高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题

1、圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义 ：第一定义 中要 重视“括号” 内的限制条件 ：椭圆中 ，与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 2a ，且此 常数 2a 一定要大于 F1 F2 ，当常数等于 F1F2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ，当常数小于 F1 F2 时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a |F1 F 2 | 不可忽视 。若 2a |F1F2 | ，则轨迹是以 F1 ，F2为端点的两条射线， 若 2a |F 1 F 2 | ，则轨迹不存在。 若去

2、掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 方 程( x 6)2y2(x 6)2y28表示的形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：2 2 ）x2y2（2）双曲线 （以a21 （ a 0, b 0 ）为b2例）： 范围 ： xa 或 xa, y R ； 焦点：两个焦点 ( c,0) ； 对称性 ：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0 ），两个顶点 ( a,0) ，其中实轴长为2 a ，虚轴长为2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2k, k0 ； 准线 ：两条准线 xa2； cc离 心 率 ： ee 1 ， 等 轴 双 曲

3、线，双曲线ae2 ， e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；于双曲线 Sb2（1）短轴长为5 ，。 如tan2练习：点 P 是双曲线上 x 2y 21 上一点， F1, F2 为12双曲线的两个焦点， 且 PF1PF2=24，求PF1 F2 的周长。8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切； （2）设 AB为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF；（3）设 AB为焦点弦， A、 B 在准线上的射影分别为 A1 ，B1 ，若 P 为 A1 B1 的中点，则 PAPB；（ 4）若 AO的延长线交准线于 C，则 BC平行于 x 轴，反

4、之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A， O， C三点共线。曲线是 _（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心 （顶点） 在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ： 两条渐近线 ： yb x 。9、弦长公式 ：若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两（ 3 ）抛物线 （以 y2a点 A 、 B，且 x1, x2 分别为 A 、 B 的横坐标，则 AB 2 px( p 0) 为例）： 范围 ：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在 x 轴 上 时 x 2y 2 1a 2b 2b 0 ）， 焦 点 在 y 轴 上 时 y22（ a2x2 1（ ab 0

5、 ）。方程 Ax2By 2abC 表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A ， B ，C 同号， A B ）。若 x, yR ，且 3x22y26 ，则 xy 的最大值是 _， x2y2的最小值是 _（答：5,2）22（ 2）双曲线 ：焦点在 x 轴上： x 2y2 =1，焦22ab点 在 y 轴 上 ： y2x2 1 （ a 0, b0 ）。方程abAx2By2C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A ，B 异号）。如 设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e2 的双曲线 C过点 P(4, 10) ，则 C的方程为 _（答： x2y26）（

6、3）抛物线 ：开口向右时y22 px( p0) ，开口 向 左 时 y22 p x( p 0，) 开 口 向 上 时x22 p y( p0，)开口向下时x22 py( p0) 。x0, y R ；焦点：一个焦点( p ,0) ，其中 p 的几2何意义是： 焦点到准线的距离； 对称性 ：一条对称轴y0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 准线 ：一 条 准 线 xpc； 离 心 率 ： e，抛物线2ae 1。如设 a 0, a R，则抛物线 y 4ax2 的焦点坐标为_ （答： ( 0,1) ）；16a5 、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 x 2y 21（ ab 0 ）的a 2b 2x

7、02y02关系 ：（ 1）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外1；（2）a2b2点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 上x02y02a2b2 1；（3）点x22yP( x0 , y0 ) 在椭圆内001a2b26直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲1k2x1x2，若 y1 , y2 分别为 A 、B 的纵坐标，则AB 112y1 y2 ，若弦 AB 所在直线方程设为kxkyb ，则 AB 1 k2 y1 y2 。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长

8、公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。10、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。x 2y21中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在在椭圆2b2a2直线的斜率k= b x0 ；a 2 y0弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：在双曲线 x2y21中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在a2b2直线的斜率 k= b 2 x0；在抛物线 y 22 px( p 0) 中，a 2 y0以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率k=p 。y3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程， 然后线相交且只有一个交点

9、，故0 是直线与双曲线相交再判断）：的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物（ 1）椭圆 ：由 x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线分母大的坐标轴上。与抛物线的对称轴平行时， 直线与抛物线相交且只有一个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条如已知方程x 2y 2表示焦点在y轴1件，但不是必要条件。m12m（2）相切：0直线与椭圆相切；0直上的椭圆，则 m 的取值范围是 _（答：1)3)）线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；( ,(1,（3）相离：0直线与椭圆相离；0直2（ 2）双曲线 ：由 x2y2线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。,项系数

10、的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；提醒 ：（ 1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点（ 3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项时的位置关系有两种情形：相切和相交。 如果直线与双的符号决定开口方向。曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交,但只有一个交提醒 ：在椭圆中， a 最大， a2b2c2 ，在双曲点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,线中， c 最大， c2a2b2 。也只有一个交点； （ 2） 过双曲线 x222y2 1 外一点4. 圆锥曲线的几何性质：abP( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如（ 1）椭圆（以 x2y21（ ab0 ）为

11、例）：下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内a2b2时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相 范围 ： a xa,byb ； 焦点 ：两个焦点切的两条切线， 共四条； P 点在两条渐近线之间且包( c,0) ； 对称性 ：两条对称轴 x0, y0 ，一个对含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只称中心（ 0,0 ），四个顶点 (a,0),(0,b) ，其中长轴长与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P 在两条渐为 2 a ，短轴长为2 b ； 准线 ：两条准线xa2；近线上但非原点， 只有两条： 一条是与另一渐近线平行c的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的

12、直线；c（ 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有，椭圆0e 1 ， e 越小，椭圆一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 离心率 ： ea7、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点越圆； e 越大，椭圆越扁。所构成的三角形）问题： S2tanc | y0 | ，当如（ 1）若椭圆 x2y210 ，则 mb1的离心率 e25m5| y0 | b 即 P 为短轴端点时，Smax 的最大值为 bc；对的值是 _（答： 3 或 25 ）；3（ 2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角0提醒 ：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问题时， 务必别忘

13、了检验0 ！11了解下列结论（ 1）双曲线 x2y 21 的渐近线方程为xy；b 20a2ab（ 2）以 yb x 为渐近线（即与双曲线x2y 2ax 2y21共渐近线）的双曲线方程为(a 2b 2a 2b 2 0）。为参数，（ 3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22mxny1；（ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2b2a，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 b2，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；c（ 5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（ 6）若抛物线 y22 px( p0) 的焦点弦为 AB，A( x1 , y1), B( x2 , y2

14、 ) ，则 | AB |x1x2p ；p2, y1 y2p2 x1 x24（ 7）若 OA、OB是过抛物线 y22 px( p0) 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2 p,0)12.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、 (1)抛物线 C:y2 =4x 上一点 P 到点 A(3,42 )与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为故k的取值范围为_(11, 3)3(1,1)3(2) 抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点153223F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在分析：（ 1 ） A

15、在抛物线外，如图，连PF，则直线 y = -3上，AM点满足HQPH PF ，因而易发现，当 A 、 P、 F 三点共线时，MB/OA， MA?ABPB= MB?BA， M点的轨迹为曲F线 C。距离和最小。（）求 C 的方程；（） P（ 2） B 在抛物线内，如图，作QR l 交于 R，则为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求O点到 l距当 B、 Q、 R 三点共线时，距离和最小。解：（ 1）（2，离的最小值。2 ）（2）（ 1 ,1）4( ) 设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MA=1、已知椭圆 C 的方程为x 2y21，双曲线 C 的左、（ -

16、x,-1-y）, MB =(0,-3-y),AB =(x,-2).再由愿意142右焦点分别为C1 的左、右顶点，而C2 的左、右顶点分得知（ MA +MB ）?AB =0,即 （ -x,-4-2y）别是1 的左、右焦点。C?(x,-2)=0.(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l ： ykx212所以曲线 C的方程式为 y= 1 x2 -2.( ) 设 P(x0,y0)与椭圆 C 及双曲线 C4l 与 C 的两个交点 A 和 B 满恒有两个不同的交点，且1 x 2 -2上一点， 因为 y ' = 12为曲线 C：y=x, 所以 l 的足OA OB6 ( 其中 O为原点 ) ，求

17、k 的取值范围。42斜率为1x因 此 直 线 l220的方程为2解：（）设双曲线C2的方程为 x2y21，则y y00 。ab1 x0 (x x0 ) ，即 x0 x 2 y 2 y0 x2a 24 1 3, 再由 a 2b 2c 2 得 b21.2| 2 y0x02 |. 又 y01 x02x2则 O 点到 l 的距离 d2 ，故 C2的方程为y21.（II） 将x0244312ykx2代入x2y21得(14k2) x28 2kx所以 d2x041 ( x0244) 2,44 0.24224x0x0由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得当 x02=0 时取等号，所以O点到 l 距离的

18、最小值为2.1(82) 2 k216(14k 2 )16(4k21)0,3 设双曲线 x2y21（ a 0,b 0）的渐近线与抛物k 21.a2b2即线 y=x 2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于4()将 ykx2代入 x 2y21得 (1 3k 2 ) x26 2kx 9 0 x2y21( ab0 )的左焦点F 作 x 轴34 、过椭圆22ab1. 由直线 l 与双曲线C2 恒有两个不同的交点A，B 得13k20,的垂线交椭圆于点P ，F2 为右焦点，若F1PF260 ，即k 21且 k21.2k) 23k 2 )k2 )2(636(136(10.3 则椭圆的离心率为5 、已知双曲线x

19、2y20) 的左、右焦点分别设 A( x, y), B( x, y),则 xx6 2k , x x221(bAAB9bABBB13k 2A13k 2由OA OB6得 xA xByA yB6, 而是1、2，其一条渐近线方程为yx ，点P( 3, y0 )FFxA xByA yBxA xB(kxA2)( kxB2)在双曲线上 .则 PF1 · PF2 ( )0(k 21) xA xB2k( xAxB ) 26、已知直线 yk x 2k0 与抛物线 C : y28x(k 2 1)192k 6 2k2相交于 A、B两点， F 为C的焦点，若3k 213k 2|FA| 2|FB |()3k27

20、 .，则 k3k21于是3k 276,即15k 2137 、已知直线 l1 : 4x 3y60 和直线 l2 : x 1，抛3k 213k 20.解此不等式得1物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之k 213 或 k 21 .15311或13和的最小值是（）由、得k 2k 21.43158、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线 l与抛物线 C 相交于 A， B 两点。若 AB 的中13, 1).点为（ 2， 2），则直线 l 的方程为(,)(15x2y2的焦点为 F1, F2 ，点 P 在椭圆上，9、椭圆192若 |PF1|4，则 |PF2

21、 |；F1PF2 的大小为.10、过抛物线y22 px( p0) 的焦点F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_'【解析】设切点 P( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为y |x x02x0 .由题意有y02x0又y0x0 2 1解 得 :x0x021,b2,e1 ( b ) 25aa双曲线 x2y 21 的 一条 渐近线 为 yb x , 由方程 组a 2b2ayb x, 消去y, 得 x2b10 有唯一解, 所以axyx21a=( b )240,所以abca2b21b)25a2 , ea(aa由渐近线方程为yx 知双曲线是等轴双曲线，

22、双曲线方程是 x2y 22 ，于是两焦点坐标分别是 （ 2，0）和（2，0），且P(3,1)或P(3,1).不妨去P(3,1)，则PF1(23,1)，PF2(23,1) . PF1 · PF2 (23,1)(23,1)(23)(23)10【解析】设抛物线 C : y 28x的准线为 l : x2 直线ykx2 k0 恒过定点P2,0.如图过 A、B分别 作A MlM,BNl于N,由于|FA |2|FB |,则|AM|2|BN |,点 B 为 AP的中点 .连结 OB ,则|OB |1|AF |,2|OB |BF|点B的横坐标为1, 故点B的坐标为(1,22)k220221(2)3,故

23、选DA x1, y1 , B x2 , y2 ,则有 x1x2， y124x16（D）2 3y224x22322x2 ，y1y248.( 全国卷 II)双曲线 x2y21的渐近线方程是 ( C)两式相减得， y1y2 4 x1x1x2y1149y224(A)y(B)y(C)直线 l 的方程为 y-2=x-2,即y=xxx39y3(D)y9xx24（ D）A30oB45oC 60oD90o17. （湖北卷）双曲线x 2y21(mn 0) 离心率为mn2，有一个焦点与抛物线y 24x 的焦点重合，则的值为mn2005 年高考全国试题分类解析（圆锥曲线）一、选择题：1重庆卷)若动点 ( x, y)

24、在曲线 x2y 21( b>0) 上变4b 2化，则 x2y 的最大值为 (A )(A)b24(0 b4)(B)4；(b4)2bb22) ； (C)b24( 0 b4 ；(D)442b(b2)2b；2. ( 浙江 ) 函数 y ax2 1 的图象与直线 y x 相切，则a ( B)(A)111(D)1(B)(C)2843. （天津卷）设双曲线以椭圆x2y2251 长轴的两99.( 全国卷 II)已知双曲线 x2y21的焦点为 F1 、F2 ，63点 M 在双曲线上且 MF1x 轴，则 F1到直线 F2M 的距离为 (C )(A)36(B)56(C)566(D)55610. 抛物线 x24 y 上一点 A 的纵坐标为4，则点 A 与抛物线焦点的距离为 (D )(A) 2(B) 3(C) 411. ( 全国卷 III) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）（ A）2（ B）21（ C）222 2（D） 2112.（辽宁卷） 已知双曲线的中心在原点，离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线y 24x的准线重合， 则该双曲线与抛物线y 24x的交点到原点的距离是（ B）A 23 + 6B21(D) 5个端点为焦点， 其准线过椭圆的焦点， 则双曲线的渐近线的斜率为A