相对论性量子力学简介狄拉克方程

1、相对论性量子力学简介：狄拉克方程n非相对论量子力学适用于v/cZ/1371情形(对重元素有明显问题)。n即使对轻元素，也有可观测的修正如精细结构(v/c)4等需要人为引入。n为自然地阐述一些重要概念如电子的自旋、磁矩（g=2）、自旋-轨道耦合等和精确描述重原子体系，需要采用相对论性的量子力学方程。n相对论在薛定谔方程建立时已获得公认。即使没有上述问题，发展符合相对论时空协变的量子理论，也是理论物理的重要任务。n非相对论关系：H=p2/2m, p p(算符），算符）， H , n有薛定谔方程：n相对论能量关系：n n上式对时空处理不对称n解决方法？2422244( , )(1.)( , ),28

2、p tppimcp ttm cm c222p 一、自由粒子的相对论性方程it22pitm 2224 1/2()Hc pm c2224 1/2()ic pm ct n解决方法1：n Klein-Gordon方程：n非自由粒子：n问题：n（1）几率密度不正定n（2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理）n（3）时间二阶方程，初始条件需要及其时间一阶导数n（4）是标量，只可能描述无自旋粒子如介子、中介子，不能描述电子（所得氢原子能级也与实验符合不好）n（5）一般难于纳入 形式22224Hc pm c22224222()c pm ct Klein-Gordon方程iHt 22224(iV)()c

3、 pm ct Dirac方程n解决方法2：设H算符可写为p的一次形式n、与空间坐标无关22242222()()xxyyzzc pm ccpmccpcpcpmc 2222242222222224222333()()()()()()()()xyzxxyyzzxyxyyxyzyzzyzxzxxzxxxyyyzzzcpppm ccpppm cc p pc p pc p pmc pmc pmc p 2mcpcH0, , ,2pmcpcH0,)( 0,),( 122iiijijiijjiijizyxi、 的基本性质n、为厄米矩阵、本征值为1( )、迹为0（ ），故为偶数阶矩阵，最低可能阶数为4（构造不出与

4、泡利矩阵反对易的）nDirac表象：n由此有自由粒子的狄拉克方程：n（1）方程关于时空对称，符合相对论要求n（2） 含4分量，称为Lorentz旋量。确是描述电子（2分量）的方程？！n（3）连续性方程：221i()2()0iijjijTrTr 00,00II2(cpmc )it 0; , .jjct 二、狄拉克粒子与电磁场的作用nn1. 电子的自旋与磁矩n取?=0和展开精确至 ,对能量本征态 n则：n低速时，2224 1/2(p eA/c)m c eHc2(c ) ; , 2Ecm和 各为 分量旋量2(v/c)2c(p eA/c)mce it(t)exp(/ ),iEt 有2220 ()0Em

5、cccEmccEmc 222, /1:2svEmcEmcc 大分量， ：小分量。二、狄拉克粒子与电磁场的作用（续）n对均匀磁场， ，得 n可见，狄拉克方程自然地给出了电子为具有自旋1/2（两独立分量）的粒子，且其g因子为2。nDirac方程确是描述电子的合适方程n精确至p平方薛定谔方程、自旋角动量、g因子22()()()222(p eA/c)22siEcmmmeBHmmc / 2ABr2222()()222; , 222LSLSpeL BeS BpHO BBBO BmmcmcmeLgeSgmcmc ()ABA BiA BieBc 三、氢原子的精细结构n对 ，波函数大小分量满足的关系为：n若取

6、，得到薛定谔方程 n取 ，得 n第三项是相对论对动能的修正，第四项则是自旋-轨道相互作用。22222222224322222(EV)(EV), pp24244p( , ) , 2844ssssppppEV pEVVmm cmm cm cpipp Vpp VVHmm cm cm c 2/Veer 2221221(); () () ()()EVmccpEVmccpEVmccpEVmccp EVmccp 得212121()(2)(2)sEVmcEVmcmc21212(2)(2) (1)2ssEVEVmcmcmc三、氢原子的精细结构（续）n与讨论精细结构的旋轨作用 相差一托马斯因子“2”n可见狄拉克方

7、程正确地描述了旋轨作用n精确至p的4次方正确的自旋-轨道耦合作用22 2 3Beffv Ee L Scm c r 2. .222222223223( i)( , )44()42S OL Seipipp VrHm cm cepre S LHm c rm c r 四、氢原子的厄米哈密顿量n 因最后一项不厄米，即 不守恒，不是所需的薛定谔波函数(至p2是, 至p4阶不是).n因：n所需薛定谔波函数为n相应的哈密顿量为：n后一项与H的第五项结合形成达尔文项：nHD给出S态的精细结构能移,与以前用微扰法求得的结果互补.24322222p( , ) , 2844pipp Vpp VHVmm cm cm c

8、2dr222222222(1) 4(1) (1) .88pdrdrdrm cppdrconstm cm c 222(1)8Spm c222222222(1)H(1)H , 888SpppHVm cm cm c)(28, ,81,2812222222222222rcmecmVVppcmVpVppcmHD五、氢原子能级的狄拉克方程严格解n n展开成的级数，可得静止能量、薛定谔能级能量、精细结构能量等等。n能谱对给定nj兼并（任意阶）nEnj与实验高度符合，但要解释Lamb移动(2S1/2能级比2P1/2高)，则需要将电磁场量子化方可。221/222 1/21 () 11()()22njEmcnjj六、负能解n为简单计，考虑自由粒子，并记 n对 n有n正能解不稳定，如何解释？n狄拉克：真空=负能电子填满态。推论：正电子、电子-正电子对湮灭。n预言得到实验验证！1c( )expi(p r)pEt 0 ,)(mEppmEmpE2/122222)( , 1 ,mpEmEpmEpmEp作业n1. 习题8.10、8.11n2. 对均匀磁场 ，可取 。求该磁场中狄拉克粒子