数学之旅-演讲

1、1896192019872006数学之旅 201409, 华南师范大学上海交通大学 王维克 1896192019872006开头的话问题的提出数学学习的两类困难-抽象！很多问题的解决本质上依赖于“抽象”！一个目标，一堆数据，一些要求？你怎么办？先看数学是什么？（数与形的科学？）数学是什么数学思维数学学习数学是什么数学思维数学学习数学是什么数学与造物主对话的语言：冥冥之中的宇宙深处伟大设计图的语言；宇宙的伟大设计师象是一位数学家。数学是什么（物理学告诉我们世界是什么样，数学告诉我们世界只能是什么样！）数学是什么宇宙的琴弦数学认识世界又一伟大尝试对宇宙的最深刻认识将揭示一个最大的宇宙奇迹，那就是，

2、它所依赖的基本原理是那么简单而有力。爱因斯坦渴望以前所未有的清晰来表现宇宙的活动，让每一个人都敬畏它那美貌动人的弦律。数学是什么现代物理学的两大支柱： 爱因斯坦的相对论； 量子力学。数学是什么 宇宙的琴弦 （基本思想） 物质由原子组物质由原子组成，原子由夸克成，原子由夸克和电子组成。根和电子组成。根据弦理论，这些据弦理论，这些粒子实际上是由粒子实际上是由闭合振动的弦构闭合振动的弦构成。成。数学是什么宇宙的琴弦（要点）一根闭合的弦的不同振动模式产生不同的质量和力荷，生成了不同的基本粒子；闭合的弦的尺度大约是原子核的一千亿亿分之一（小数点后18个零）；以弦代替粒子可以解决相对论和量子力学之间的矛盾

3、。数学是什么宇宙的琴弦（要点）宇宙是11维的（除通常的3维空间外，还有6个转缩的空间维、一个“丢失”的空间维和一个时间维）；多余维度的几何决定着我们在寻常三维展开空间里观察到的那些粒子的基本物理属性，如质量，电荷等；转缩的空间可以用卡丘（转缩的空间可以用卡丘（Calabi-Yau)Calabi-Yau)空空间描述。间描述。数学是什么数学是什么宇宙的琴弦E. Witten: “弦理论是21世纪物理学偶然落到20世纪的一个部分”。数学是什么数学用理性的手指去触摸天上的星辰：理性探索，思索本源，“算出”未知；用理性的思维达到超出人类感官所及的宇宙的根本，和任何工具都不可达到的领地。理解世界数学是什么

4、 天王星发现后，人们开始研究它的运行轨道。人们发现它的实际运行轨道与根据太阳引力计算出的轨道有偏离，于是推测在天王星外还有一颗行星，它产生的引力使天王星的轨道发生了偏离。英国天文学家亚当斯亚当斯和法国天文学家勒威耶勒威耶根据万有引力定律计算出了这颗尚未发现的行星的轨道。1846年9月18日，德国天文学家伽勒伽勒对准勒威耶计算出的位置，真的看到了一颗蓝色的星星它就是人们所称的“笔尖上发现的行星”海海王星王星。 数学是什么数学科学研究最重要的工具： 在每门具体的自然科学中，有多少数学存在，就有多少严格的科学（康德）;科学研究的基本语言(一般性-抽象)；改造世界数学是什么早期数学更多和哲学结盟； （

5、芝诺、阿基米德、笛卡儿）牛顿时代及以后，数学和物理学是最好的盟友在20世纪，对科学起了里程碑作用的伟大发现，都与数学有密不可分的联系（相对论、量子力学）在21世纪，数学已深入到化学、生命科学和社会科学 （DNA的双螺旋结构，经济学诺贝尔奖）数学是什么数学是与造物主对话的语言；数学是理解世界的重要工具；数学是研究和解决实际问题的必备利器；数学素质教育最重要的载体；数学深刻地影响着人类文化、精神生活和思维方式。数学是什么数学思维数学学习数学思维数学思维的特点：第一层次： 精确简洁干净，没有歧义；第二层次： 严密逻辑清晰，避免混乱；第三层次： 抽象去伪存真，揭示本质；数学思维 精确例：在赤道为地球做

6、一个箍，紧紧箍住地球。问如果将这一个箍加长1m，问一只小老鼠是否可以通过？ 凭感觉判断还是算一算？ （地球赤道半径 6378.140千米（公里） ，地球的赤道周长是40075.24公里约8万多里,毛泽东的诗曰“坐地日行八万里”就指此）数学思维mxxLRLxR16. 028. 6/12/1122, 1)(2数学思维 严密欧几里德几何是最好的例子。形成现代数学推理的典范。例如：三角形之和为180度。数学思维勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理（毕达哥拉斯定理） 在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直边的平方之和。费马大定理费马大定理 对方程 当 时没有整数解孪生素数猜想孪生素数猜想 存在无穷对孪生素

7、数 nnnxyz2n 数学思维孪生素数猜想孪生素数的问题已经有约孪生素数的问题已经有约2000年的历史。年的历史。在在1900年的国际数学家大会上，希尔伯年的国际数学家大会上，希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个个数学问题。数学问题。最近，新罕布什尔大学（最近，新罕布什尔大学（University of New Hampshire，UNH）任教的张益唐）任教的张益唐近日声称，其证明了存在无穷多对素数，近日声称，其证明了存在无穷多对素数，其差小于其差小于7000万。万。美国数学家多利安美国数学家多利安戈德菲尔（戈德菲尔（ Dorian Goldfeld）评

8、论说，从）评论说，从7000万到万到2的距离的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到穷到7000万的距离（指张益唐的工作）万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。来说是微不足道的。张益唐的工作张益唐的工作无疑是世无疑是世界数学界的一大进展，界数学界的一大进展，其结果影响力甚至可能其结果影响力甚至可能超过陈景润在哥德巴赫超过陈景润在哥德巴赫猜想方面所做的工作。猜想方面所做的工作。数学思维徐光启在翻译几何原本时写了一篇短文几何原本杂论徐光启认为此书有四不必徐光启认为此书有四不必: : 不必疑不必疑(因为其一切结论都是明确无疑的),不必揣不必揣(因为一切

9、概念结论均不存模糊之处,不必妄加揣测),不必试不必试(凡推理所得都是正确的,无需再经试验)不必改不必改(因为一切都已井然有序,不必改动)。数学思维有四不可得有四不可得: :欲脱之不可得欲脱之不可得, ,欲驳之不可得欲驳之不可得, ,欲减之不可得欲减之不可得, ,欲前后更置之不可得。欲前后更置之不可得。数学思维似至晦实至明, 故能以其明明他物之至晦; 似至繁实至简, 故能以其简简他物之至繁;似至难实至易, 故能以其易易他物之至难。易生于简,简生于明,综其妙在明而已。数学思维下学功夫, 有理有事。此书为益能令学理者祛其浮气, 练其精心(即有助于从事原理原则的研究者, 去其虚夸之气, 使之精密)学事

10、者资其定法, 发其巧思(即有助于学习实际事务者, 有一确定而且可靠的方法, 并从而获得创造性) , 故举世无一人不当学。数学思维徐光启是认为学几何学并不只是为了培养专门的数学家, 而是给一般的人一种方法论, 一种寻求真理以及解决各类问题的方法.它所针对的是:“揣摩造作, 而自诡为工巧”（是虚夸浮躁）“向所立言之可得而迁徙移易也”（就是今天这样说, 明天又那样说,而毫无定见) .因此, 这里涉及了整个民族的素质.数学思维林肯买了一本几何学的书，骑马出巡的时候总是带在身边，林肯要以此来训练自己的推理和表达能力。数学思维林肯传的作者荷恩敦在书中这样写到：我们在乡下住客栈的时候，他每天晚上都要在床头的

11、一张椅子上点支蜡烛，看几个小时的书。往往要到凌晨两点钟，我们几个人早就熟睡了，他还是保持着这种姿势苦苦读书。我们每一次出巡办案，他在路上都是这样手不释卷地研究几何学。后来，他能够很轻松地证明六大册欧氏几何学的所有定理。数学思维抽象：从许多事物中舍弃个别的非本质的属性，抽出共同的本质的属性，叫抽象，是形成概念的必要手段；不能具体到经验的，笼统的，空洞的。 摘自现代汉语词典数学思维数学抽象就是揭示本质；数学抽象（概念，模型）是理解世界的最好武器；数学抽象能力是数学学习的最重要的目的。数学思维数学思维抽象超越经验，思考无限点无穷大数学思维数学思维抽象 抵制诱惑，难得“糊涂”；数拓扑学关心的对象与关心

12、的属性（清楚自己要什么） 数学思维数学思维七桥问题七桥问题（一次抽象的绝好案例）（一次抽象的绝好案例）数学思维数学思维七桥问题18世纪初在普鲁士的哥尼斯堡城（哲学家康德出生于此）有七座桥跨在普列格尔河上，它们将河中两岛和两岸相互连接。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。 数学思维哥尼斯堡城数学思维而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。 1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，

13、但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？ 数学思维1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了哥尼斯堡的七座桥的论文，欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了问题，而且得到并证明了更为广泛的 “欧拉定理”。在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-图论与代数拓扑。数学思维数学思维把七桥问题化成判断连通图能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2. 一般的，有几对奇顶点,就需要几笔画完。七桥问题是无解的，需要二次走完。瑞士法郎上的欧拉头像数学思维六人集会问题美国数学月刊（The Ame

14、r. Math. Monthly, 1958 年6/7号，问题1321）在任意六个人的集会上，或者有三个人以前彼此认识，或者有三人以前彼此不认识。这一问题是组合学拉姆塞理论的一个特例。数学思维桑塔费的咖啡馆 在一个咖啡馆里，顾客超过90和低于40就不适宜去，如何建立一个数学模型根据前几天的顾客到的情况判断今天是否应该去。非完全理性的经济学； 信息不完全，判断非完全理性数学思维数学思维抽象 归纳提升，从个别到一般；线性空间（一个非空集合一个域，两种运算（一内一外）， 八条运算法则）线性性 ()( )( )L afbgaL fbL g数学思维数学思维距离与空间距离与空间（一次抽象的亲历体验）（一次

15、抽象的亲历体验）数学思维以“距离距离”为例： 两点之间的距离两个函数之间的距离两个人之间的距离数学思维数学思维航海时以大圆来测量距离数学思维数学思维数学思维数学思维两个向量之间的距离两条曲线之间的距离两个人之间距离（重心、鼻尖、心灵）数学思维数学思维到 的距离 情形1：情形2：情形3：),(1nxxx|),(113nnyxyxyxd22111)()(),(nnyxyxyxd| ,|,max|),(112nnyxyxyxd),(1nyyy数学思维数学思维 函数 到函数的距离 情形1：情形2：情形3：)(xf| )()(|max),(2xgxfyxdbxabadxxgxfyxd21)()(),()

16、(xgbakdxxgxfyxd)()(),(3数学思维数学思维两个人的默契程度？两个人的经历相似度？两个人的爱好、问题看法的一致性？数学思维数学思维你如何定义距离？就对平面上的两个“点”提示：不是具体指明它是什么，而是有什么“属性”的对象是它！数学思维数学思维苹果：落叶乔木，叶子椭圆形，花白色带有红晕，果实圆形，味甜或略酸。这种植物的果实。水果：可以吃的含水分较多的植物果实的统称，如苹果，梨子，桃。热带水果： 摘自现代汉语词典你如何定义距离？数学思维距离距离最重要的属性属性是什么？数学思维距离距离最重要的属性属性是什么？大于等于零（正性）对称性三角不等式 数学思维数学思维定义：设 是一非空集合

17、，任给一对这一集合的元素 ,都给定一个实数 与它们对应，并且满足：（1） （2）（3）则称 是这两点之间的距离。X),(yxd;0),(; 0),(yxyxdyxd);,(),(xydyxd).,(),(),(yzdzxdyxdyx,),(yxd数学思维范数可以定义“强化”了的距离;内积是较距离和范数有更多内涵；拓扑是“弱化”了的距离。拓扑 距离 范数 内积数学思维有了距离后，和我们现实空间比较，还有什么结构也是十分重要的呢？维数是我们关心的！维数的本质是什么？-线性结构 艾勃特平面国数学思维拓扑 距离 范数 内积拓扑空间，度量空间，赋范空间，内积空间（已有线性结构）拓扑线性空间，线性度量空间

18、，线性赋范空间，内积空间 巴拿赫空间，希尔伯特空间数学思维反过来问：什么是直线？两点间距离最短的连接线！球面上的直线是大圆球面上的三角形由大圆构成球面上的三角形的内角和大于180度 数学思维测度如何定义各种拓扑空间的定义数学思维数学思维抽象去伪存真，揭示真谛； 牛顿莱布尼兹公式数学思维数学思维不动点原理不动点原理（一次抽象到应用的旅程）（一次抽象到应用的旅程）数学之旅数学之旅从搅动的咖啡出发：从搅动的咖啡出发： 布劳威尔不动点原理；布劳威尔不动点原理；无穷维的不动点原理；无穷维的不动点原理；经济学的应用经济学的应用。搅动的咖啡；问题的提出问题的提出任意揉皱和折叠的图片；任意伸展和折叠的弦；一维

19、情形一维情形一维情形一维情形一维的布劳威尔(Brouwer)定理： 设a, b为R的有界闭区间，f(x)是从a, b射到a, b内的连续映射，则至少有一点为之不动点，即至少存在一点 ，使得 .,0bax 00)(xxf一维情形一维情形证：设F(x)=x-f(x).由于f(x)的连续性知f(x)的值域是一区间 .若a=c或者b=d, 那么x=a或者x=b即为不动点.若均不成立，则必有ac, db,那么：有介值定理知必有一点 使 ，即,),(badc0)()(caafaaF0)()(dbbfbbF0 x0)(0 xF.)(00 xxf布劳威尔(Brouwer)定理： 设X为一个既紧又凸的拓扑空间，

20、设F是一个映X到自身的连续映射，则至少有一点为之不动点，即至少存在一点 ，使得： 。 0 xX00( )F xx经济学应用经济学应用一般经济均衡价格的存在问题： 假定一个经济体中有若干种商品，若干个消费者，若干个生产者.消费者追求消费效用最大，生产者追求生产利润最大.引出的消费需求和生产供给都是商品价格的函数问题：是否在一定条件下存在一般均衡价格体系.经济学应用经济学应用美籍法裔经济学家G.Debreu因用数学解析办法解决这一问题获1983年诺贝尔经济学奖.Debreu是法国布巴基学派精神培养的数学家，1956年获巴黎大学经济学博士.Debreu解决这一问题的数学工具是相当深刻的，1974年他应邀在国际数学家大会作报告.数学是什么数学思维数学学习数学学习数学学习（问题提出）（问题提出）抽象的必要性（更本质，更一般，）；在提炼