数学培优竞赛新方法(九年级)-第14讲 锐角三角函数

1、第14讲 锐角三角函数知识纵横 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的的通用形式。 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质：1. 单调性2. 互余三角函数间的关系3. 同角三角函数之间的关系。平方关系商数关系倒数关系例题求解【例1】（1）如图，在正方形中，是的中点，是上异于的点，且,则的值为 .（全国初中数学

2、联赛题）(2) 已知在中，是锐角，且，则= .（黄冈市竞赛题）思路点拨 对于（1），由，分别延长交于，可构造等腰三角形，作于，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过作于，这样由三角函数定义得到线段的比，,设，解题的关键是求出的值。【例2】如图，在中，则= A. B. C. D.（全国初中数学联赛试题）【例3】如图，在直角坐标系中，已知中，,点的坐标分别为（1） 求过点直线的函数表达式.（2） 在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标.（3） 在（2）的条件下，如果分别是和AD的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，求出的值，如不存在，请说明理由。（济南市中考

3、题）思路点拨 对于（3），根据相似三角形的传递性，把与相似的问题转化为与相似的问题，按直角顶点分情况讨论。解本例的关键是：是三个直角三角形的公共角，其正切值贯穿解题的始终。【例4】已知O过点，点与点关于轴对称，过作O的切线交轴于点（如图1）（1）求O半径；（2）的值；（3）如图2，设O与轴正半轴交点，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交O于点，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由（宁波市中考题）思路点拨 连,运用切线性质、垂径定理是解题的基础。对于（3），通过角的转化，设法计算的值。【例5】已知：在中，是方程的两个根（1）求实数应满足的条件；（2）若满

4、足（1）的条件，方程的两个根是否等于中两锐角A、B的正弦？（江苏省竞赛题）思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数应满足的条件。正弦、余弦的有界性【例6】设是直角三角形的三边，为斜边，整数，求证：（福建省竞赛题）学历训练基础夯实1. 如图，已知是的直径，弦,那么的值是 （成都市中考题） 第3题第2题第1题2. 如图2，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 。（济南市中考题）3. 如图3，在中，,，则的面积为 。（2011年昆明市中考题）4.在中，均为锐角，,且,则的值为 （2008年浙江省中考题）第7题第6题第5题5

5、.如图，在中，,则=( )A. B. C. D.（安徽省中考题）6. 如图，在图，在中，,则的值是（ ） A. B. C. D.（2011年荆州市中考题）7. 如图，是平面镜，光线从点出发经上的点反射后照射到点，若入射角为（入射角等于反射角），于，于，且,则的值为（ ）A. B. C. D.（重庆市中考题）8. 如图，直角三角纸片的两直角边长分别为，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为,则的值是（ ）A. B. C. D.（泰安市中考题）9. 如图，等腰梯形中，,翻折梯形，使点重合于点，折痕分别交边于点，若，求（1）的长；（2）的正切值。（上海市中考题）10. 如图，在中，以直径的分别交于点

6、，点在延长线上，且。求证：(1) 直线是O的切线。(2) 若，求和的长。第10题（2011年北京市中考题）11. 如图，在直角梯形中，.（1） 求梯形的面积；（2） 点分别是上的动点，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动。若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接，求面积的最大值，并说明此时的位置。第11题（济南市中考题）能力拓展12. 若且 。（武汉市选拔赛试题）13. 已知是两个锐角，且满足，则实数所有可能值的和为 。（2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛题）14. 如图，等腰直角三角形中，,为的中点，将折叠，使点与点重合。若为折痕，则的值为 ，的值为 .（第19届江苏省竞赛题）第1

7、4题第15题第16题15. 如图，在中，为边上的一点，若的面积为，则= 。（2011年四川省竞赛题）16. 如图，在梯形中，是上的一点，则的值等于（ ）。A. B. C. D.（天津市竞赛题）17. 如图，已知为等腰直角三角形，若则和的大小关系为（ ）。A. B. C. D.无法确定18. 已知为实数，且是关于的方程的两根，则的值为（ ）。A. B. C. D.（全国初中数学联赛题）19. 如图，锐角中，分别是上的高，则（ ）。A. B. C. D.第19题第20题第21题20. 如图，在中，分别是斜边上的高和中线，若,求的值。（第18届江苏省竞赛题）21. 如图，为O的切线，为切点，过作的垂线，垂足为点，交O于点。延长与O交于点，与的延长线交于点。（1） 求证：为O的切线；（2） 若，求的值。（2011年武汉市中考题）综合创新22. 设角为锐角，求证