性轴的惯性矩为丿。选取梁中的微段dx进行受力分析，设0、M分别是截面上的剪力和弯矩。 根据牛顿定理可以得出微段况T的惯性力F1为：d'yF = pAdx-dr根据力平衡方程有：d2ydQpAdx - + (0 + dx) -QA- pdx = 0dt2dx化简得：dQd2y=p-pA(10)dxdTd2 ydO又由力矩平衡pAdx + Q + -dx)-QA-pdx = 0方程(略去咼阶小量) drdx得：dMM + Qdx- mdx - (M Hdx) = 0-dx

23、化简得：dMQ =+ M(11)由(10)、(11)两式可得：& Mdmd'y=+ 丁=卩一(12)OXoxot乂根据材料R力学的平截面假设有：d1 yM = EJ (13)dx2将(13)式代入(式得:&d2yd2ydr (EJ ) + pA= “(x,/)-加(圮 t)difdx'dTdx上式即为在球棒所在平面内建立二维坐标得出欧拉-伯努利梁的震动微分方 程。假设球棒为等假面梁，根据振动力学的知识有：EJ = c(14)C为棒的弹性模量，为一常数。此时上述方程可写为：d yd'ydc- + pA= p(x,t)-一fn(x.t)(15)dxdTdx球

24、棒的固有频率与主振型当欧拉-伯努利梁方程为其次微分方程时，可计算得到方程的通解，进而得 到梁振动的主振型和固有频率令(15)式中/心昇)=0可得梁的横向h由振动的振动微分方程:+ pA = 0梁的主振动方程可假设为:y(x, t) = Y (x)b sin(曲 + (p) (7)将上式代入振动微分方程的:(cYn)11- aypAY = 0 由于C为常数，所以上式可化简为：其中:利用分离变量法可得上式求解，得方程的通解为：X(x) = De，Px + D 严 + DePx + De'PxAOB即：Y(x) = ct cos(0.Y)+ c、sin(0x) + cch(fix) + cs

25、h(/3x)将(7)式代入上式得梁的主振型为：y(x) = (C cos(0x) + C sin(0x) + Cch/3x) + C4sh(/3x)b sm(X + (p)(16)当球棒的一端固定一端自由时，边界条件可表示为:y(o)= o(17)厂(0) = 0(18)yi)= o(19)Ym(l) = 0(20)将(17)、(18)边界条件代入式(16)得：G + c4 = o于是有：c产£将(19)、(20)边界条件代入式(16)得G cos(0/) + ch(pi) + C, (sin(0Z) += 0(C sin(/7/)-必(0/) - C (cos(0/) + c/?(

26、/?/) = 0可得cos(0/) + chpl) sin(0/) + sh(/3l)=0 sin(0/) - sh(pl) 一 cos(0/) + ch(/3l)即有：cos(/7/)c/?(/7/) = -1上式的前三个根为：0丿=1.875pzl = 4.6940J = 7.855当冷3时, 1 pl«(/ )7t I = 4,5每个不同的1可以确定一个K(x),它们是Y(x)的分量即为各阶振型，各阶振型固有频率为:/ = 1,2,3色=(0厅r =(刍 =sm(ZV)-必)'C 1 cos)+ C(0丿)各阶主振型可表示为：y (x) = Cj cos(x) - ch(x) + r (sin(0/) -sh(x) i = 1,2 式中几为惯性极矩，当物体形状为圆柱体时Ip=OAD D为圆柱体直径。当物体为空心圆筒时，人,=0.KD；-D”,其中2为圆筒外半径，0为圆筒内 半径；J手为介质中机械纵波波速V，A为棒横截面面积，I为棒长，p为介质 密度。下图给出了梁的振动的前三阶主振型的图像：图8梁的振动主振型结论：利