高中数学中的不等式

1、优秀学习资料欢迎下载高中数学中的不等式（一）目录前言（一）不等式的概念（二）不等式的基本性质（三）不等式的分类（四）常用不等式介绍（五）重要不等式介绍（六）两个重要的工具（七）不等式的证明例题介绍（八）不等式的解法例题介绍（九）不等式的应用例题介绍（十）综述软件（数学公式编辑器，几何画板，lingo,matalab 等）正文：一不等式的概念不等式在我们的日常生活中很常见，它是与等式相对的一个概念。为了给不等式一个确切的概念，下面我介绍一下集合论的简单知识。“集合论创始人Cantor 称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西，人们能够意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。” 1

2、定义 1：如果 a是集合 A 的元素，则称a属于 A ，记作 aA，反之 , 如果 a不是集合 A 的元素，则称 a不属于 A，记作 a A 。 2定义 ：如果集合A和B的元素完全相同，则称A和 相等，记作AB，如果集合A2B中的每一个元素都是集合 B中的元素，称 A 包含于 B，记作 AB（当 B中还有不属于集合A的元素，则称A真包含于B，记作A）。 3B列出集合的元素的方式，一般采用枚举法、描述法和归纳法。其实我们可以将不等式归为一类集合，如下：U 不等式 f ( x1 , x2 , x3 ,.) 0或者 f ( x1, x2 , x3 ,.) 0 | f ( x1 , x2, x3 ,.

3、)为一个定义在实数集 R上的函数 。一般地，在数学上，不等式表明两个对象的大小或者顺序的二元关系。不等关系主要有四优秀学习资料欢迎下载种：ab , 即 a 小于bab , 即 a 大于b上述两个属于严格不等。ab , 即 a 小于等于bab , 即 a 大于等于bab , 即 a 不等于b将两个表达式用不等符号连起来， 就构成了 不等式。 若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的” 。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。我们现在就引入集合的几种运算，从集合理论中来对它进行更深刻的认识。定义 3.1：集合A与集合B的并集记为AB

4、，而AB x | x A或者 xB；定义 3.2 ：集合A与集合B的交集记为AB，而AB x | x A且 xB ；定义 3.3：集合A与集合 B的差集记为A-B ，而A-B x | x A且 xB 。根据上面的定义，我们就可以推出下面的运算性质：定理 1：设 E 为全集，则对任意子集A,B,C 而言，我们有如下的结论：（1）并的交换律： AB=BA；（2）交的交换律： AB=BA；（3）并的结合律： A(BC)=(AB)C；（4）交的结合律： A(BC)=(AB)C；（5）并对交的分配律：A(BC)=(AB)（6）交对并的分配律：A(BC)=(AB)（7）零元： A=A， A=；（8）单位元

5、： AE=A， AE=E。(A(AC) ；C) ；它们的证明可以参看朱梧槚、肖奚安教授所著集合论导引25 页的证明。要理解不等式，其实质上是“不等”，我们就利用上面的知识来阐释“不等”。当然我们还要一个概念卡氏积，下面就来介绍卡氏积。首先，我们给出“序偶”的概念。1921 年， K.Kuratowsk 给出的定义，也是我们现在普遍采用的一种。优秀学习资料欢迎下载定义 ：<>=, 。5x, yxx, y我们利用集合的定义及性质，可以证明得出下面的定理。定理5：<>u,vx且。x, yu yv证明： <>u,v，则有, , 下面我们分两种情况x, yxx, yu

6、 u,v进行分类讨论：1）当时则有=, 即<>=<>=, 于是得到 xy,xx, xx, yx, xxuu,vx= ，根据集合的定义，yu。uu, vxv2）当时则有 ，于是,若 ，则，然后xy,xx, yxuu,vxuxu,得出；若 ，则，从而有 ,x, yu,vx, vyuxu,vx uvxx, y,即= ，矛盾。uu,vx,xx, y因为且，则 ， ，因此<>= , ,xuyvxux, yu,vx, yxx yuu, v。u,v定义 6：设两个集合A， B，则 A与 B的卡氏积如下定义，记为AB，即A B x, y | x A且 y B上述定义表明卡氏

7、积AB是由序偶x , y所组成的集合。然而卡氏积这个概念与不等式的关系不大，如果我们将不等式中的“不等”单独地提出来看，其实不等式中核心的部分是不等这个关系，因此我们需要“关系”这个数学概念。因此我们就用上面的所建立的卡氏积概念来定义，如下：优秀学习资料欢迎下载定义 7：设两个集合 A， B为，则把卡氏积AB的任意子集 R称为 A与 B的元素之间的一个关系，如果A=B，则称为 R为 A上的关系。 4根据定义，我们知道关系也是一个集合，那么“ 不等 ” 这个关系也是一个集合，然而我们限定的不等只是在实数上比较，而不是那种更广义的“ 不等 ” 。接下来我们将介绍关系的运算以及分类。先来给出运算的定

8、义：定义 7.1：设 R1AB, R2BC ,则由 R1和 R2合成之由 A到 C的复合关系被 定义如下，并记为 R1R2，即R1R2 a,c| aA & cC &b(bB& a,bR1 & b, cR2 )它表示 R1R2AC，并对任意的 a A和 cC，a( R1R2 )cb(bB & aR1 b & bR2c)举一个例子，当A a, b, c ，则R1 a,b , a, c , c,b R2a,b ,b,c,c, a都是 A A上的二元关系，然而R1R2 a,b,a,c,c,bR2R1 b,b , b,c , c,a 显然， R1R2R2

9、R1，所以在一般情况下，关系的复合运算是不可交换的。对于关系这个特殊的集合，它的特殊运算性质如下：定理 7.1 ：设 R1A B,R2B C,R3C D,则R1 （R2R3）（ R1 R2） R3它的证明利用集合证明问题的两种普遍方法（利用集合运算规则，或者利用集合的定义）得到，它表示的是关系的运算满足结合律。定理 7.2: 设 R1AB, R2B C,R3B C，R4C D,则（1） R1 （R2R3） R1 R2R1 R3（2）（ R2 R3） R4R2R4R3R4实际上我们看到关系对于并运算满足分配律。现在我们来对关系的运算进行说明，首先定义六个基本的二元关系的特性，依次为自反性，反自反

10、性，对称性，反对称性，拟反对成性和可传性，然后而我们利用这些特性来对关系分类。关系的这些特性是从实际生活中抽象出来写成数学语言，现在就列在下面：优秀学习资料欢迎下载定义 8.1：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为自反的，并记为 R ref ,即Rref a(aAa, aR).定义 8.2：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为反自反的，并记为 R irref , 即Rirref a(aAa, aR).定义 8.3：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为对称性的，并记为 R sym, 即(aA&b A&,bR,R).R syma bab a定义 8.4：集合

11、 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为反对称性的，并记为 R asym,即Rasymab(aA & bA&a, bR&b, aRab).定义 8.5：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为拟反对称性的，并记为 R imasym, 即(aA&&,bR,R).Rimasyma bb Aab a定义 8.6：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为传递性的，并记为 R tra , 即R tra a bc(aA & bA & cA&a, bR&b,cRa, cR).上面所列举的特性对于“不等式”中的不等关系是成立的，由

12、于等式与不等式相对应，先给出一个简单的关系等价关系。定义 9.1：如果集合 A上二元关系 R满足下述条件，则 R被定义为 A上之等价关系，并记为 R ，即RRAA & Rref & Rsym & Rtra 我们现在能够理解“=”是等价关系，因为“=”满足自反性，对称性，传递性。那么，“不等”的性质在下面作出详细的介绍：优秀学习资料欢迎下载定义 9.2：非空集合 A上的二元关系 R如果满足下述条件，则 被定义为 A上的偏序关系：RAA & Rref & R asym & R tra我们经常用表示偏序关系。下面我 们定义一个称作全序的 概念：定义：非

13、空集合 上的偏序关系 如果满足下述条件，则 被定义为 上的全序9.2ARA关系：RAA &ab(a A & b A或者）a bab我们经常用表示全序关系，显然我们能 够得出这样的结论 全序一定是偏序，这里举几个例子来说明 这一点：正整数集合 N 上的整除关系 | 上偏序关系，不是全序 ，这里用（ N ，|）来表示。下面给出 | 关系在 N 的定义： m, n N ，若 n k m，其中 k N ，则 m | n，记作 m，n |。现在来验证 | 满足偏序的几个条件， （1）自反性，因为 n N ，n 1 n，则n, n|；（ ）反对称性，当n, mN，m,nN，即，有m，2n

14、| mk nm | n有，k , l N，则k l，故k=l。（ 3）传递性，如果 <|， <即n l m1 k =l =1n,mm, s|,，有，则，即n | s, n,s|,因此满足传递性。n | m m | sm k n s l ms k l n|下面我们来举例子说明不是全序关系，<3,7>| ， <7,3>| ，不满足全序关系的定义。|根据上面集合理论，我们经常使用的“不等”关系显然的是属于全序关系，现在我们给出一个称为严格全序关系的定义：定义：非空集合上的二元关系，如果满足下述条件，则被定义为上的严格偏序：9.3ARA&&R A A

15、 Rimasym Rtra 定义：非空集合上的严格偏序 <，如果满足下述条件，则被定义为上的严格全序：9.4AA<A A&ab(a A & b&或< ><)A a ba,bb, a现在我们可以将不等式大致地分为两类，一类是用“<”或“ >”表示的不等式，它显然的是属于严格全序关系；另一类是用“”或“”表示的不等式 ，它属于全序关系。因此我们就可以定义不等式了，即两个代数式满足全序关系。根据上面的介绍，可以得出不等式的基本性质。二不等式的基本性质1)对称性： abab;2) 传递性：若 ab,bc,则 ac;上面两个性质是直接可以

16、利用全序关系之直接得出，而我们特别的注意到全序关系的特殊性，因此我们有：若 ab， ba，则 ab.（ ）下面对于运算有另一些性质：优秀学习资料欢迎下载3)加法保序性：若ab,则ac b；c4)乘正数保序性：若ab, c0,则ac。bc我们可利用这四条性质导出更多的式子，例如下面一些：若ab, c则acbc;1)0,2)若ab,cd,则acbd;3)若ab0,cd0,则acbd;114)若ab0,n N ,则 anbn , anbn .我们列举两个例子来进行证明：1)是明显，因为 - c0,可以利用基本性质 4）得到，- acbc,再利用基本性质3）两边同时加上 bc,得到 bcac0,同理可

17、以得到，两边再加上 ac，得到结论。4）先要证明 3）是正确的，由基本性子 4）， ac bc, bcbd ,再利用基本性质2）得到结论，1于是，就有 a 2b2 ,依次类推可以得到anbn , 对于另一个结论，我们做一种转化，令 c a n ,1dbn , 就是要证明 cd,因为 c nd n ,如果 0c d ,利用第一个结论得到c nd n , 则得到矛盾。从而结论成立。三 不等式的分类在世界上，不等关系远远多于相等关系，而我们知道关系是可以进行分类的，下面我们介绍几重分类方式，以帮助学生进行更好的记忆及应用。我们知道，对关系进行分类，我们需要对集进行全面的了解，而不等式是如此之多，但我

18、们很容易的得出一种分类方式，及利用全序与非全序得到两种不等式，根据它们自身的性质，其中区别是全序具有即当 ab,ba,则 ab，对于“”关系不成立。然而这样的分类并没有怎样在学生学习有任何大的帮助，于是我们探求更好的分类的方式。在高中阶段，学习的都是初等不等式，一般书上都是分成几类经典的不等式，如均值不等式、几何不等式、柯西不等式、琴生不等式等，这样的分类能够让学生更加容易掌握并应用。但是它并没有将初等的不等式进行完整的概括。为了更全面的认识，首先引进函数的概念，因为不等式的两端可以看作一个函数，例如" a 2b22ab" ,我们可以看作是函数f ( x, y)x 2y2与

19、函数 g (x, y)2xy,即f ( x, y)g( x, y).现在我将对初等函数进行分类，如下：多项式函数：（常数函数看作是零多项式函数）指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：因此我将根据初等函数来对不等式进行分类，高中不等式的种类大概可以分成优秀学习资料欢迎下载1234531种。C5C5C5C 5 C5这样，我们就可以很容易的将所有初等多项式做完整的分类。这里再提出一类重要不等式，绝对值不等式，它可以由我们的多项式函数表示出来，如y| x |x2。还有我们所熟知的数列不等式，以及组合不等式，我们可以看作他们的定义域是在 N 上的函数，例如S(n)n( n1) 等。2现在我们来证明我

20、们的分类是成立的。首先，我们记为多项式函数类，L为指数函数类，为对数函数类，三角函L 12LL数类，为反三角函数类,L12表示含有指数函数与多 项式函数类，依次类推 ，就L可以将类表示出来。31现在我们来进行证明，L i 1i 2i 3i 4 i5L j1 j2 j3 j 4 j5，其中i（注：1i 2 i 3 i 4 i 5j1 j 2 j 3 j4 j5i 1i 2i 3i 4i 5没有次序，例如， 是相同的，与 也是相同的）如果L i1i2 i 3i4 i 5L j1 j2 j3 j4 j 513 3111313，那么存在一个元素 xL iiiii 且xL jjjjj ，即x这个不等式中必然存在 既有1234512345L i，L i2，L i， L i， L i，以及 L j， L j，L j，L j，L j5中的元素（注： L i，L i，L i i，L i5可能有相同的元素， L