建模与估计1.2-1.3(第二次课)

1、第一章 ARMA模型与状态空间模型建模与估计第 二 次课 2015.04.03第一章 ARMA模型与状态空间模型第一章第一章 ARMA模型与状态模型与状态空间模型空间模型随机过程随机过程平稳随机序列、白噪声、相关函数平稳随机序列、白噪声、相关函数自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型 AR(n),MA(q),ARMA(p,q),平稳可逆平稳可逆状态空间模型状态空间模型 非递推表达式、并联、串联、解耦、与非递推表达式、并联、串联、解耦、与ARMA的转换的转换第一章 ARMA模型与状态空间模型1、平稳随机过程X(t),tT的定义？2、设x为零均值、方差为2的随机变量，问是否为平稳随机过程？(1)m(

2、t)=EX(t)=C 均值为常数(2)2(t)=DX(t)=C 方差为常数(3) =EX(t)X(t+) 相关函数仅与时间间隔有关( )( ,)RR t t, t( ),(,),z txtbtTb 为常数典型非平稳随机过程：地震波1.2 平稳随机过程第一章 ARMA模型与状态空间模型 今后我们主要研究离散时间随机过程，即随机序列，记为 zt , tT，T=,-1,0,1,。应注意在不引起混淆的情况下，今后不再用大写字母Zt 表示随机序列Zt , tT,而统一用小写字母 zt 表示随机序列及其实现。这里zt , tT即可以表示随机序列，也可以表示它的实现(z(1),z(2),z(N),即可看成随

3、机向量，也可看成zt , tT的容量为N的样本。？平稳随机序列zt，tT的定义(1)m=Ezt 均值为常数(2)2=Dzt 方差为常数(3) rk=E(zt-m)(zt+k-m) 相关函数仅与时间间隔有关标准相关函数0kkrr第一章 ARMA模型与状态空间模型3、平稳随机序列相关函数的性质？00011102120(1)0(2)(3)|(4)0kkknnnnrrrrrrrrrrrrrr0111212(1)1(2)(3)| 111(4)01kkknnnn=平稳随机序列标准相关函数的性质？()(), ( )ktt krE zm zmmE z t0kkrr第一章 ARMA模型与状态空间模型4、白噪声a

4、t的定义？其标准相关函数为多少？Eat=0, rk=Eat at+k= 20,0,0kk01,00,0kkkrkr例：设at为服从N(0,1)的白噪声序列，试判断zt=at-at -1是否为平稳随机过程？例：设随机过程z(t)=Acosw0t+Bsinw0t, t(-,), 其中A与B为相互独立随机变量，且EA=EB=0,有EA2=EB2=2,问z(t)是否为平稳随机过程。若zt=at+bt , 其中at、bt 为相互独立的白噪声序列，试判断随机序列zt的平稳性？Hints：r() = E(Acosw0t+Bsinw0t)( Acosw0(t+)+Bsinw0(t+) = EA2cosw0t

5、cosw0(t+)+ EB2sinw0t sinw0(t+) = 2 cosw0t cosw0(t+)+ sinw0t sinw0(t+) = 2cos w0第一章 ARMA模型与状态空间模型1.3 自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型例1：股市价格zt =zt -1+at , 今天价格=昨天价格+随机波动例2:油田产量随机递降101tttzza第一章 ARMA模型与状态空间模型定义定义1.3.1：若时间序列zt有模型112233ttttptptzzzzza其中模型残差at 是零均值、方差为2的白噪声, 为模型参数，则称该模型为p阶自回归模型，记为AR(p), p为它的阶次。（AR：autor

6、egressive）12,.,p 定义定义1.3.2：若时间序列zt有模型zt = at - 1at-1 - 2 at-2 - - q at-q其中at是零均值、方差为的2白噪声, 1q为模型参数，则称该模型为q阶滑动平均模型，记为MA(q), q为它的阶次。（MA：Moving Average）第一章 ARMA模型与状态空间模型其中at是零均值、方差为2的白噪声,则称上式为自回归滑动平均模型，记为ARMA(p,q)，p、q为它的阶次。定义定义1.3.3：若时间序列zt有模型1122331122-=-ttttptptttqt qzzzzzaaaa引入单位滞后算子q-1(back shift o

7、perator)，q-1x(t)=x(t-1), 11212()1.ppqqqq 11212()1.qqqqqq 则ARMA(p,q)模型可简记为 11()()ttqzqa1()ttqza1()ttzqaAR(p)模型可简记为 MA(q)模型可简记为 举例121-0.8+0.15= -0.8tttttzzzaa第一章 ARMA模型与状态空间模型例1: 考虑AR(1)模型1tttzza在什么条件下，AR(1)模型可写成一个平稳的随机序列？ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性指什么条件下zt可通过at 来表示？即 111()()()tttqzaqaq?第一章 ARMA模型与状态空间模型111(1)1ttttqzazaq应用几何级数求和公式有无穷级数展式100()jjtttjjjzqaa 这相当于把zt 表为无穷阶滑动平均模型MA()，要使上式成立，则要求| help randn第一章 ARMA模型与状态空间模型1Brownz,=0,9000,(0,1)ttttza tTaN【例1.2.3】 过程 010002000