教案--第四章 矩阵的特征值

1、物流学院20152016学年度第 1 学期 线性代数 课堂教学方案授课年级 2014 专业层次 会计学本科 授课班级 1、2、3、4班 授课教师 2015 年 8 月 28 日线性代数教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第四章 矩阵的特征值第一节 向量的内积教学目的、要求（教学目标） 了解向量内积、正交的概念 掌握规范正交基的求法教学重点与难点规范正交基的求法教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程问题导入：在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质.在空间

2、解析几何中，向量和的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积 来表示，且在直角坐标系中，有 , .本节中，我们要将数量积的概念推广到维向量空间中，引入内积的概念 内容要点一、内积及其性质定义1 设有维向量令 称为向量与的内积.注：内积有时也记作.内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为内积的运算性质 (其中,为维向量,(1) (2) (3) (4) ; 当且仅当时, .二、向量的长度与性质定义2 令称为维向量的长度(或范数).向量的长度具有下述性质:(1) 非负性 ;当且仅当时, ;(2) 齐次性 ;(3) 三角不等式 ;(4) 对任意维向量, 有 .注:

3、若令 则性质(4)可表示为上述不等式称为柯西布涅可夫斯基不等式，它说明中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系.当时, 称为单位向量.对中的任一非零向量, 向量是一个单位向量,因为注: 用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化.当 定义.称为维向量与的夹角.三、正交向量组定义3 若两向量与的内积等于零，即 ，则称向量与相互正交. 记作.定义4 若维向量是一个非零向量组，且中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.定理1 若维向量是一组正交向量组，则线性无关.四、规范正交基及其求法定义5 设是一个向量空间， 若是向量空间的一个基，且是两两正交的向量组，则称是向量

4、空间的正交基. 若是向量空间的一个基,两两正交, 且都是单位向量, 则称是向量空间的一个规范正交基(或标准正交基).若是的一个规范正交基, 则中任一向量能由线性表示, 设表示式为,为求其中的系数可用左乘上式, 有即 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基下的坐标为： 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基.规范正交基的求法:设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正交的单位向量,使与等价. 这样一个问题,称为把这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化容易验证两两正交,且与等价.注: 上述过程称为施密特

5、(Schimidt)正交化过程. 它满足对任何, 向量组与等价.(2) 单位化: 取则是的一个规范正交基.注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将中的任一组线性无关的向量组化为与之等价的正交组；再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组五、正交矩阵与正交变换定义6 若阶方阵满足 (即),则称为正交矩阵, 简称正交阵.定理2 为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位正交向量组.定义7 若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换.正交变换的性质：正交变换保持向量的长度和内积不变.例题选讲例1 设 试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化.例2 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求使， 构成三维

6、空间的一个正交基.例3 判别下列矩形是否为正交阵.理论讲解45分钟，习题选讲25分钟，练习、答疑20分钟注: 若, 则与任何向量都正交.注： 由与等价,定理的结论对行向量也成立.即为正交矩阵的充分必要条件是的行向量都是单位正交向量组.作业与课外训练1. 试将线性无关的向量组正交化 .2. 已知 求一组非零向量, 使两两正交.P121 2 4课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结本节介绍了向量内积以及正交的概念，特别是向量组基的规范正交化转化方法要牢记

7、。线性代数教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第二节 矩阵的特征值与特征向量教学目的、要求（教学目标） 了解矩阵特征值、特征向量等概念 掌握求二阶矩阵特征值和特征向量的方法 熟悉矩阵特征值、特征向量等有关性质教学重点与难点矩阵的特征值、特征向量及其基本性质教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容导入在经济活动中，经常涉及到经济计算问题，在计算过程中常常遇到求特征值及特征向量，因此特征值和特征向量的概念不仅在理论上重要，而且可以用来解决实际问题。自本节开始直到课程结束，将讨论一个问题：线性变换（矩阵、线性方程

8、组）在不同基下的不同表现形式问题对角化（矩阵相似）。前面涉及到的矩阵表现形式：一般矩阵行阶梯形矩阵行最简形矩阵标准型（等价）：可逆矩阵，满足若：为方阵且互为逆矩阵时，上述结果又会如何呢？（在一定条件下，矩阵是对角矩阵，此时矩阵互为相似矩阵），那么这个条件是什么？接下来章节将要介绍。在此结论成立条件下：，其中即令，则有，即，因此有这就是我们这节课将要讨论的内容特征值与特征向量。内容要点一、特征值与特征向量定义1 设是阶方阵, 如果数和维非零向量使成立, 则称数为方阵的特征值, 非零向量称为的对应于特征值的特征向量（或称为的属于特征值的特征向量）.注：1. 阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组 有

9、非零解的值, 即满足方程的都是矩阵的特征值.称关于的一元次方程为矩阵的特征方程，称的一元次多项式 为矩阵的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设为方阵的一个特征值，则由齐次线性方程组 可求得非零解，那么就是的对应于特征值的特征向量，且 的对应于特征值的特征向量全体是方程组的全体非零解。即设为的基础解系，则的对应于特征值的特征向量全体是不同时.二、特征值与特征向量的性质性质1 阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.性质2 设是阶矩阵，则 其中是的全体阶主子式的和. 设是的个特征值，则由次代数方程的根与系数的关系知，有(1) (2) 其中的全体特征值的和称为矩阵的迹, 记为 .*性质3

10、 设是阶矩阵,如果(1) 或(2) 有一个成立, 则矩阵的所有特征值的模小于1, 即定理1 阶矩阵的互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.注：1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的; 2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值.例题选讲例1 求矩阵的特征值和特征向量. 例2 设 求A的特征值与特征向量.例3求n阶数量矩阵的特征值与特征向量.例4 试证: n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.注: 此例也可以叙述为：n阶矩阵

11、A可逆它的任一特征值不为零.例5设是方阵A的特征值, 证明(1) 是的特征值; (2) 当A可逆时, 是的特征值.注：易进一步证明：若是的特征值, 则是的特征值，是的特征值，其中 特别地, 设特征多项式 则是的特征值, 且例6 设3阶矩阵A的特征值为, 求例7 设和是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为和, 证明不是A的特征向量.例8 正交矩阵的实特征值的绝对值为1.注:的特征值是特征方程的根，也是的根.的对应特征值的特征向量是齐次方程组的非零解，也是的非零解.理论讲解45分钟，习题选讲40分钟，练习、答疑5分钟提问：矩阵A的特征值与矩阵的行列式|A|之间有什么关系？.作业与课外训

12、练1.求矩阵的特征值和特征向量.2.求矩阵的特征值与特征向量.P126 6 9课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结这节课我们主要学习了特征值与特征向量的概念，通过学习我们知道每一特征向量只能属于一个特征值；我们还学习了特征值与特征向量的求法，特征值和特征向量的基本性质，这些知识在以后的工程应用方面发挥着巨大的作用. 课后加强特征值和特征向量的计算。线性代数教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第三节 相

13、似矩阵教学目的、要求（教学目标） 了解相似矩阵的概念 掌握矩阵对角化的条件及方法教学重点与难点矩阵对角化的条件及方法教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容要点一、相似矩阵的概念定义1 设都是阶矩阵, 若存在可逆矩阵,使,则称是的相似矩阵, 并称矩阵与相似.记为.对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足:(1) 反身性: 对任意阶矩阵,有相似;(2) 对称性: 若相似, 则与相似;(3) 传递性: 若与相似, 则与相似, 则与相似. 两个常用运算表达式： (1) ; (2) , 其中为任意实数.二、相似

14、矩阵的性质定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.因此具有相同的迹（2015年考研真题）。相似矩阵的其它性质:(1) 相似矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的行列式相等; (3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对角矩阵相似的条件定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.推论1 若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵相似.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P, 使为对角阵, 则称方阵A可对角化.定理3 n阶矩阵A可对角

15、化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设是矩阵A的重特征值, 则A与相似。四、矩阵对角化的步骤若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现: (1) 求出的全部特征值;(2) 对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组的基础解系由个向量构成, 即为对应的线性无关的特征向量；(3) 上面求出的特征向量恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;(4) 令, 则五、利用矩阵对角化计算矩阵多项式定理4 设是矩阵A的特征多项式,则.例题选讲例1 设有矩阵 试验证存在可逆矩阵, 使得A与B相似.例2 试对矩阵验证前述定理2的结论.注: 本例子说明了A的特征值不全互异时,

16、A也可能化为对角矩阵.例3判断矩阵能否化为对角阵.例4 设 问为何值时, 矩阵能对角化?理论讲解50分钟，习题选讲20分钟，练习、答疑20分钟提问：属于s个不同特征值的s个特征向量构成的向量组是否一定线性无关？提问：求方阵A的对角化的步骤是怎样的？作业与课外训练1.判断矩阵能否化为对角阵.2.判断下列两矩阵A,B是否相似.P130 5 6课外阅读资料或自主学习体系安排1.经济应用数学基础编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，19952.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，20093. 课后小结这节课我们主要学习了相似矩阵的概念及性质，还学习了矩阵与对角矩阵相似的条件及

17、对角化步骤. 课后要加强矩阵对角化的计算。线性代数教案任课教师授课班级2014级会计学本科班授课时间教学时间安排2学时授课题目（章节）第四节 实对称矩阵的对角化教学目的、要求（教学目标） 了解正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 掌握利用相似变换将方阵对角化的方法教学重点与难点对称矩阵特征值与特征向量的特殊性质教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学基本内容及过程内容导入:从上节讨论中我们已获知，并不是数域P上的任意方阵均可对角化的，本节中我们来讨论一类可以对角化的矩阵类实对称矩阵类实对称方阵不仅可对角化，而且还可要求可逆矩阵P是正交矩阵，即对于任意的实对称方阵一定存在同阶正交

18、矩阵P，使得P1AP=是对角矩阵由于矩阵的对角化问题与特征值与特征向量密切相关，首先我们来讨论实对称矩阵特征值与特征向量的特殊性质内容要点定理1 实对称矩阵的特征值都为实数.注: 对实对称矩阵，因其特征值为实数, 故方程组是实系数方程组, 由知它必有实的基础解系, 所以的特征向量可以取实向量.定理2 设是实对称矩阵的两个特征值, 是对应的特征向量. 若, 则与正交.定理3 设为阶实对称矩阵,是的特征方程的重根,则矩阵的秩,从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.定理4 设为阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵,使,其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵将实对称矩阵对角化的步骤为：(1) 求出的全部特征值;(2) 对每一个特征值, 由求出基础解系（特征向量）;(3) 将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵，使 .注：中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲例1 设实对称矩阵 求正交矩阵P, 使为对角矩阵.例2设有对称矩阵 试求出正交矩阵P, 使为对角阵.例3 设, 求理论讲解30分钟，习题选讲30分钟，练习、答疑30分钟注：复数向量的内积表示方法！作业与课外训练1.设实对称矩阵 试求出正交矩阵P, 使为对角阵.2.设n阶实对称矩阵A