工程传热学-2

1、第二章第二章 稳态导热稳态导热2-1 基本概念2-2 一维稳态导热2-3 *多维稳态导热2-4 思考问题及习题 分析传热问题基本上是遵循经典力学的研究方法，即针对物理现象建立物理模型，而后从基本定律导出其数学描述（常以微分方程的形式表达，故称数学模型），接下来考虑求解的理论分析方法。 导热问题是传热学中最易于采用此方法处理的热传递方式。2-1 基本概念基本概念1. 温度场(temperature field) 定义：定义：某一瞬间，空间（或者物体内）所有各点温度分布的总称。讨论传热问题首先是要找到所讨论对象的温度场，由温度场进而可以得到某一点的温度梯度和导热量。温度场是一个数量场，可以用一个数

2、量函数表示。一般说，温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，可以表示为： t = f (x, y, z, ) t 温度；x, y, z 空间坐标； 时间坐标分类分类：a) 随时间划分：随时间划分：稳态温度场稳态温度场：空间空间(物体内物体内)各各点温度不随时间变化。点温度不随时间变化。 t = f (x, y, z)非稳态非稳态温度场温度场：空间空间(物体内物体内)各点各点温度随时温度随时间变化。间变化。 t = f (x, y, z, )b) 随空间划分：随空间划分：一一维温度场：维温度场： t = f (x, ) 二维温度场：维温度场：t = f (x, y, )三维温度场：三维温度

3、场： t = f (x, y, z, )2. 等温线与等温面等温线与等温面 定义：同一瞬间温度场中温度相同的点连成的 线或者面。等温面上任何一条线都是等温线，二维情况下等温面则变成等温线。用一系列不同的等温线或等温面就可以表示物体的温度场图。特点：特点：a)温度温度不同的等温面或等温线彼此不能相交；不同的等温面或等温线彼此不能相交；b) 在连续的温度场中，等温线或等温面不会中止，在连续的温度场中，等温线或等温面不会中止， 它们它们或者是物体中完全封闭的曲面或者曲线，或者是物体中完全封闭的曲面或者曲线， 或或者是终止在物体的表面上。者是终止在物体的表面上。c)物体中等温线较物体中等温线较密集的地

4、方说明温度的变化率密集的地方说明温度的变化率 较大，导热热流密度也较大。较大，导热热流密度也较大。3. 温度温度梯度梯度 (temperature gradient)温度的变化率沿不同的方向一般是不同的。温度沿某一方向x的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，即： 温度梯度是用以反映温度场在 空间的变化特征的物理量。 系统中某一点所在的等温面与 相邻等温面之间的温差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度，记为gradt。温度梯度是矢量，其方向是沿等温面的法线指向温度增加的方向。4. 傅里叶定律傅里叶定律 (Fouriers Law) 第一章中给出了稳态条件下的傅里叶定律，这

5、里可推广为更一般情况。热流密度和垂直传热截面方向的温度变化率成正比。密度也是矢量，其方向指向温度降低的方向，因此与温度梯度的方向相反。傅里叶定律的一般形式为 q 热流密度（W/m2） 热导率（导热系数）热流密度在x，y，z方向的投影的大小分别为：热流密度的方向与等温线的法线方向总是处在同一直线上，所以热流线和等温线是相互正交的。5. 导热系数导热系数 (thermal conductivity) 定义傅里叶定律中给出了导热系数它表示物质导热能力的大小，在数值上等于温度梯度的绝对值为1K/m时的热流密度值，单位为W/(mK)。 导热系数的测定根据一维稳态平壁导热模型，可以采用平板法测定物质的导热

6、系数。对于下图所示的大平板的一维稳态导热，流过平板的热流量与平板两侧的温度和平板厚度之间的关系为：它反映了物质微观粒子传递热量的特性。不同物质的导热能力不同： 保温材料：最新的国家标准规定将平均温度25时导热系数不大于0.08 W/(mK)的材料定为保温材料。常温下的空气也是很好的保温材料。气体液体固体非金属金属12418W (m C)金属C)W/(m3025. 0非金属同一种物质的导热系数也会因其状态参数的改变而发生变化，例如：温度，压力和湿度等。一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围还可以用一种线性关系来描述。0 材料在0下的导热系数；b 由实验确定的温度常数，其数值与物质的

7、种类有关， 单位为1/K。6. 导热微分方程导热微分方程 (heat diffusion equation) 一般形式（傅里叶定律）由上式可知，若知道了温度梯度就可以由傅里叶定律求出热流密度，所以确定导热体内的温度场是求解导热问题的关键。建立导热微分方程，可以揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。 理论基础：能量守恒方程理论基础：能量守恒方程 + 傅里叶定律傅里叶定律为简化分析，可做如下假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；(2) 热导率，比热容和密度均为已知；(3) 物体内具有内热源，内热源强度（即单位时间、单 位体积的生成热），记做，单位为W/m3。 根据能量守恒定律有：

8、 导入微元体的总热流量(din) + 微元体内热源的生成热(dQ) = 导出微元体的总热流量(dout) + 微元体热力学能(内能)的增量(dU) xyzd xd x+dxd yd y+dyd z+dzd zdUddQdoutin导入微元体的热量导出微元体的热量根据傅里叶定律zyxindddddzzdyydxxoutdddddydzxtdydzqdxxdxdzytdxdzqdyydxdyztdxdyqdzzxyzd xd x+dxd yd y+dyd z+dzd z所研究的范围内，热流密度函数q是连续的，故可以展开为泰勒级数的形式x 其中dx为无穷小量，所以可以近似地取级数的前两项 由以上可得

9、.!2ddx222xxqxqqqxxxdxxdxxqqqxxdxxdxdydzxtxddxdydzxqdydzqdydzqdxxxdxxdxx)(微元体热力学能的增量表示为 时间；，c 微元体的密度和比热容。 (qv)微元体内热源的生成热为 dxdydzytyddydyy)(dxdydzztzddzdzz)(dxdydzxtxddxd)(xxdxdydztcdUdxdydzdQtmcQ将以上各式带入到可以得到 导热导热微分方程的一般形式微分方程的一般形式)()()(ztzytyxtxtcdUddQdoutin单位时间内单位时间内微微元元体的内能体的内能增增量量（非稳态项）（非稳态项） 扩散项扩

10、散项（导热引起（导热引起）源项源项单位时间单位体单位时间单位体积内微元体内热积内微元体内热源的生成热源的生成热 导热微分方程的简化导热微分方程的简化(a)导热系数为常数时导热系数为常数时a 热扩散率(thermal diffusivity)，或者导温系数。a 反映了导热过程中材料的导热能力()与沿途物质储热能力(c)之间的关系。)()()(ztzytyxtxtccztytxtat)(222222ca a值越大，即值大或者c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能够在整个物体中很快扩散。 热扩散率表征物体被加热或者冷却时，物体内各部分温度趋于均匀一致的能力，所以热扩散率反映的是导热过程的动

11、态特性，是研究不稳态导热的重要物理量。 在相同加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。72521.5 10 m9.45 10 masas铝木材，(b) 无内热源，导热系数为常数无内热源，导热系数为常数时时常物性常物性、无内热源的三维非稳态导热微分方程无内热源的三维非稳态导热微分方程。(c)常物性常物性、稳态时稳态时(d)常物性常物性、稳态稳态、无内热源时无内热源时)()()(ztzytyxtxtc)(222222ztytxtat0222222ztytxt0222222ztytxt泊桑（泊桑（Poisson）方程）方程拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）方程）方程(e) 圆柱

12、坐标系和球坐标系圆柱坐标系和球坐标系 所研究的对象是圆柱状(圆柱和圆筒壁等)物体时，采用圆柱坐标系(r, , z)就比较方便了。cosrxsinryzz ztztrrtrrrtc211sincos ; sinsin ; cosxryrzrtrtrrtrrrtc22222sin1sinsin117. 定解条件定解条件 上面导出的导热微分方程描述了物体的温度随空间坐标和时间变化的一般性关系式，在推导过程中没有涉及导热过程的具体特点，所以它适用于无穷多个导热过程，有无穷多个解。 只有说明导热过程的具体特点，即给出导热微分方程的单值性条件或者说定解条件，才能使导热微分方程具有唯一解。如给出所讨论对象的

13、几何形状和尺寸，物性参数等条件。更重要的是，定解条件必须给出时间条件和边界条件。导热微分方程和定解条件一起构成了具体导热过程的数学描述。 7. 定解条件定解条件 定解条件：确定唯一解的附加补充说明条件，包括四项 几何条件几何条件、物理条件物理条件、初始条件初始条件、边界条件边界条件几何条件：说明导热体的几何形状和大小，如： 平壁或圆筒壁；厚度、直径等；物理条件：说明导热体的物理特征如：物性参数 、c 和 的数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布；完整数学完整数学描述描述 = 导热导热微分方程微分方程 + 定解定解条件条件初始条件：又称时间条件，反映导热系统的初 始状态 边界条件:反映导热

14、系统在界面上的特征，也可理解为系统与外界环境之间的关系。常见边界条件有三类：(a)第一类边界条件：给出物体边界上的温度分布及其随时间的变化规律，一般形式 tw = f (x, y, z, )对于稳态导热： tw = const)0 ,(zyxft (b) 第二类边界条件：给出物体边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律，一般形式 qw = f (x, y, z, )对于稳态导热： tw = const由傅里叶定律可有给出了边界面法线方向的温度变化率，即温度梯度，但是边界温度tw未知。若物体边界处表面绝热，则) z, y, (x, fwwntq0 0wwwntntq(c) 第三类边界条件：给出边

15、界上物体表面与周围流体间的表面传热系数h及流体的温度tf。该式建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处表面对流传热之间的关系，第三类边界条件也称为对流边界条件。与第一、二类边界条件之间的转换。h或0)()(fwwtthnt0 x1 x )tthxt（上述的三类边界条件均为线性的，所以也称为线性边界条件。如果除了对流换热，还有辐射换热：qr与物体边界面和周围环境温度的四次方有关，上式是温度的复杂函数，非线性的边界条件。导热过程数学描述 = 导热微分方程 + 定解条件。 数学模型求解 物体的温度场 热流分布 求解方法：分析解法、数值解法、实验方法rfwwqtthnt)()(2-2 一维稳态导热一

16、维稳态导热1. 通过平壁的导热平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧保持均匀边界条件的稳态导热可以归纳为一维稳态导热问题。 从从平板的平板的结构可以分为：结构可以分为：a.a.单层壁导热单层壁导热 b b. .多层壁导热多层壁导热 c. c. 复合壁导热复合壁导热通过单层平壁的导热通过单层平壁的导热无内热源，导热系数为常数，平壁的厚度为，两个表面温度分别维持均匀而恒定的温度t1和t2直接两次积分，可有： 带入边界条件o xt1tt22122 , , 0 0ttxttxdxtd211 cxctcdxdt)(dd1212112Attttqttxttxttt带入带入Fourier 定律定律线性

17、分布线性分布AR 导热（面积）热阻导热（面积）热阻 （教科书（教科书p2）通过多层通过多层平壁的平壁的导热导热假设各层之间接触良好，可以近似地认为结合面上各处的温度相等t2t3t4t1 q123 t1 RA1 t2 RA2 t3 RA3 t4ARqttqt211111ARqtt32222ARqtt43333ARt2t3t4t1 q334322321121ttttttq由和分比关系由和分比关系 33221141ttq总热阻为：总热阻为： 3322113AR2AR1ARAR推广到推广到n n层壁的情况层壁的情况: :问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？ niiinttq111第

18、一层：第一层： 第二层：第二层：第第 i 层：层： 11122111)(qttttq22233222)(qttttqiiiiiiiiqttttq11)(无内热源，无内热源，不为常数不为常数( (是温度的线性函数是温度的线性函数) ) (2-21) 0、b为为常数常数 (p13)()()(ztzytyxtxtc）（bt1021 , , 0 0wwttxttxdxdtdxd边界条件边界条件0)1 (0dxdtbtdxd10)1 (cdxdtbt2120)2(cxctbt代入积分再积分xttbtttbttbtwwwwww)(21)2(221212112边界条件边界条件xttbttttbttwwwww

19、w1212112121二次曲线方程二次曲线方程202221dxdtbdxdtbtbdxtd)( 0 :022下凹时当dxtdb)( 0 :022直线时当dxtdb)( 0 :022上凹时当dxtdb=0( (1+b bt)b0b0，=0(1+bt)，随着，随着t增大，增大，增大，即高温区的增大，即高温区的导热系数大于低温区。导热系数大于低温区。Q=-A(dt/dx)，所以高温区的温，所以高温区的温度梯度度梯度dt/dx较小，而形成较小，而形成上凸的温度分布。上凸的温度分布。=0( (1+b bt)b0b0t1 t20 x当当b0，=0(1+bt)，随着，随着t增大，增大，减小，高减小，高温区的

20、温度梯度温区的温度梯度dt/dx较大。较大。另一种判断方法另一种判断方法2021-11-1640 xttbttttbttwwwwww1212112121热流密度的计算公式热流密度的计算公式1212021wwwwttttbq或或12wwmttq212wwm 接触热阻接触热阻t1t2ttxt两壁面之间只有接触的地方才直接导热，在不接触处存在空隙。热量是通过充满空隙的空气的导热、对流和辐射进行传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻。通常，对于导热系数较小的多层壁导热问题接触热阻多不予考虑；但是对于金属材料之间的接触热阻就是不容忽视的问题。 由于接触热阻的存在，使导热过程中两个接触表面之间出现温差tc

21、。根据热阻的定义有 tc = Rc影响接触热阻的主要因素影响接触热阻的主要因素：接触表面的粗糙度硬度压力 降低接触热阻的方法降低接触热阻的方法：研磨接触表面 增加接触面正压力（如胀接）垫软金属（银箔、锡箔）涂硅油或导热姆 焊接例1：一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3的水泥珍珠岩制作，壁厚=100mm，已知内壁温度t1=500，外壁温度t2=50，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。Ck)W/(m000105. 00651. 0tk)W/(m0940. 0275000105. 00651. 0解：材料的平均温度为： t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 由p2

22、38附录4查得： 若是多层壁，t2、t3的温度未知：可先假定它们的温度，从而计算出平均温度并查出导热系数值，再计算热流密度及t2、t3的值。若计算值与假设值相差较大，需要用计算结果修正假设值，逐步逼近，这就是迭代法。 221W/m423)50500(1 . 00940. 0)(ttq例2：一双层玻璃窗，高2m，宽1m，玻璃厚3mm，玻璃的导热系数为0.5 W/(mK)，双层玻璃间的空气夹层厚度为5mm，夹层中的空气完全静止，空气的导热系数为 0.025W/(mK)。如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为15和5，试求玻璃窗的散热损失，并比较玻璃与空气夹层的导热热阻。解： 这是一个三层平壁的稳态导

23、热问题。根据式(2-41)散热损失为：3214133221141wwwwRRRttAAAtt如果采用单层玻璃窗，则散热损失为 双层玻璃窗散热损失的35倍，可见采用双层玻璃窗可以大大减少散热损失，节约能源。W3 .3333003. 010W3 .945 . 02003. 0025. 02005. 05 . 02003. 0515可见，单层玻璃的导热热阻为0.003 K/W，而空气夹层的导热热阻为0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。2 通过圆筒壁的导热通过圆筒壁的导热稳态导热稳态导热0t0)()(1)(12vqztztrrtrrr柱坐标系：柱坐标系：圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于圆筒壁就

24、是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均管长而言非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系匀的温度时，通过管壁的导热就是圆柱坐标系上的一维导热问题。上的一维导热问题。边界条件为：边界条件为： 0drdtrdrd1cdrdtr积分得：积分得： rcdrdt121lncrct)/ln(12121rrttc1121212ln)/ln(rrrtttc112121ln)/ln(rrrrtttt应用边界条件应用边界条件2211,ttrrttrr对数曲线分布对数曲线分布通过单层圆筒壁的导热通过单层圆筒壁的导热筒壁温度分布：筒壁温度分布： 2122

25、12212211)ln( ;1)ln(rrrttdrtdrrrttdrdtwwww向上凹若 0 : 2221drtdttww圆筒圆筒壁内温度分布曲线的形状？壁内温度分布曲线的形状？向下凹若 0 : 2221drtdttww ，r大，面积A大，dt/dr必然小；反之，A小处，dt/dr必然大。 rLdrdtQ221221mW)ln(ddrrttrrtqwwW 2)ln( 2211221Rttlrrttrlqwwww)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrttdrdtww1)ln(1221长度为长度为 l 的圆筒壁的导热热阻的圆筒壁的导热热阻虽然是稳态情况，但热流密度虽然是稳态

26、情况，但热流密度 q 与半与半径径 r 成反比！成反比！通过多层圆筒壁的导热通过多层圆筒壁的导热 带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、积灰的输送管道等结垢、积灰的输送管道等 由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆筒壁，如果管子的壁厚远小于管子的多层圆筒壁，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管壁内外边界条件均匀一致，那么长度，且管壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向构成一维稳态导热问题。在管子的径向方向构成一维稳态导热问题。 343432323212121212121rrnLttrrnLttrrnL

27、tt31141121iiiirrnLtt31141121iiiilrrnttLQq单位管长的热流量单位管长的热流量 3 通过球壁的通过球壁的导热导热空心单层球壁，内外半径为r1和r2，球壁材料的热导率为常数，无内热源，球壁内外侧壁面分别维持恒定温度t1和t2，温度只沿径向发生变化。 212212/1/1/1/1)(rrrrtttt热流量：热流量：2121/1/1)(4rrtt热阻：热阻：211141rrRr1 1r2 2t1 1t2 2热流密度：热流密度：22121)/1/1 ()(rrrttrtq温度分布：温度分布：例3 温度为120的空气从导热系数为1 =18W/(mK)的不锈钢管内流过，

28、表面传热系数为h1=65W/(m2K), 管内径为d1=25mm，厚度为4mm。管子外表面处于温度为15的环境中，外表面自然对流的表面传热系数为h2=6.5 W/(m2K)。(1)求每米长管道的热损失；(2)为了将热损失降低80%，在管道外壁覆盖导热系数为0.04 W/(mK)的保温材料，求保温层厚度；(3)若要将热损失降低90%，求保温层厚度。解：这是一个含有圆管导热的传热过程，光 管时的总热阻为： 221121112)/ln(1AhddAhRC/W 6823. 10165. 05 . 6118)25/33ln(0125. 065121(1)每米长管道的热损失为： W4 .626823. 1

29、15120Rt(2)设覆盖保温材料后的半径为r3，由所给条件 和热阻的概念有 保温光管光管保温RR2 . 02 . 012)/ln(2)/ln(112)/ln(132223112112211211AhlddlddAhAhlddAh2 . 05 . 6104. 0)0165. 0/ln(18)25/33ln(0125. 06510165. 05 . 6118)25/33ln(0125. 065133rr(3) 若要将热损失降低90%，按上面方法可得 r3 = 1.07 m这时所需的保温层厚度为1.07 0.0165 = 1.05 m由此可见，热损失将低到一定程度后，若要再提高保温效果，将会使保温

30、层厚度大大增加。由以上超越方程解得 r3 = 0.123 m故保温层厚度为 123 16.5 = 106.5 mm。对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此方法对一维变物性、变传热面积非常有效。由傅里叶定律：dxdttxA)()(绝热绝热绝热绝热xt1t24 变截面或变导热系数问题变截面或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：(1)求解导热微分方程，获得温度场；(2)根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量dxdttxA)()(分离变量：（由于是稳态问题， 与无关） dttxAdx)()(dttxAdxxxtt)()(2121绝热绝

31、热绝热绝热xt1t21221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxtt当 随温度呈线性分布时，即 0(1bt) 时)21 (210ttb5 内热源问题内热源问题电流通过的导体；电流通过的导体；化工中的放热、吸热反应；化工中的放热、吸热反应；反应堆燃料元件核反应热。反应堆燃料元件核反应热。在有内热源时，即使是一维稳态导热：热流量沿传热方向也是不断变化的，微分方程中必须考虑内热源项。具有具有内热源的内热源的平壁平壁 xh, tfh, tfo022dxtd边界条件为：0, 0dxdtx)(,ftthdxdtx对微分方程积分:1cxdxdt如果平壁内有均匀的内热源，且认为导热系数为常数，平壁的两侧均为第三类边界条件，由于对称性，只考虑平板一半：微分方程： 代边界条件(1)得c1=0 xh, tfh, tfo微分方程变为：再积分:求出c2后可得温度分布为： xdxdt222cxtfthxt)(222任一位置处的热流密度为： xdxdtq注意：注意： 温度分布为抛物线分布；温度分布为抛物线分布； 热流密度与热流密度与x成正比，成正比， 当当h 时，应有时，应有tw tf故定壁温时温度分布为：wtxt2)(22例4：核反应堆燃料元件模型。三层