矩阵论第1章线性空间一(1-4)

1、常用记号一 用R 表示实数域，用C表示复数域。 R n 表示n维实向量集合； C n 表示n维 复向量集合； 表示 实矩阵集合； 表示 复矩阵集合；nmRnmCnmnm)(,;)(,rArankCACrArankRARnmnmrnmnmr常用记号二 n阶单位矩阵 n阶矩阵的行列式 矩阵 A的范数 向量b的范数 n阶矩阵A的 逆矩阵A-1 ; 矩阵A的广义逆矩阵A+ , A-.),det();1 , 1 , 1 (nnnCAAAdiagIbA;nm复数基本知识 称下列形式的数为复数 z = a + b i 其中a , b 都是实数，i 2 = -1; 称a 是复数z的实部， b i 是复数z的虚

2、部； Z的共扼复数为biaz代数基本定理代数基本定理 任意n次多项式必有n个复根。即).()(210111nnnnnnxxxaaxaxaxannnaannaan01) 1(;2121其中第一章第一章 第一节第一节 线性空间线性空间主要内容：主要内容：1 1线性空间的定义及其性质线性空间的定义及其性质2 2向量组的线性相关性向量组的线性相关性概述概述 线性空间是n维向量空间R n 的推广,是矩阵理论的基础。线性空间是一类具有“线性结构线性结构”的元素集合，这种线性结构是通过两种线性运算“加法”、“数乘”在一定公理体系下给出的。数学空间是指一个赋予了“某种结构”的集合。定义 设V是一个非空集合，F

3、是一个数域（如实数域R或复数域C），如果在V上规定了下列两种运算，则称V是数域F上的一个线性空间1加法运算 对V的任意两个元素x、y，都有V的 唯一的“和” ，且满足（1）交换律 x+y=y+x;（2）结合律 x+(y+z)=(x+y)+z;（3）存在0元 x+0=x;（4）存在负元-x x+(-x)=0 .Vyx2数乘运算 对V的任一元x，及F的任一数k，都存在唯一的“积” ，且满足（5）分配律 k(x+y)=k x+k y（6）分配律 (k+l)x=k x+lx（7）结合律 k(lx)=(k l)x（8）1x=xVkx 线性空间的元素也称为向量，它比n维向量有更广泛的含义。注意注意：上述定

4、义所规定的加法运算与数乘运算也称为V的线性运算，满足“封闭性”，即对V的任意两个元素及F的任一数k，所定义的“和” 与“积” 仍属于V。当F是实数域时，V称为实线性空间；当F是复数域时，V称为复线性空间。n维实向量空间是线性空间，仍记作 ；n维复向量空间是线性空间，仍记作 。 nRnC可以验证：,baC例4 闭区间a,b上所有连续函数的集合在函数加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为线性空间实例线性空间实例例1 所有 型矩阵在矩阵加法和数乘运算下构成一个线性空间，记为nm, 2 , 1 , 0,|2210niCaxaxaxaaxPinnn 例3 常系数二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加法与

5、数与函数的乘法构成一个线性空间。例2 所有次数不超过n 的多项式在多项式加法和数乘运算下构成一个线性空间,记为nmnmCR或或相容的线性非齐次方程组解的全体按中的运算不构成线性空间bAx nC非线性空间举例非线性空间举例所有n阶可逆矩阵在矩阵加法和数乘运算下不构成线性空间（0矩阵不可逆）。所有次数等于n 的多项式在多项式加法和数乘运算下不构成线性空间。定理定理 设设V V是数域是数域F F上的一个线性空间，则上的一个线性空间，则（1 1）V V的零元是唯一的；的零元是唯一的；（2 2）V V中任意元的负元是唯一的；中任意元的负元是唯一的；（3 3）（4 4）如果）如果 ，则，则k=0k=0或或

6、 。 FkVk,) 1(, 00, 000k0（证明略）（证明略）线性表示线性表示则称则称x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x p p线性表示线性表示，称称x x是是x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x p p的线性组合的线性组合。xxxxp,21p,21ppxxxx 2211例在二维空间例在二维空间R R2 2中，任意一个二维向量中，任意一个二维向量 都可由标准单位向量都可由标准单位向量e e1 1 , e , e2 2 线性表示。线性表示。22112121,10,01exexxxee设设V V是一个线性空间，是一个线性空间，是是V V的向量组。的向

7、量组。如果存在一组数如果存在一组数使得使得例在二维空间例在二维空间R R2 2中，任意一个二维向量中，任意一个二维向量 都可由都可由 向量向量f f1 1 , f , f2 2 线性表示。线性表示。11,1121ff21xx其中则有22122121ffxxxx例例3在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得321,111,011,001321XXX332211XkXkXk,321111011001321kkk求解321332321kkkkkk3, 1, 1321kkk注：注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求解问题解问题。如果向量

8、组如果向量组 与与 可以相互表示，可以相互表示，则称向量组则称向量组 与向量组与向量组 是等价的。是等价的。 p,21p,21q,21q,21p,21给定线性空间给定线性空间V V 的两个向量组的两个向量组 与与 ，如果如果 中的每一个向量都可以由向量组中的每一个向量都可以由向量组 线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组 可以由向量组可以由向量组 线性表示；线性表示； p,21q,21p,21q,21q,21等价向量组具有：自反性、对称性、传递性等价向量组具有：自反性、对称性、传递性 设设x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x p p是线性空间是线性空间V V 的向量组。如的向量

9、组。如果存在一组不全为果存在一组不全为0 0的数的数k k1 1 ,k ,k2 2 , , ,k ,k p p使得使得02211ppxkxkxk则称向量组则称向量组x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x p p是线性相关的；是线性相关的；否则，就称向量组否则，就称向量组x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x p p是线性无是线性无关的。关的。线性相关线性相关命题一命题一 向量向量组组x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x p p是线性无关的充要是线性无关的充要条件是仅当条件是仅当k k1 1 =k =k2 2 = =k =k p p=0 =0 时成立时成立0

10、2211ppxkxkxk命题二命题二 向量组向量组x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x p p是线性相关的充是线性相关的充要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表示。示。等价命题等价命题1、在线性空间、在线性空间 中，中， nmnmCR或或其中其中 表示第表示第i行元素第行元素第j列元素列元素1，其它元素为，其它元素为0的的矩阵。矩阵。ijE),;,(njmiEij2121线性无关。线性无关。可以证明：可以证明：, 2 , 1 , 0,|2210niCaxaxaxaaxPinnn2 2、在线性空间、在线性空间nxxx,21中，中， 线性

11、无关。线性无关。例例4 4 在四维空间在四维空间R R4 4中，讨论下列向量组的线性相关性。中，讨论下列向量组的线性相关性。1001,1021,0011,01204321解解 设存在一组数设存在一组数 ，4321,xxxx044332211xxxx010011021001101204321xxxx000220431321432xxxxxxxxx04321xxxx使得使得即即改写成线性方程组为改写成线性方程组为求解线性方程组得唯一求解线性方程组得唯一解解4321,线性无关线性无关思考思考在四维在四维线性空间线性空间 中，讨论下列向量组的线性相关性。中，讨论下列向量组的线性相关性。1001,102

12、1,0011,01204321AAAA22R并称并称 r r 为向量组的秩，记为为向量组的秩，记为则称则称 是向量组是向量组 的极大无关组；的极大无关组；p,21r,21(2)(2)任一向量任一向量 可由可由 线性表示；线性表示；ir,21（1） 是线性无关组，是线性无关组，r,21rrankp),(21p,21说明：一般地，向量组的极大无关组不是唯一的，但向说明：一般地，向量组的极大无关组不是唯一的，但向量组的每一个极大无关组都与向量组自身是等价的，并量组的每一个极大无关组都与向量组自身是等价的，并且向量组的每一个极大无关组中所含有的向量的个数都且向量组的每一个极大无关组中所含有的向量的个数

13、都等于向量组的秩。等于向量组的秩。定义定义 设设 是线性空间是线性空间V V的向量组的向量组, ,如果如果第二节第二节 线性空间的基与坐标线性空间的基与坐标主要内容：主要内容：一、线性空间的基与向量在基下的坐标一、线性空间的基与向量在基下的坐标二、坐标变换与过渡矩阵二、坐标变换与过渡矩阵设设x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n是线性空间是线性空间V V的向量组的向量组, ,如果如果 （1 1） x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n是是V V的线性无关组，的线性无关组， （2 2）V V的任一向量的任一向量x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2

14、, , ,x ,x n n线性表示；线性表示；则称则称x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n是线性空间是线性空间V V 的一组基。的一组基。称称n n是线性空间是线性空间V V 的维数，记作的维数，记作dimVdimV。或称线性空间或称线性空间V V 是是n n维线性空间维线性空间即：即：线性空间的维数是其基中所含向量的个数。线性空间的维数是其基中所含向量的个数。一、线性空间的基与向量在基下的坐标一、线性空间的基与向量在基下的坐标若在若在V V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V V是无限维线性空间是无限维线性空间例例1 1、 证明

15、：在三维向量空间证明：在三维向量空间R R3 3中，中， x x1 1 ,x ,x2 2 , , x x3 3 与与y y1 1 ,y ,y2 2 , y , y3 3都是线性空间都是线性空间R R3 3 的一组基的一组基100,010,001321xxx111,011,001321yyy说明：线性空间的基不唯一说明：线性空间的基不唯一这是因为：这是因为：, 01100010001, 01100110111从而它们各自都线性无关，从而它们各自都线性无关， 而对于任意向量而对于任意向量,),(3321RxT分别有：分别有：332211xxxx33232121)(xxyx）（例例2 2、RxRxn

16、 n表示所有次数不超过表示所有次数不超过n n 的多项式所构的多项式所构成的一个线性空间成的一个线性空间, ,则则: :可以验证：可以验证：1 , x , x 1 , x , x 2 2 , , , x , x n n是线性空间是线性空间RxRxn n 的一组基的一组基, Rx, Rxn n的维数是的维数是n+1n+1。RxRxn n是是n+1n+1维线性空间维线性空间RxRx 表示实系数多项式所构成的一个线性空间，表示实系数多项式所构成的一个线性空间，则则: :RxRx 是无限维线性空间是无限维线性空间因为对于任何整数因为对于任何整数N，多有，多有N个线性无关的向量个线性无关的向量1 , x

17、 , x 1 , x , x 2 2 , , , x , x N N。则则E E ijij:i:i=1,2, =1,2, ,m;j=1,2, ,m;j=1,2, ,n,n是线性空间是线性空间则则 是是m mn n 维线性空间维线性空间nmC列第行第jiEij000010000令令E E ijij为第为第(i,j)(i,j)元为元为1 1，其余元为，其余元为0 0的的 m mn n矩阵矩阵, ,nmC的维数是的维数是 m mn n 。nmC例例3 3、 表示所有表示所有m mn n 矩阵构成一个线性空间，矩阵构成一个线性空间，nmC的一组基的一组基, ,引理引理设设x x1 1 ,x ,x2 2

18、 , , ,x ,x n n是线性空间是线性空间V V 的一组基，则对于的一组基，则对于V V的任一元的任一元x x， x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n唯一线性表示。唯一线性表示。nnnnxxxxxxx22112211证明证明 设设x x可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n有两种线性表示：有两种线性表示：niii, 2 , 1,0ii0)()()(222111nnnxxxx x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n是线性空间是线性空间V V 的一组基，它们线性无关，的一组基，它们线性无关，坐标坐标 设设x x1

19、 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n是线性空间是线性空间V V 的一组基，的一组基，则称则称x x由由x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n唯一线性表示的系数为向唯一线性表示的系数为向量量x x在基在基x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n下的坐标，记下的坐标，记为为X.X.nnxxxx2211TnX21nnxxx2121即设即设则则引入坐标的意义就在于将抽象的向量与具体的引入坐标的意义就在于将抽象的向量与具体的数组向量联系起来了。数组向量联系起来了。说明：说明：在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐标

20、一般是不同的。例如：标一般是不同的。例如：例例4 4、在、在R R3 3中，中， x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3是与是与y y1 1 ,y ,y2 2 , y , y 3 3都都是线性空间是线性空间R R3 3 的一组基的一组基100,010,001321xxx111,011,001321yyy向量向量3321),(RxT在这两组基下的坐标分别为在这两组基下的坐标分别为T),(33221,),(321T引理引理 n n维线性空间维线性空间V V 的任意的任意n n个线性无关的向量个线性无关的向量x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n都可构成线性空间都

21、可构成线性空间V V 的一组基。的一组基。证明证明 设设x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n 是是n n维线性空间维线性空间V V 的任意一组的任意一组线性无关的向量，线性无关的向量，x x是是V V的任一向量，只要证明：的任一向量，只要证明：设存在一组不全为设存在一组不全为0 0的数的数k k , , l l 1 1 , , l l 2 2 , , , , l l n n使使02211nnxlxlxlkx由于由于x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n 是线性无关的，故是线性无关的，故0knklklklxxxxn2121所以所以X X可由可由x x1

22、1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n是线性表示。是线性表示。X X可由可由x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n是线性表示即可是线性表示即可进而进而因此因此x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n可构成可构成V V 的一组基的一组基 推论推论1 1 在在n n维线性空间中，任意维线性空间中，任意m(mn)m(mn)个个向量必是线性相关的向量必是线性相关的 推论推论2 2 在在n n维线性空间中，任意两组基维线性空间中，任意两组基中所含的向量的数目相同。中所含的向量的数目相同。 下面，讨论当线性空间的基改变时，向量的坐标下面，讨论当线性空间的基改

23、变时，向量的坐标如何变化，为此，首先介绍过渡矩阵的概念。如何变化，为此，首先介绍过渡矩阵的概念。二、基变换与过渡矩阵二、基变换与过渡矩阵 x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n与与y y1 1 ,y ,y2 2 , , , y , y n n是是n n维线性空维线性空间间V V的两组不同基。则由基的定义，有的两组不同基。则由基的定义，有nnnnnnnnnnxpxpxpyxpxpxpyxpxpxpy22112222112212211111称称P P是由基是由基x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n到基到基y y1 1 ,y ,y2 2 , , , y ,

24、y n n的过的过渡矩阵。渡矩阵。Pxxxyyynn2121记作：记作：nnijpP)(其中其中过渡矩阵结论过渡矩阵结论(1) (1) 过渡矩阵过渡矩阵P P是可逆矩阵；是可逆矩阵；同一向量在不同基下的坐标是不同的。设同一向量在不同基下的坐标是不同的。设YyyyXxxxxnn,2,121得坐标变换公式得坐标变换公式(2) (2) 设设P P是由基是由基x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n到基到基y y1 1 ,y ,y2 2 , , , y , y n n的的过渡矩阵，则过渡矩阵，则P P-1-1是由基是由基y y1 1 ,y ,y2 2 , , , y , y n n到

25、基到基x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x n n的过渡矩阵。的过渡矩阵。XPY1PYxxxn,21由于基向量线性无关，则由于基向量线性无关，则,PYX 例例5 5、求向量、求向量 在基在基x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3下的坐标下的坐标121,111,011,001321XXX解法解法1 1： 由向量坐标的定义，可设：由向量坐标的定义，可设：332211XXX332321121得方程组得方程组解方程组即可解方程组即可由自然基到基由自然基到基x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3的过渡矩阵为的过渡矩阵为1001100111P111121100

26、1100111XPY解法解法2 2：,100110111P求得求得利用坐标变换公式，则基利用坐标变换公式，则基x x1 1 ,x ,x2 2 , x , x 3 3的坐标为的坐标为自学自学P8例例1.2.6；练习；练习P23：4第三节第三节 线性子空间线性子空间主要内容：主要内容：一、子空间与生成子空间一、子空间与生成子空间二、子空间的运算二、子空间的运算三、子空间的直和三、子空间的直和 1 1、定义：设、定义：设V V是一个线性空间，是一个线性空间，S S是是V V的一个子集，的一个子集，如果如果S S关于关于V V的加法及数乘也构成一个线性空间，则的加法及数乘也构成一个线性空间，则称称S

27、S是是V V的一个子空间。仍记为的一个子空间。仍记为 定理定理 : : 线性空间线性空间V V的一个子集的一个子集S S是是V V的一个子空的一个子空间当且仅当间当且仅当S S关于关于V V的加法及数乘是封闭的，即的加法及数乘是封闭的，即VS SyxFSyx,说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为零子空间。零子空间。一、子空间与生成子空间一、子空间与生成子空间 设设x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x k k 是线性空间是线性空间V V

28、的任意一组向量，的任意一组向量，则称所有则称所有x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x k k线性表示的集合构成的子空线性表示的集合构成的子空间（可以验证其为间（可以验证其为V V的子空间）为生成子空间，的子空间）为生成子空间，记记),(:212211kkkxxxLxxxxVxL例例 在三维向量空间在三维向量空间R R3 3中，中，e e1 1 ,e ,e2 2 , e , e 3 3是自然基。是自然基。则则 e e1 1 ,e ,e2 2的生成子空间是的生成子空间是x x1 1 -x -x2 2 平面；平面；e e2 2 ,e ,e3 3的生成子空间是的生成子空间是x x2 2

29、x x3 3 平面；平面；e e1 1 ,e ,e3 3的生成子空间是的生成子空间是x x1 1 x x3 3 平面；平面；2 2、生成子空间、生成子空间例例1、n元齐次方程组元齐次方程组 的解的集合构成线性空间，的解的集合构成线性空间，Ax称为解空间，记为称为解空间，记为, )(AN.)(nRAN若设若设 则则,)(rArank.)(dimrnAN即即,)(AxxAN称称 为为A的核空间，的核空间，A的核空间的维数称为的核空间的维数称为A的零度。的零度。)(AN例例2、矩阵、矩阵A的列空间：的列空间：.,)(nnmRxRAAxyyAR矩阵矩阵A的列空间又称为的列空间又称为A的值域，记为的值域

30、，记为设矩阵设矩阵,21nA则则.),(21mnRL),(21nLy有有,2211Axxxxynn生成子空间的维数生成子空间的维数 x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x k k 的任一极大无关组构成生成子空间的任一极大无关组构成生成子空间L(xL(x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x k k ) ) 的基。的基。基的扩充定理基的扩充定理 n n维线性空间维线性空间V V 的任意一组线性无关的任意一组线性无关的向量的向量x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x r r 都可扩充为线性空间都可扩充为线性空间V V 的一组的一组基。（可用归纳法证明）基。（可用归纳法

31、证明） 记记dim L (xdim L (x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x k k )= r )= r r r为向量组为向量组x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x k k的秩的秩. .从而有：从而有：;)(dimrankAARnANAR)(dim)(dim二、子空间的运算二、子空间的运算 设设S S1 1 ,S ,S2 2 是线性空间是线性空间V V 的两个子空间，定义子的两个子空间，定义子空间的交空间与和空间（仍为空间的交空间与和空间（仍为V V的子空间）：的子空间）：,2121SxSxVxSS,22112121SxSxxxxVxSS例如，在线性空间例如，在线性空

32、间R3中，中， v v1 1 表示过原点的直线表示过原点的直线L L1 1 上所有上所有向量形成的子空间，向量形成的子空间，v v2 2 表示另一条过原点的直线表示另一条过原点的直线L L2 2 上所上所有向量形成的子空间，则有向量形成的子空间，则21VV 是由原点（是由原点（ L L1 1 与与L L2 2的交点）构成的零子空间；的交点）构成的零子空间； 21VV 是由是由 L L1 1 与与L L2 2所决定的平面上全体向量构成的所决定的平面上全体向量构成的子空间。子空间。 子空间的维数公式子空间的维数公式要证明要证明)dim()dim()dim()dim(212121SSSSSStSSs

33、SrS)dim(,)dim(,)dim(2121tsrSS)dim(21设设S S1 1 ,S ,S2 2 是线性空间是线性空间V V 的两个子空间，则的两个子空间，则证明证明记记将它分别扩充为将它分别扩充为S S1 1 ,S ,S2 2的基的基x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x t t , y, y1 1 ,y ,y2 2 , , y , y r-t r-t 与与x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x t t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , , ,z ,z s-t s-t 事实上，取事实上，取 的一组基的一组基x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,

34、x ,x t t, ,21SS 只需证明只需证明S S1 1+S+S2 2的基恰好是的基恰好是x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x t t , , y y1 1 ,y ,y2 2 , , ,y ,y r-t r-t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , , ,z ,z s-t s-t 0111111tststrtrttzqzqypypxkxk21SSxttxlxlx11设设)(111111tststrtrttzqzqypypxkxkx 记记则则从而可设从而可设由由)(1111tststtzqzqxlxlx进而得进而得x=0,x=0,及及01111trtrttypypxkxk

35、 故向量组故向量组x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x t t , , y y1 1 ,y ,y2 2 , , ,y ,y r-t r-t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , , ,z ,z s-t s-t 线性无关，并构成线性无关，并构成S S1 1+S+S2 2的基。的基。0)(1111tststtzqzqxlxl011tstqqll得得由由x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x t t , , z z1 1 ,z ,z2 2 , , ,z ,z s-t s-t 为为S S2 2的基知的基知011trtrtyppkk),(),(212211LLLL7311

36、,1012,1111,01212121),(212121LLLL121,2121,3dim21 LL121,例例3 3、求、求的交空间与和空间的维的交空间与和空间的维数与基数与基解解 由于由于并且并且是是的极大线性无关组，故的极大线性无关组，故是和空间是和空间L L的一组基。的一组基。由维数公式得交空间的维数是由维数公式得交空间的维数是1 1，现在要求交空间，现在要求交空间的一组基。的一组基。得出基础解系（得出基础解系（1 1，-4-4，3 3，-1-1）T T22112211llkk0703020221222121212121llklkkllkkllkkT4, 3, 2, 5342121是交

37、空间的一组基。是交空间的一组基。 21LL 设设，则则解齐次线性方程组解齐次线性方程组则则022112211llkk 设设S S1 1 ,S ,S2 2 是线性空间是线性空间V V 的两个子空间，如果交空的两个子空间，如果交空间间=0=0，则称和空间为直和，记做，则称和空间为直和，记做三、子空间的直和三、子空间的直和21SS 定理定理: : 设设S S1 1 ,S ,S2 2是线性空间是线性空间V V的两个子空间，则下列命的两个子空间，则下列命题等价题等价221121,SS)dim()dim()dim()4(2121SSSS21SS 可唯一表示成可唯一表示成的任意元的任意元 （2 2）和空间）

38、和空间21SS 为直和；为直和；（1 1）和空间）和空间（3 3）若）若 是是S S1 1的基，的基，r,21t,21是是S S2 2的基，的基，则则 是是,21rt,2121SS 的基。的基。自学自学P11定理定理1.3.5命题命题 设设S S是是n n维线性空间维线性空间V V 的一个子空间，则存在子空的一个子空间，则存在子空间间T , T , 使得使得TSV并称并称T T是是S S的补空间。的补空间。证明：证明：设设x x1 1 ,x ,x2 2 , , ,x ,x k k是是S S的一组基，则它可扩充为的一组基，则它可扩充为V V的一组基的一组基x x1 1 ,x ,x2 2 , ,

39、,x ,x k k，x x k+1k+1， ,x ,x n n, ,令令),(1nkxxspanT则则)dim()dim(dimTSV从而从而TSV练习练习P23：5, 6第四节第四节 线性映射线性映射主要内容：主要内容：一、一、线性映射线性映射二、线性映射的矩阵表示二、线性映射的矩阵表示三、线性映射的运算（自学）三、线性映射的运算（自学）四、不变子空间（自学）四、不变子空间（自学）一、线性映射（变换）的定义及性质一、线性映射（变换）的定义及性质则称则称T T是从是从V V到到W W的一个线性映射或线性算子。的一个线性映射或线性算子。212121)(,TxTxxxTFVxx成立设设V,WV,W

40、是数域是数域F F上的两个线性空间，上的两个线性空间，T T是从是从V V到到W W的一个的一个变换（或映射），如果对于变换（或映射），如果对于当当 V=WV=W时时, T, T也称为也称为V V上的一个线性变换。上的一个线性变换。xTxxxVVT:00:TxxVVT例例1 1 恒等变换恒等变换例例2 0-2 0-变换变换线性变换举例：线性变换举例：例例3 3 求导运算是多项式空间求导运算是多项式空间C C n n x x 上的线性变换。上的线性变换。)( )(:,)()(0 xpxpxCxCTCaxaxpxpxCnndxdniiiin例例4 4 定义在闭区间定义在闭区间a,ba,b上的所有连

41、续函数的集合上的所有连续函数的集合Ca,bCa,b是一是一个线性空间，则个线性空间，则Ca,bCa,b的积分运算是线性变换。的积分运算是线性变换。,)(,)()(baCxfdxxfxfTxa线性映射（变换）线性映射（变换） 有以下性质：有以下性质：WVT:;)() 1 (WVT; )()()2(TT（3 3）T T将将V V中的线性相关向量组映射为中的线性相关向量组映射为W W中的线性相中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W W中的中的线性无关向量组；线性无关向量组；（4 4）设）设 则则,1VV ,)(1WVT并且并且.dim)(dim1

42、1VVT线性变换的值域与核线性变换的值域与核设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，定义的一个线性变换，定义T T的值域的值域R(T)R(T)与核与核N (T)N (T)分别为分别为,)(VxTxyTR设设A A是是n n阶矩阵，阶矩阵，A A的值域的值域R(A)R(A)与核与核N (A)N (A)分别为分别为0:)(,)(AxRxANRxAxyARnn0:)(TxVxTN-T-T的全体像组成的集合的全体像组成的集合-零向量原像组成的集合零向量原像组成的集合实例实例求导运算求导运算T T在多项式空间在多项式空间p pn n x x 上的值空间上的值空间R(T)R(T)与与

43、核空间核空间N (T)N (T)分别为分别为R(T)=L1 , x , x2 , , x n-1 N(T)= 1 （1 1） T T的值域的值域R(T)R(T)与核与核N (T)N (T)都是都是V V的子空间；的子空间；（3 3）dim(R(T)+dim(N(T)=n.dim(R(T)+dim(N(T)=n.则则),()()2(21nTTTLTR定理：设定理：设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换，是是n n维线性空间维线性空间V V的基的基，n,21分别称为象子空间，核子空间；分别称为象子空间，核子空间；象子空间的维数象子空间的维数dim R(T) di

44、m R(T) 称为称为T T的秩，核子空的秩，核子空间的维数称为间的维数称为T T的零度（或亏）的零度（或亏）设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换，是是n n维线性空间维线性空间V V的基，的基，n,21nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111ATTTnnn),(),(),(21121称称A A为为T T在基在基 下的矩阵。下的矩阵。n,21二、线性变换的矩阵表示二、线性变换的矩阵表示（2 2）给定）给定n n维线性空间维线性空间V V的基后，的基后， V V上的线性变换上的线性变换与与n n阶矩阵之间存在一一对应关系。阶矩阵之间存在一一对应关系。基向量的象可以被