中考数学第二轮复习专题讲解多种函数交叉综合问题

1、学习必备欢迎下载中考数学专题 5 多种函数交叉综合问题【例 1】将直线 y 4x 沿 y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点 A9 ，0，与双曲线 yk ( x 0) 交于点 B 4x求直线 AB 的解析式；若点 B 的纵标为 m ，求 k 的值（用含有m 的式子表示） 【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单, 看看就行 .【解析】 将直线 y4x 沿 y 轴向下平移后经过 x 轴上点 A（ 9 ,0 ），4设直线 AB的解析式为y4xb 则 49b

2、04解得 b9 直线 AB的解析式为 y4x9 y64B2A- 2O246x- 2- 4- 6- 8图 3（ 2）设点 B 的坐标为xB , m，直线 AB 经过点 B ， m4 xB9 xBm9 4 B 点的坐标为m9，4, m点B 在双曲线ykx0上，x mkm94 km29m4学习必备欢迎下载【例 2】如图，一次函数 y1 kxb 的图象与反比例函数y2m 的图象相交于A、 B 两点（ 1）求出这两个函数的解析式；x（ 2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，y1 y2yB3-6O14 x-2A【思路分析】 第一问直接看图写出A， B 点的坐标（ -6,-2 ） (

3、4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求 k,b 。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单， 但是事实上却有很多变化。比如不给图像， 直接给出解析式求y1 y2 的区间， 考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。【解析】解：（ 1）由图象知反比例函数y2m 的图象经过点 B(4 ， 3) ，x 3m m=12-4反比例函数解析式为y212 x由图象知一次函数y1kxb 的图象经过点A( 6， 2) ， B(4 ，3)，6k b，k1 ，22-b3.解得4kb1一次函数解析式为y111

4、x2（ 2）当 0<x<4 或 x< 6 时， y1y2 【例 3】已知：如图，正比例函数y ax 的图象与反比例函数yk 的图象交于点A3，2x（ 1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（ 2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（ 3） Mm， n 是反比例函数图象上的一动点，其中0m3 ，过点 M 作直线 MB x 轴，交 y 轴于点 B ；过点学习必备欢迎下载A 作直线 AC y 轴交 x 轴于点 C ，交直线 MB 于点 D 当四边形 OADM 的面积为 6 时，请判断线段BM 与 DM的大小关系，并说明理由【思路分

5、析】 第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意 , 另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系 . 视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分 , 直接求出矩形面积即可. 部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看, 从而没有想到思路 , 失分可惜 .【解析】解：（ 1）将 3, 2 分别代入 yax 中 yk ，k ，x得 23a ， 22 ， k3 a6 36 ；反比例函数的表达式为：yx正比例函数的表达式为y

6、2a 3（ 2）观察图象得，在第一象限内，当 0 x 3时，反比例函数的值大于正比例函数的值（ 3）BM DM 理由： n6 ，m 1 m n 3 ，即 S BMO 3 2 AC OC， S AOC1323 2 SOCDB33612 （很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积） BO124 3 BM63 BO2 DM3BM3BM2【例4 】已知： yax 与 yb 3 两个函数图象交点为P m，n ，且 mn ， m、n 是关于 x 的一元二次方程kx2x2 k 7 x k3 0 的两个不等实根，其中k 为非负整数（ 1）求 k 的值；（ 2）求 a、b 的值；（ 3）如果 y c c 0 与函数

7、y ax 和 yb3 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），线段 AB3 ，求 c 的值x2【思路分析】 本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出 k 的范围，加上非负整数这一条件得出k 的具体取值。代入方程即可求出m， n，继而求得解析式。注意题学习必备欢迎下载中已经给定 m<n,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B 表示出来，然后利用AB3 构建方2程即可。【解析】（ 1）22k 74k k 3 0k4940 k 为非负整数，k0，1 kx22k7 xk30 为一元二次方程 k1(2) 把 k1代入方程得

8、x2解得 x11，x245x 4 0 , m n m1，n4把 m 1，n4 代入 yax 与 yb 3x可得 a4，b1(3) 把 yc 代入4y 4 x 与 yx可得Ac ， ，4， ，由3，可得4 c 3cBcABc 4 24c2解得 c12 ，c28 ，经检验 c12，c28 为方程的根。 c1 2，c28【例 5】已知：如图，一次函数 y3x m 与反比例函数y3 的图象在第一象限的交点为A(1， n) 3x（ 1）求 m 与 n 的值；（ 2）设一次函数的图像与x 轴交于点 B ，连接 OA ，求BAO的度数y32A1B-2-1O12x-1-2【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函

9、数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B 具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而 BAO= ABO,然后求出 BAO即可。学习必备欢迎下载解：（ 1）点 A(1,n) 在双曲线 y3 上，x n3又 A(1,3) 在直线 y3xm 上，323. m3（ 2）过点A作轴于点 .AM xMy32A1B-2-1O M 12x-1-2 直线 y3x2 3 与 x 轴交于点 B ，333 x2 30 .33解得x2

10、. 点B的坐标为.（-2，0） OB 2.点 A 的坐标为 (1, 3) ， AM3,OM1.在 Rt AOM 中， AMO 90 , tan AOMAM3 .OM AOM 60 .-由勾股定理，得OA2. OA OB.OBABAO .1AOM 30 .- BAO2【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2， y 的比较， 3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，学习必备欢迎下载分类讨论的思想掌握熟练。例如 y 的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就

11、会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。第二部分发散思考【思考 1】如图， A、 B 两点在函数 ym0 的图象上 .x（ 1）求 m 的值及直线 AB的解析式；x（ 2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点. 请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。【思路分析】 由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用 1-6 的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。【思考 2】如图，一次函数 y kxb 的图象与反比例函数 ymA3,1 、 B(2， n) 于两点，直线 AB的图

12、象交x分别交 x 轴、 y 轴于 D、C 两点y（ 1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；ADO（ 2）求 AD 的值CxCDB【思路分析】 第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从 A 引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。【思考 3】已知：关于x 的一元二次方程kx 2+（ 2k3)x+k 3 = 0有两个不相等实数根（k<0）（ I ）用含 k 的式子表示方程的两实数根；（ II ）设方程的两实数根分别是x1， x2 （其中 x1x2 ），若一次函数y=(

13、3k 1)x+b 与反比例函数y = b 的图x像都经过点（ x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式【思路分析】 本题是一道多种函数交叉的典型例题， 一方面要解方程， 另一方面还要求函数解析式。 第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。8【思考 4】如图，反比例函数y的图象过矩形OABC的顶点 B，OA、0C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， OA：0C=2：x1（ 1）设矩形 OABC的对角线交于点 E，求出 E 点的坐标；（ 2）若直线 y 2x m 平分矩形 OABC面积，求 m 的值【思路分析】 本题看似麻烦，夹杂了一

14、次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很学习必备欢迎下载轻易发现 B 点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B 点，代入即可。第三部分思考题解析【思考 1 解析】（ 1）由图象可知，函数 ym0 ）的图象经过点A(16)， ，（ x可得 m6 x设直线 AB 的解析式为 ykxb y A(1，6) ， B(6，1) 两点在函数 y kxb 的图象上，6Ak b，k，61B解得7.16kb 1.bO 16x直线 AB 的解析式为 yx7 （ 2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是3【思考 2 解析】（ 1）把 x3 ， y

15、 1代入 ym，得： m3 x3反比例函数的解析式为yyx把 x2， yn 代入 y33A得 nD Ox32Ex把 x3 ， y1； x2 ， yC分别代入2B3kb1ykxb 得2kb3 ，（第 16 题答图）21k1 x1解得2 ，一次函数的解析式为 y122b2（2）过点 A作 AEx 轴于点 E A 点的纵坐标为 1， AE 1由一次函数的解析式为y1 x1得 C 点的坐标为0， 1，2221OC在 RtOCD 和 Rt EAD 中， COD AED Rt ， CDO ADE ， RtOCD Rt EAD 学习必备欢迎下载ADAE2 CDCO【思考 3 解析】解：（I ）kx 2+（2k 3)x+k 3 = 0是关于 x 的一元二次方程(2k3) 24(k3)9k由求根公式，得x(3