[第6讲 全等三角形的判定]讲义（学生版）

1、全等三角形的判定sss（边边边）全等三角形的基本判定方法easa （角边角）aas （角角边）sas（边角边）hl （斜边、直角边）知识清单全等三角形性质和判定综合应用全等三角形证明的方法选择技巧多次全等证明的处理技巧动点问题的处理技巧全等三角形的判定sss法证明三角形全等sss （边边边）0/全等性质和判定的综合应用sss题型展示osas法证明三角形全等sas（边角边）0/全等性质和判定的综合应用sasasa法证明三角形全等asa （角边角）oz 全等性质和判定的综合应用-asaaas法证明三角形全等aas （角角边）全等性质和判定的综合应用_aashl法证明三角形全等hl （斜边、直角边）

2、0/（全等性质和判定的综合应用hl选择合适的方法证明三角形全等-分析型 选择合适的方法证明三角形全等©/ :选择合适的方法证明三角形全等-证明型全等三角形判定的多次应用全等三角形性质和判定的综合应用0/:利用三角形全等处理动点问题例 1.如图所示，it a abc 和 zkfed 中，ad=fc, ab二fe, bc=ed,求证: abcafed.练习 1.如图，ad=cb, ab=cd,求证： acb£cad.a练习2.如图，已知ac=bd,。是ab、cd的中点，求证 aoc丝abod.当题目中已知的边相等的条件很多时，常会首先考虑用sss法来证明全等,当三对边都相等时，

3、可以直接列出全等的标准结构，如果缺少条件，则在列标准结构之前,需要首先证明出所需的对应边相等.例2.如图,点e、c在线段bf上，be=cf, ab=de, ac=df.求证：zabc=zdef.练习 1.如图，点 b、e、c、f 在一条直线上，ab=de, ac=df, be=cf.求证：za=zd.de/可利用sas （边角边）证明全等1、sas判定方法的语言描述两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“sas” ）i例 1.如图，点 e, f 在 ab 上，ad二bc, za=zb, ae=bf.求证： adfwbce.练习 1.如图，点 e、f 在 ac 上，ab

4、cd, ab=cd, ae=cf,求证： abfmcde.练习 2.如图，af=dc, bcef, bc=ef,试说明 abcm/xdef.b在证明三角形全等的题目中，当己知条件是两边及其夹角分别对应相等时，会考虑用sas法来证明三角形全等，此时一定要注意：必须保证己知的角是两组对应边的夹角在确定己知条件时要注意：两直线平行，等价于角相等（由两直线平行的性质决定的）i例 2.如图，己矢口 abde, ab二de, be=cf,求证：ac/df.练习1.己知：如图，点b、f、c、e在同一直线上，bf=ce, ab1be, de1be,垂足分 别为 b、e 且 ab=de,连接 ac、df.求证：

5、za=zd.藤婚）在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于 证明对应角相等.利用asa （角边角）证明全等1、asa判定方法的语言描述两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“asa” ）例 1 .巳矢1abde, bcef, d, c 在 af 上，且 ad=cf,求证： abc竺zdef.练习1.如图，四边形abcd中，e点在ad上，其中zbae= zbce= zacd=90°,且bc=ce, 求证： abc丝dec.练习2.如图， ade与cbf的边ae、cf在同一条直线上，debf, adbc, af二ce, 求

6、证：ade4zcbf商m）在证明三角形全等的题目中，当已知条件是两角及其夹边分别对应相等时，会考虑用asa 法来证明三角形全等，此时一定要注意：必须保证已知的边是两组对应角的夹边在确定已 知条件时要注意：两直线平行，等价于角相等（由两直线平行的性质决定的）例2.如图，za=zb, ae=be,点d在ac边上，z1 = z2, ae和bd相交于点o,若匕1=42。，求zbde的度数.练习1 .如图，在 abc中,ab=ac,作adjlab交bc的延长线于点d,作aebd,ce_lac, 且ae, ce相交于点e,求证：ad=ce壬争歹利用aas （角角边）证明全等1、aas判定方法的语言描述两角

7、和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“aas”）例1已知：如图ac, bd相交于点o, za=zd, ab二cd,求证： aob竺zxdoc.如图，z1 = z2, zc=zd,求证：oacmzsobd.练习1.已知:练习2.如图，已知abj_ac, ab=ac, de过点a,且cdlde, be1de,垂足分别为点d, e.求证： adcabea.酣邕）在证明三角形全等的题目中，当已知条件是两角及其中一个角的对边分别对应相等时，会考 虑用aas法来证明三角形全等，此时一定要注意：必须保证已知的边是其中某一个角（两 角二选一）的对边.rvii例2.如图，已知点b、

8、e、c、f在同一条直线上，ab=de, za=zd, acdf.求证：be=cfec练习1.如图，在aabc中，ad是bc边上的中线，e是ad的中点，过点a作bc的平行线交be的延长线于点f,连接cf.求证：af二cd.直m ）在证明边、角相等时，要首选利用三角形全等来证明，同时要注意：证明两直线平行等价于 证明对应角相等.利用hl （斜边、直角边）证明全等1、hl判定方法的语言描述斜边和一条直角边应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“hl”）.2、hl判定方法的证明结构若利用hl来证明rta abc和r/aa'5'c'全等，假设zc = zct =

9、 90则标准表述如下:在 rta abc 和母aa'3'c'中，ab = a'b< bc = b'c'rv|i例 l如图，已知 ac1bc, bd±ad, ac与bd 交于 o, ac=bd.求证： abcabad.dc练习1.如图，己知za=zd=90°, e、f在线段bc ±, de与af交于点o,且ab=cd,be=cf.求证：rta abfrta dce.在证明两个直角三角形全等的题目中，首先会考虑用hl （斜边、直角边）法来证明三角形 全等，此时一定要注意：在证明之前必须首先判定两个三角形是直角三角形

10、，然后才能用 hl这一方法.i例 2.如图，点 c、e、b、f 在一条直线上，abj_cf 于 b, dej_cf 于 e, ac=df,ab=de.求证:ce=bf.a练习1.如图，在左abc中，ac=bc,直线1经过顶点c,过a, b两点分别作1的垂线ae,bf, e, f 为垂足.ae=cf,求证：zacb=90°.b在直角三角形中证明边、角相等时，首先要考虑利用直角三角形全等来证明.项选择合适的方法证明全等1、已知“两组边对应相等” + “另一个待确定条件”证明三角形全等的分析可选方法：sss、sas分析思路：（1）若选择sss法证明三角形全等，则第三个要找的条件是“第三组对

11、应边相等”，则接 下来要找的是“与线相关的已知条件”；（2）若选择sas法证明三角形全等，则第三个要找的条件是“己知的这两条边的夹角对应 相等”，则接下来要找的是“与角相关的已知条件”.2、已知“一组角及该角的邻边对应相等” + “另一个待确定条件”证明三角形全等的分析 可选方法：sas、asa、aas分析思路：（1）若选择sas法证明三角形全等，则第三个要找的条件是“己知角的另一个邻边对应相 等”，则接下来要找的是“与边相关的条件”；（2）若选择asa法证明三角形全等，则第三个要找的条件是“已知边的另一个邻角对应相 等”，则接下来要找的是“与角相关的已知条件”.（3）若选择aas法证明三角形

12、全等，则第三个要找的条件是“已知边的对角对应相等”， 则接下来要找的是“与角相关的已知条件”.3、己知“一组角及该角的对边对应相等” + “另一个待确定条件”证明三角形全等的分析 可选方法：aas分析思路：此种已知的方式，可选择的方法只有aas这一种，第三个要找的条件只能是角一一 “除了 己知角外的任何一个角对应相等”都可以，接下来要找的是“与角相关的已知条件”.4、已知“两组角分别对应相等” + “另一个待确定条件”证明三角形全等的分析可选方法：asa、aas分析思路：当已知的条件是“两组角分别对应相等”时，第三个已知条件只能找边一一“三角形中的任意一组对应边相等”都可以，虽然己知条件都是“

13、两边一角”，但此时需要区分的是它们的 具体位置符合aas还是asa.a. ac=aeb. bc=dec. zb=zdd. zc=ze例l如图，己知ab二ad, zbad=zcae,则增加以下哪个条件仍不能判断练习如图,doa.od=oc,bc=adb. oa=ob, oc=odc.ob=oa,ad=bcd. bd=ac, bc=ad在左ado和左bco中，下列给出的条件能使 adoabco的是（练习2.如图，点d, e分别在ab, ac上，ad=ae, be与cd交于点o,下列条件不能判定、abe丝zxacd的是（0dba. zb=zc b- be=cdc. ab=acd. zceb=zbdc

14、例2.如图,匕 abcndcb,己知za=zd,有下列五个条件：ae=de,be=ce,ab=dc,ac=bd,能证明abc与adcb全等的条件有几个？并选择其中一个进行证明.练习 1.已知，如图，ab=cd, ab/cd, be=fd,求证： abfmcde.练习2.已知：如图，acdf,点b为线段ac上一点，连接bf交dc于点h,过点a作aebf 分别交 dc、df 于点 g、点 e, dg=ch,求证： dfh竺zxcag.全等三角形的性质和判定的综合应用1、全等三角形的性质和判定两个三角形全等可以得到相应的对应边相等、对应角相等，而对应边相等、对应角相等也可 以通过几种判定方法来证明三

15、角形全等,所以比较复杂的综合问题就需要对这两个过程不断地循 环使用，此类问题对综合分析能力要求较高.2、全等三角形的动点问题全等三角形主要的特点就是对应边、对应角相等，所以常会利用全等三角形的性质来处理动 点问题中的三角形全等，此时需要注意的是分类讨论思想的应用，具体哪条边是对应边是一个典 型的分类讨论的点.例1.如图,cd±ab于d点,be±ac于e点,be,cd交于0点，且ao平分zbac.求证：ob=oc.练习 1.如图，abcd, adbc,点 e、f 分另ij在 ac、cd±,且 ae=cf,求证：de=bf.练习 2.如图，已知 abcd, cf/be

16、, ob=oc,求证：ae=df.商m)两个三角形全等可以得到相应的对应边相等、对应角相等，而对应边相等、对应角相等也可以通过几种判定方法来证明三角形全等，所以比较复杂的综合问题就需耍对这两个过程不断地循环使 用，此类问题对综合分析能力要求较高.例2.如图，已知 abc中，ab=ac=10cm, bc=8cm,点d为ab的中点.如果点p在线段bc上以3cm/s的速度由b点向c点运动，同时，点q在线段ca ±由c点向a 点运动.(1)若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过is后，abpd与acqp是否全等， 请说明理由；(2)若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度

17、为多少时，能够使a bpd与acop全等?练习1.如图，已知四边形abcd中，ab=10厘米，bc=8厘米，cd=12厘米，zb=zc, 点e为ab的中点.如果点p在线段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时, 点q在线段cd上由c点向d点运动.(1) 若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后， bpe与acqp是否全等? 请说明理由.(2) 当点q的运动速度为多少时，能够使abpe与acqp全等.练习 2.如图，ab=4cm, ac±ab, bd±ab, ac=bd=3cm.点 p 在线段 ab ±以 icm/s 的速度由a向b运动.同时点q在线段bd±由点b向点d运动.它们运动的时间为ts.(1) 若点q的运动速度与点p的运动速度相等，当t=l时，aacp与是否全等？请 说明理由，并判断