山东大学工科研究生数学物理方法class14第2节(非齐次振动方程和输运方程)

1、1 我们仍然限定齐次的边界条件，本节包括两个主要内容，一是我们仍然限定齐次的边界条件，本节包括两个主要内容，一是 在第一节中，我们求解两端固定的弦的齐次振动方程定解在第一节中，我们求解两端固定的弦的齐次振动方程定解0|, 0|0 lxxuu求解。求解。法，把非齐次方程的定解问题化为齐次方程的定解问题，然后再法，把非齐次方程的定解问题化为齐次方程的定解问题，然后再傅立叶级数法，直接求解非齐次方程的定解问题。二是冲量定理傅立叶级数法，直接求解非齐次方程的定解问题。二是冲量定理形式的级数，是由边界条件决定的：形式的级数，是由边界条件决定的：取决于初始条件的傅立叶正弦级数，采用正弦级数而不是一般取决于

2、初始条件的傅立叶正弦级数，采用正弦级数而不是一般问题，得到的解有傅立叶正弦级数的形式，且系数问题，得到的解有傅立叶正弦级数的形式，且系数An和和Bn2由此启发，为什么不把解本身直接展开成傅立叶级数？由此启发，为什么不把解本身直接展开成傅立叶级数？ nnnxXtTtxu)()(),(这里傅立叶级数的基本函数族这里傅立叶级数的基本函数族Xn(x)为该定解问题齐次方程在齐次为该定解问题齐次方程在齐次边界条件下的本征函数。边界条件下的本征函数。 由于解是自变量由于解是自变量x和和t的函数，故的函数，故u(x,t)的傅立叶级数系数不是的傅立叶级数系数不是求解定解问题求解定解问题)0(),(|),(|0|

3、, 0|sincos0002lxxuxuuutlxAuautttlxxxxxxtt出出Tn(t)的的常微分方程常微分方程，求解。，求解。常数，而是常数，而是时间时间t的函数的函数，记做，记做Tn(t),将将u(x,t)代入泛定方程，分离代入泛定方程，分离3这里级数展开的基本函数族应该是齐次泛定方程这里级数展开的基本函数族应该是齐次泛定方程02 xxttuau在边界条件在边界条件)(|),(|00 xuxutxtx下的本征函数下的本征函数即：即：.)2 , 1 , 0(cos nlxn 由此我们把解展开成傅立叶余弦级数由此我们把解展开成傅立叶余弦级数lxntTtxunn cos)(),(0 代入

4、泛定方程代入泛定方程tlxAlxnTlanTnnn sincoscos02222 左边是傅立叶余弦级数，把右边也展开成傅立叶余弦级数，以左边是傅立叶余弦级数，把右边也展开成傅立叶余弦级数，以比较系数，分离出比较系数，分离出Tn(t)的常微分方程：的常微分方程：tATlaT sin12221 )1( , 02222 nTlanTnn 比较系数。事实上，右边已经是傅立叶余弦级数，只有一项比较系数。事实上，右边已经是傅立叶余弦级数，只有一项n=14把把u(x,t)的傅立叶余弦级数代入初始条件可得：的傅立叶余弦级数代入初始条件可得： 0000cos)(cos)0(cos)(cos)0(nnnnnnnn

5、xlnxxlnTxlnxxlnT 其中，其中，nn ,分别是分别是)(),(xx 的傅立叶余弦级数的第的傅立叶余弦级数的第n个傅立叶个傅立叶系数，上述两边都是傅立叶余弦级数，由于基本函数族系数，上述两边都是傅立叶余弦级数，由于基本函数族lxn cos的正交性，等式两边对应于同一基本函数的傅立叶系数必相等：的正交性，等式两边对应于同一基本函数的傅立叶系数必相等： lldlTdlT000000)(1)0()(1)0( )0(cos)(2)0(cos)(2)0(00ndlnlTdlnlTlnnlnn关于关于Tn(t)的常微分方程在上述初始条件下的解为的常微分方程在上述初始条件下的解为:ttT000)

6、(5latallattlalatlaaAltT sincossinsin/1)(1122221 )1 , 0(sincos)( nlatnanllatntTnnn T1(t)的第一项为非齐次常微分方程的特解，满足零值初始条件。的第一项为非齐次常微分方程的特解，满足零值初始条件。T1(t)的后两项之和及的后两项之和及Tn(t)分别为分别为T1(t)和和Tn(t)的齐次常微分方程的齐次常微分方程的解，满足非零初始条件。的解，满足非零初始条件。可得最后所求的解为可得最后所求的解为:lxlatnanllatn tlxtlalatlaaAltxunnncossincos)(cossinsin/1),(1

7、002222傅立叶级数法傅立叶级数法6傅立叶级数法傅立叶级数法关键在于分离出关键在于分离出Tn(t)的常微分方程，不能的常微分方程，不能lxn cos正是相应的齐次方程，齐次边界条件下用分离变量法求得的正是相应的齐次方程，齐次边界条件下用分离变量法求得的 对于齐次振动方程和齐次输运方程问题也可以用傅立叶级对于齐次振动方程和齐次输运方程问题也可以用傅立叶级综上所述，对于振动问题和输运问题，不论齐次综上所述，对于振动问题和输运问题，不论齐次还是非齐次方程定解问题，傅立叶级数法结合分还是非齐次方程定解问题，傅立叶级数法结合分离变数法都可利用，而分离变数只能用于齐次方离变数法都可利用，而分离变数只能用

8、于齐次方程定解问题。程定解问题。更容易求解。更容易求解。数法（结合分离变量）求解，此时常微分方程为齐次方程，数法（结合分离变量）求解，此时常微分方程为齐次方程，本征函数，故可以分离出本征函数，故可以分离出Tn(t)的常微分方程。的常微分方程。含有含有x，这里级数展开的基本函数，这里级数展开的基本函数7 应用冲量定理法有个前提，即初始条件取零值，可以把非零应用冲量定理法有个前提，即初始条件取零值，可以把非零)(|),(|0|, 0|),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt 泛定方程和定解条件都是泛定方程和定解条件都是线性线性的，满足的，满足叠加原理叠加原理),(),(),(11

9、1txutxutxu ),(),(111txutxu分别满足分别满足 )(|),(|0|, 0|00101101121xuxuuuuautttlxxxxtt 0|, 0|0|, 0|),(0110111101111211tttlxxxxttuuuutxfuau两边的式子对应相加，就是原来的定解问题，就转化成求解两边的式子对应相加，就是原来的定解问题，就转化成求解U1方程是非齐次的，但初始条件化为零，即符合冲量定理要求。方程是非齐次的，但初始条件化为零，即符合冲量定理要求。和和U11,U1的初始条件为非零，方程是其次，分离变数求解，的初始条件为非零，方程是其次，分离变数求解，U11初始条件化成零

10、值初始条件：初始条件化成零值初始条件：8下面用冲量定理法来研究弦的非齐次振动方程定解问题：下面用冲量定理法来研究弦的非齐次振动方程定解问题：0|, 0|0|, 0|),(0002 tttlxxxxttuuuutxfuau对于上述定解问题，作用在单位弦长上的外力对于上述定解问题，作用在单位弦长上的外力),(),(txftxF从时刻零持续到时刻从时刻零持续到时刻t，我们求解的是在力，我们求解的是在力F（x，t）作用下，）作用下，时刻时刻t时，各处的位移时，各处的位移u（x，t） 我们可以把持续作用力看成许多瞬时力的作用之和，把持我们可以把持续作用力看成许多瞬时力的作用之和，把持ttdtxftxfd

11、txFtxF00)(),(),()(),(),( 续力引起的振动看成瞬时力引起的振动的叠加：续力引起的振动看成瞬时力引起的振动的叠加：9dtxF)(),(其中其中为作用在很短的时间区间为作用在很短的时间区间),(d上，冲量为上，冲量为dxF),(的瞬时力的瞬时力 该瞬时力引起的振动该瞬时力引起的振动),()(txu则此定解问题为：则此定解问题为：0|, 0|0|, 0|)(),()(),(0)(0)()(0)()(2)(tttlxxxxttuuuudttxfdtxFuau瞬时力瞬时力dtxF)(),(作用在时间区间作用在时间区间),(d上，上，时刻零直到时刻时刻零直到时刻0还没有起作用，弦仍然

12、静止还没有起作用，弦仍然静止0|, 0|0)(0)(tttuu到时刻到时刻该力开始作用，到该力开始作用，到d结束，这短时间内，弦来不及位移，故在时刻结束，这短时间内，弦来不及位移，故在时刻d0|)(dtu位移位移10又根据冲量定理，从时刻又根据冲量定理，从时刻0d到到单位弦的动量变化单位弦的动量变化等于瞬时力等于瞬时力 的冲量，则有：的冲量，则有：dtxF)(),(dxfdxFuuttdtt),(),(|0)()(故速度故速度dxfudtt),(|)(若该用时刻若该用时刻d作为初始时刻，考查瞬时力作为初始时刻，考查瞬时力dtxF)(),(在时刻在时刻d以后引起的振动以后引起的振动),()(tx

13、u此时瞬时力作用已过，此时瞬时力作用已过，弦不受外力，满足齐次方程，其定解问题为：弦不受外力，满足齐次方程，其定解问题为：),(|, 0|0|, 0|0)()()(0)()(2)(dtxfuuuuuaudttdtlxxxxtt此定解问题与原来此定解问题与原来 的定解问题等价。同时可以看出的定解问题等价。同时可以看出),()(txu必含有因子必含有因子d记记dtxvtxu);,(),()(则满足以下定解问题：则满足以下定解问题：110|, 0|0|, 0|),(02dttdtlxxxxttvvvvdtxfvavdtxfvvvvvavtttlxxxxtt),(|, 0|0|, 0|002由于时间由

14、于时间d很短，将很短，将d记作记作关于此定解问题为齐次方程，可用前边的分离变数或者傅里叶关于此定解问题为齐次方程，可用前边的分离变数或者傅里叶级数法来求解。级数法来求解。只是前边初始时刻为零，这里初始时刻为只是前边初始时刻为零，这里初始时刻为前面得到的解中，前面得到的解中，t应换成应换成t原定解问题原定解问题是线性的，适用叠加原理，外力是一系列瞬时是线性的，适用叠加原理，外力是一系列瞬时力的叠加，则定解问题也是瞬时力引起的振动的叠加，则有：力的叠加，则定解问题也是瞬时力引起的振动的叠加，则有：00)();,(),(),(tdtxvtxutxu此即非齐次振动方程定解问题的解！此即非齐次振动方程定

15、解问题的解！12把持续作用力把持续作用力),(txf看成一系列脉冲力看成一系列脉冲力dtxf)(),(改为求解脉冲力改为求解脉冲力dtxf)(),(从时刻从时刻引起的振动引起的振动dtxv);,(而它满足齐次振动方程的定解问题，解出而它满足齐次振动方程的定解问题，解出v之后，之后，对对积分即得原定解问题的解！积分即得原定解问题的解！同时，量纲分析也可以侧面证明此法是正确的！同时，量纲分析也可以侧面证明此法是正确的！边界条件边界条件即要验证通过积分得到的解即要验证通过积分得到的解u（x，t）是原非齐次振动方程定）是原非齐次振动方程定解问题的解。解问题的解。首先来验证边界条件：首先来验证边界条件：

16、0|, 0|0lxxvv故有：故有：0|, 0|0000tlxlxtxxdvudvu初始位移：初始位移：0|000tttdvu13dttdttgdttdttgdttgdtgdtdtttt)()(; )()(;);();()()()()(应用此公式到应用此公式到tdtxvtxu0);,(),(可得：可得：);,();,(),(0ttxvdtxvtxuttt又又0);,(xv故可得故可得tttdtxvtxu0);,(),(则则0|0000dvutttt初始条件初始条件（1）对（对（1）应用求导公式）应用求导公式);,();,(0ttxvdtxvutttttt而而),();,(xfxvt14故故),

17、();,(0 xfdtxvuttttt把它和把它和u（x，t）代入非齐次泛定方程的左边则有：）代入非齐次泛定方程的左边则有：),(),(0 ),()(0022txftxfdtxfdvavuauttxxttxxtt即对于非齐次泛定方程来说满足定解条件。即对于非齐次泛定方程来说满足定解条件。泛定方程泛定方程至此，数学验证全部完成，冲量定理在数学上也成立，至此，数学验证全部完成，冲量定理在数学上也成立，特别特别甚至，甚至，x0和和xl的边界条件不同类，只要相对应即可！的边界条件不同类，只要相对应即可！指出指出，这里边界条件也可以是第二类或第三类齐次边界条件，这里边界条件也可以是第二类或第三类齐次边界

18、条件15将例将例1中的初始条件改为零值，用冲量定理法求解，即中的初始条件改为零值，用冲量定理法求解，即, 0|, 0|0|, 0|sincos0002tttlxxxxxxttuuuutlxAuau应用冲量定理法，先求解：应用冲量定理法，先求解：,sincos|, 0|0|, 0|0002lxAvvvvvavtttlxxxxxxtt考虑到边界条件，把解展开为傅里叶余弦级数：考虑到边界条件，把解展开为傅里叶余弦级数：0cos),();,(nnlxntTtxv代入泛定方程：代入泛定方程：0cos02222nnnlxnTlanT16由此可分离出由此可分离出Tn的常微分方程的常微分方程02222nnTl

19、anT此方程的解为：此方程的解为：)()();(000tBAtT)0()(sin)()(cos)();(0nltanBltanAtTnn则解则解v的傅里叶余弦级数为：的傅里叶余弦级数为：lxnltanBltanAtBAtxvnnncos)(sin)()(cos)()()();,(100 系数系数)(),(nnBA由初始条件确定，把上式代入初始条件：由初始条件确定，把上式代入初始条件：17xlxnAlxnlxnBBnnsincoscos)()(100cos)()(10nnlxnAA右边的右边的xlxnAsincos也是傅里叶余弦级数，只有一个单项也是傅里叶余弦级数，只有一个单项n1两边比较系数可

20、得：两边比较系数可得：) 1(0)(,sin)(, 0)(1nBalABAnn由此可得由此可得);,(txvlxltaalAtxvcos)(sinsin);,(则可得泛定方程的一般解为：则可得泛定方程的一般解为：18lxtlatlalaaAldltalxaAldtxvtxuttcossinsin/1)(sinsincos);,(),(222200 在在输运问题输运问题中，如泛定方程是非齐次的，也完全可以仿照冲中，如泛定方程是非齐次的，也完全可以仿照冲量定理加以处理，如定解问题：量定理加以处理，如定解问题：0|0|, 0|),(002tlxxxxxxtuuutxfuau单位长度上的热源强度为单位

21、长度上的热源强度为),( txfc且从时刻零一直延续到且从时刻零一直延续到t现在求的是在热源强度现在求的是在热源强度 的影响下，时刻的影响下，时刻t温度分布温度分布),( txfc19仿照冲量定理，这里将持续作用的热源看成许多瞬时热源仿照冲量定理，这里将持续作用的热源看成许多瞬时热源dtxfc)(),(),(d提供的热量提供的热量为为dxfc),(他产生的温度分布为他产生的温度分布为dtxv);,(可导出定解问题：可导出定解问题：0|0|, 0|)(),(002tlxxxxxxtvvvtxfvav直到直到0时刻，瞬时热源未起作用，从初始条件时刻，瞬时热源未起作用，从初始条件0|0tv得得0|0

22、tv在时刻在时刻瞬时热源瞬时热源dtxfc)(),(开始作用开始作用到时刻到时刻d作用结束，放出热量，使作用结束，放出热量，使 时刻温度增加时刻温度增加d到到dtv|则则dtxfcdvvctdt)(),(|0的叠加，作用于时间区间的叠加，作用于时间区间20则有则有),(|xfvdt此即时刻此即时刻d的温度分布的温度分布然后把然后把d作为初始时刻，研究瞬时热源在此时刻以后作为初始时刻，研究瞬时热源在此时刻以后产生的温度分布产生的温度分布dtxv);,(则则v的定解问题为：的定解问题为：),(|0|, 0|002xfvvvvavtlxxxxxxt因瞬时热源作用已过，故为齐次方程，由于因瞬时热源作用已过，故为齐次方程，由于d很短，将很短，将记为记为d此定解问题与此定解问题与 等价，