数字信号处理第三章-2

1、数字信号处理Digital Signal Processing3.3 3.3 频率域采样频率域采样1. 频域采样不失真条件频域采样不失真条件设任意序列设任意序列x(n)的的Z变换为变换为X(z), 对对X(z)等间隔采样等间隔采样N点得到：点得到：10 )()()()(222NkenxznxzXkXnknNjeznnezkNjkNj该式也表示在区间该式也表示在区间00， 上对上对x(n)的傅里叶变换的的傅里叶变换的N点等间隔采样。点等间隔采样。210 ),(IDFT)(NnkXnxN下面推导序列下面推导序列xN(n)与原序列与原序列x(n)的关系。的关系。设设: :对应着时域的对应着时域的周期

2、延拓周期延拓的主值序列为的主值序列是则里叶级数为的周期延拓，其离散傅是设)()( )()()( )( )( NkXkXnxnxkXnxnxN)()()()()()(kRkXkXnRnxnxNNN )(DFS)()(nxkXkXN1010)(1 )(1 )(IDFS)()(NkknNNkknNNNWkXNWkXNkXnxnx10 ,)()()(2NkWnxzXkXnnkNezkNj将将X(k)代入代入 的表达式的表达式)(nxIDFT 1010)(1)(1)(NkmknNkmNNkknNWWmxNWkXNnx1)(10)( NknmkNmWNmx mrmrNnmx)()( rmmrNnmx)()

3、( rrNnx)(10 ,)()()(2NkWnxzXkXnnkNezkNjmrrNnmWNNknmkN其他为整数，01110)(rrNnxnx)()(IDFSNjNeW2rNNNnRrNnxnRnxnx)()()()()(说明：说明： X(z)在单位圆上的在单位圆上的N点等间隔采样点等间隔采样X (k) 的的IDFT为原为原序列序列x(n) 以以N为周期的周期延拓序列的主值序列。为周期的周期延拓序列的主值序列。频率采样定理：频率采样定理：如果序列如果序列x(n)的长度为的长度为M，则只有当则只有当频域采样点数频域采样点数N M 时，有时，有)()(IDFT)(nxkXnxN满足此条件可由频域

4、采样满足此条件可由频域采样X(k)恢复原序列恢复原序列x(n) ，否则产生，否则产生时时域混叠现象域混叠现象。用频域采样用频域采样X(k)表示表示X(z)的内插公式和内插函数：的内插公式和内插函数：）式中，可得）式代入（将（）（）（）（其中：，13(3) 1IDFT(2) 1.10,)()(1) )()(10102NkknNezNnnWkXNkXnxNkzXkXznxzXkNj设序列设序列x(n)长度为长度为M，在频域，在频域 之间等间隔采样之间等间隔采样N点，点，20MN nNnNkknNzWkXNzX 1010)(1)( 1010)(1NnnknNNkzWkXN110111( )kNNNN

5、kkNWzX kNWz 110111( )NNkkNzX kNWz x(n)）（）（则：）（令：zkXzXzWzNzzWzNkXzXkNnkNNkNkkNN101101)(111111)()(内插函数内插函数内插公式内插公式当当 时，上面两式就变成了时，上面两式就变成了x(n)傅里叶变换傅里叶变换 的内的内插函数和内插公式。插函数和内插公式。jez )(jeX)21(10)2/sin()2/sin(1)()2()()(NjNkjeNNkNkXeX3.4 3.4 DFT的应用举例的应用举例 DFT的快速算法的快速算法FFT的出现使得的出现使得DFT在语音信号处理、在语音信号处理、图象处理、数字滤

6、波、功率谱分析、系统分析等各个领域图象处理、数字滤波、功率谱分析、系统分析等各个领域都有广泛的应用。都有广泛的应用。 这些应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，这些应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据，或用或用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换的近似为基础。作为连续傅里叶变换的近似为基础。 这里主要介绍利用这里主要介绍利用DFT计算线性卷积和对信号进行谱计算线性卷积和对信号进行谱分析等基本应用。分析等基本应用。1 1、用、用DFT计算线性卷积计算线性卷积)(DFT)()(DFT)(2211nxkXnxkX10Lk10)(DFT)(21LkkXkXnykY），（）（)()()()(

7、)()(210121nRmnxmxnxnxnyLLLm如果：则由时域卷积定理得：则由时域卷积定理得：IDFT)(IDFT)(21）（）（kXkXkYnyx1（n）x2（n）X1（k）X2（k）*x1（n） x2（n）用用DFTDFT计算计算循环循环卷积卷积IDFTDFTDFT计算循环卷积很容易，如计算循环卷积很容易，如何计算线性卷积何计算线性卷积*循环卷积与线性卷积相等的条件循环卷积与线性卷积相等的条件 设设 h(n) 和和 x(n) 都是有限长序列，长度分别为都是有限长序列，长度分别为N和和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示为：。它们的线性卷积和循环卷积分别表示为：)()()(*)()(1

8、0mnxmhnxnhnyNml)()()()()()(10nRmnxmhnxnhnyLLLmc )()( max qLqLnxnxMNL，其中：其中：取取N的的范围内范围内)()()( )()()()(1010nRmqLnxmhnRqLmnxmhnyLqNmLqLmc )()()(),()()(10nRqLnynyqLnymqLnxmhLqlcNml 即：即：说明循环卷积是线性卷积以说明循环卷积是线性卷积以 L 为周期的周期延拓的为周期的周期延拓的主值序列。主值序列。 )()( qLqLnxnx 因为长度为因为长度为N和和M的两个序列的线性卷积是一个长度为的两个序列的线性卷积是一个长度为M+N

9、-1的序列，所以：的序列，所以：(1)(1)如果如果LM+N-1，则线性卷积，则线性卷积yl(n) 的周期延拓必有一部分的周期延拓必有一部分非零值序列相重叠，从而产生混叠失真，这时循环卷积不等非零值序列相重叠，从而产生混叠失真，这时循环卷积不等于于线性卷积线性卷积。(2)(2)如果如果LM+N-1，则则线性卷积线性卷积yl(n)的周期延拓不会产生混叠的周期延拓不会产生混叠失真，这时循环卷积等于线性卷积。失真，这时循环卷积等于线性卷积。* *如何确定延拓的周期如何确定延拓的周期L呢？呢？如果取如果取L=N+M-1，则可用，则可用DFT(FFT)来计算线性卷积。如下图示：来计算线性卷积。如下图示：

10、p90 L点点 DFTL点点IDFTh(n)y(n)补补L-N个零点个零点补补L-M个零点个零点 L点点 DFTx(n)用用DFT计算线性卷积框图：计算线性卷积框图： 实际中经常实际中经常N和和M值相差很大，这样就要求对短序列补充很多零，值相差很大，这样就要求对短序列补充很多零，不仅加大了计算量；而且时延也可能不满足处理要求。这时，可以采不仅加大了计算量；而且时延也可能不满足处理要求。这时，可以采取将长序列分段成短序列进行卷积，然后把各段计算结果组合起来得取将长序列分段成短序列进行卷积，然后把各段计算结果组合起来得到原卷积计算结果。这就是所谓分段卷积计算方法。该方法可以减少到原卷积计算结果。这

11、就是所谓分段卷积计算方法。该方法可以减少计算量、满足实时处理要求。计算量、满足实时处理要求。分段卷积可以有两种方法：分段卷积可以有两种方法：(1)(1)重叠相加法重叠相加法 (2)(2)重叠保留法重叠保留法N点点M点点图图 3.4.4 3.4.4 重叠相加法卷积示意图重叠相加法卷积示意图)(*)()()()(*)()(*)()(*)()(000nxnhnynynxnhnxnhnxnhnykkkkkkk2 2、用、用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。对连续信号进行时域采样对连续信号进行时域采样应用应用DFT进行近似谱分

12、析进行近似谱分析（1 1）用）用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析采样得采样得)()(nTxnxaDFT)(kX它是它是x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换 在频率区间在频率区间 上的上的N点等间隔采样点等间隔采样。 )(jeX2 , 0连续信号连续信号xa(t)频谱函数频谱函数)( jXaFT结论：结论：如果信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；如果信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；如果信号频谱有限宽，则其持续时间无限长。如果信号频谱有限宽，则其持续时间无限长。 所以严格来讲，持续所以严格来讲，持续时间有限时间有限的的带限带限信号是不存信号是不存在的。因此在利用在的。因此在利用DFT

13、进行谱分析时要进行一些预处进行谱分析时要进行一些预处理。理。预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t)用以滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率用以滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。 对于实际工程来讲滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小对于实际工程来讲滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。的部分时间信号是允许的。 对于持续时间很长的信号，在时域要进行截断处理，取有限个点。对于持续时间很长的信号，在时域要进行截断处理，取有限个点。 书第书第9696页页 式（式（3.4.113.4.11）下）下面面 连续信号的频谱可以通过对

14、连续信号进行采样并进行连续信号的频谱可以通过对连续信号进行采样并进行DFT再乘以再乘以T的近似方法得到。的近似方法得到。 对持续时间有限的信号，在满足时域采样定理时，上述对持续时间有限的信号，在满足时域采样定理时，上述方法不丢失信息。但是直接由分析结果看不到全部频谱特性，方法不丢失信息。但是直接由分析结果看不到全部频谱特性，只能看到只能看到N个采样点的谱特性，产生个采样点的谱特性，产生“栅栏效应栅栏效应”。 如果连续时间信号持续时间无限长，上述分析中就要进如果连续时间信号持续时间无限长，上述分析中就要进行截断处理，会产生频率混叠和泄漏现象，从而使谱分析产行截断处理，会产生频率混叠和泄漏现象，从

15、而使谱分析产生误差。生误差。 书第书第9797页页 在对连续时间信号进行谱分析，主要关心两个问题：在对连续时间信号进行谱分析，主要关心两个问题：谱分谱分析范围析范围（可以分析的信号的最高频率）和（可以分析的信号的最高频率）和频率分辨率频率分辨率（频域采（频域采样间隔）。样间隔）。 用用DFT进行连续信号谱分析时参数的选择要遵循一定的原进行连续信号谱分析时参数的选择要遵循一定的原则。则。图图 3.4.5 用用DFT计算连续信号频谱原理计算连续信号频谱原理TPFa）谱分析范围和频率分辨率）谱分析范围和频率分辨率谱分析范围：谱分析范围：受采样频率受采样频率 fs 的限制的限制2/scff频率分辨率：

16、频率分辨率：用频率采样间隔用频率采样间隔 F 描述，表示谱分析中能够分辨的描述，表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。两个频谱分量的最小间隔。F越小，谱分析就越接近原信号频谱，所以越小，谱分析就越接近原信号频谱，所以F较小时频率分辨率就较高。较小时频率分辨率就较高。时域信号的长度，记录长度时域信号的长度，记录长度psTNTNfF11记录时间记录时间 ：pTsfT1 时域采样间隔时域采样间隔：记录点数记录点数 （采样点数）（采样点数）： Ncsff2时域采样间隔时域采样间隔b）参数选择参数选择已知：信号最高频率已知：信号最高频率fcNfFs/如果如果N不变，要提高谱分辨率（减小不变，要提

17、高谱分辨率（减小F），必须），必须降低采样频率。这样会使谱分析范围变小。降低采样频率。这样会使谱分析范围变小。FTFTFfFfNPcs1 12pmin如果如果 fs不变，不变，T不变，要提高谱分辨率（减小不变，要提高谱分辨率（减小F），），可以增加采样点数可以增加采样点数N。即增加时域的记录时间。即增加时域的记录时间 。pT参数选择原则：参数选择原则：2/scff psTNTNfF11P98 3.4.2NTTp（2）用用DFT对序列进行谱分析对序列进行谱分析单位圆上的单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换：变换就是序列的傅里叶变换：jezjzXeX)()(点等间隔采样。的上对，是在区间NeXkX

18、nxj)(20: )()(因此可以用因此可以用X(k)来表示序列的傅里叶变换。来表示序列的傅里叶变换。（3）用用DFT进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题1 1、混叠现象：、混叠现象：2 2、栅栏效应：、栅栏效应： 采样速率采样速率fs必须满足采样定理，否则会在必须满足采样定理，否则会在 附近发生附近发生频谱混叠现象，对于模拟域频率，即在频谱混叠现象，对于模拟域频率，即在 附近发生频谱混附近发生频谱混叠现象。叠现象。 解决方法：先对信号进行低通滤波滤除高频成分。解决方法：先对信号进行低通滤波滤除高频成分。2/sff N点点DFT是在频率区间是在频率区间 上对信号的频谱进行上对信号的频谱进行

19、N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数值是不知道的。这就好点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数值是不知道的。这就好象从（象从（N+1）个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况）个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况 ，仅得到，仅得到N个缝个缝隙中看到的频谱函数值。这种现象称为隙中看到的频谱函数值。这种现象称为栅栏效应栅栏效应。解决方法：使频域抽样更密解决方法：使频域抽样更密 ，即增加频域的采样点数，即增加频域的采样点数 ，时域在，时域在 原数据末尾加原数据末尾加0 0。2 , 03 3、截断效应、截断效应部分为旁瓣。的部分称为主瓣，其余NdeReXeReXnyeYjNjjNjj/2)()(21)()(21)(FT)()( 由于实际中信号可能是无限长的，而由于实际中信号可能是无限长的，而DFT处理的是有