高中数学解题方法谈线性规划求最值问题

1、学习必备欢迎下载线性规划求最值问题一、与直线的截距有关的最值问题x2 0，例 1 已知点 P( x， y) 在不等式组y1 0，表示的平面区域上运动，则z x y 的x2 y 2 0取值范围是（）（A ） 2， 1（B ） 2， 1（C） 1， 2（D ） 1， 2解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑 zx y ，把它变形为 yxz ，这是斜率为1 且随 z 变化的一族平行直线 z是直线在 y 轴上的截距当直线满足约束条件且经过点（ 2， 0）时，目标函数 zxy 取得最大值为 2；直线经过点（ 0， 1）时，目标函数 zx y 取得最小值为1故选（ C）注：本题用“交点法”求出三个交点

2、坐标分别为（ 0，1），（ 2， 1），（ 2， 0），然后再一一代入目标函数求出 z=x-y 的取值范围为 1，2更为简单这需要有最值在边界点取得的特殊值意识二、与直线的斜率有关的最值问题xy 2 0，y 的最大值是 _例 2 设实数 x，y 满足 xc2 y4 0，则 z2 y 3 0，x解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2 ）， zyy0 表示两点xx0O(0，0)， P(x， y) 确定的直线的斜率， 要求 z 的最大值， 即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值由图 2 可以看出直线OP 的斜率最大，故 P 为 x 2y40 与 2y 30 的交点，即 A 点33 P

3、 1， 故答案为22注：解决本题的关键是理解目标函数zyy0 的yxx0几何意义，当然本题也可设t ，则 ytx ，即为求xy tx 的斜率的最大值由图2 可知， ytx 过点 A 时，t 最大代入 y tx ，求出 t3，2即得到的最大值是3 2三、与距离有关的最值问题学习必备欢迎下载xy2 0，例3 已知xy4 0， ，求 zx2y210 y25 的最小值2xy5 0，解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（ 3，1）、C（ 7，9）而 zx2( y 5)2表示可行域内任一点（x， y）到定点 M（ 0， 5）的距离的平方，过M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 在线段 A

4、C 上，故 z 的最小值是MN292注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等四、与实际应用有关的最值问题例 4 预算用 2000元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的15 倍，问桌、椅各买多少才行？分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解解题中应当注意到问题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设解：设应买 x 张桌子， y 把椅子，把所给的条件表示成50x20y，2000y ，不等式组，即约束条件为xy，1.5x，yN，x50x20y，x200，20007由，解得yy200 .x7 A 点的坐标为200200，7，750x20y，x25，200075由，解得y1.5xy.2 B 点的坐标为7525，2所以满足约束条件的可行域是以A200200，B75， 为顶点的三角形区，7725O(0 0)2域（如图4