第4章梁的内力——剪力和弯矩

1、第4章 梁的内力剪力和弯矩材材 料料 力力 学学姓名：鲁晓俊姓名：鲁晓俊单位：武昌理工学院单位：武昌理工学院第4章 梁的内力剪力和弯矩4.1 4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆4.2 4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩4.3 4.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图4.4 4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系4.5 4.5 按叠加原理作剪力图和弯矩图按叠加原理作剪力图和弯矩图4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆一、实例一、实例4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的

2、受弯杆4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆4.1.1 梁的受力与变形特点梁的受力与变形特点 外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力偶位于轴线平面内。偶位于轴线平面内。1. 受力特征受力特征2. 变形特征变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变形形式称为形形式称为弯曲弯曲。凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁梁。4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆4.1.2 平面弯矩的概念平面弯矩的概念 工程中常见梁的横截面工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对

3、称轴，往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对称面，当梁上所梁的纵向对称面，当梁上所有外力（包括荷载和反力）有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称纵向对称面内，这种弯曲称为为平面弯曲平面弯曲。 。1.弯曲变形和平面弯曲弯曲变形和平面弯曲AB qAB 4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆4.1.3 梁的简化梁的简化计算简图的选取计算简图的选取4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆（2）载荷类型：集中力、力偶、分布载荷）载荷类型：集

4、中力、力偶、分布载荷（3） 支座的类型支座的类型固定固定铰支座，铰支座，支反力支反力 FRx 与与 FRy可动可动铰支座，铰支座，垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR固定固定端，端，支反力支反力 FRx , FRy与矩为与矩为 M 的支反力偶的支反力偶4.1 工程实际中的受弯杆工程实际中的受弯杆4.1.4 梁的基本形式梁的基本形式简支梁：简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁一端固定铰支、另一端可动铰支的梁外伸梁：外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁具有一个或两个外伸部分的简支梁悬臂梁：悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁一端固定、另一端自由的梁常见静定梁静不定梁约束反力数超过有

5、效平衡方程数的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁FS剪力剪力M弯矩弯矩剪力剪力作用线位于所切横截面的内力作用线位于所切横截面的内力弯矩弯矩矢量位于所切横截面的内力偶矩矢量位于所切横截面的内力偶矩4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩4.2.1 截面法求梁的内力截面法求梁的内力使微段沿顺时针方使微段沿顺时针方向转动的剪力为正向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹使微段弯曲呈凹形的弯矩为正形的弯矩为正使横截面顶部受使横截面顶部受压的弯矩为正压的弯矩为正4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩符合的规定：符合的规定：一侧一侧)(1S niiFFFS剪力剪力M弯矩弯矩 0 0S1FFF,FAyy1S

6、 FFFAy 故故 0)( , 01bFabFMMAyC)( 1abFbFMAy 故故一侧一侧)(1 niCimM在保留梁段上，方向在保留梁段上，方向与切开截面正与切开截面正 FS 相反相反的外力为正，的外力为正，与正与正 M 相反的外力偶矩为正相反的外力偶矩为正剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，画所选梁段的受力图，FS 与与 M 宜均设为正宜均设为正 由由 S SFy = 0 计算计算 FS 由由 S SMC = 0

7、 计算计算 M，C 为截面形心为截面形心计算方法与步骤例 计算横截面计算横截面E、横截面横截面A+与与 D-的剪力与弯矩。的剪力与弯矩。解：0 , 0S AyEyFFFFFAy2 FFBy3 FFFAyA2S FMMAyA eFl FFD S00 FMDFFFAyE2S 2elFMMAyE 0 02 , 0 eAyECMlFMM4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩4.2.2 直接由外力求截面内力的法则直接由外力求截面内力的法则niiFF左（右）1S 即：某截面的剪力即：某截面的剪力等于该截面以左（或右）所有横向外力等于该截面以左（或右）所有横

8、向外力的代数和的代数和。如取左侧段梁，则向上的如取左侧段梁，则向上的力为正，向下的力为负力为正，向下的力为负；如取右侧段梁，则向上的如取右侧段梁，则向上的力为负，向下的力为正。力为负，向下的力为正。4.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩2.2.弯矩弯矩 mkkiniiMaFM左（右）左（右）左（右）左（右）11即某截面的弯矩即某截面的弯矩等于该截面以左（或右）外力对所求截面处等于该截面以左（或右）外力对所求截面处形心的力矩之和形心的力矩之和。4.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图FS= FS(x)M= M(x)一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪

9、力和弯矩用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程. .1.1.剪力方程剪力方程2.2.弯矩方程弯矩方程二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图 以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标x x表示横截面的位置表示横截面的位置, ,以纵以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩坐标表示相应截面上的剪力和弯矩. .这种图线分别称为这种图线分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图4.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图三、作图步骤三、作图步骤1 求支反力：求支反力：2 找找控制面控制面将梁分段将梁分段4 由前述由前述“直接由外力求截面内力的法则直

10、接由外力求截面内力的法则”计算剪力、弯矩计算剪力、弯矩3建立坐标系建立坐标系. .剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标在剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标在机电类中常以向上为正，在土建类中常以向下为正。机电类中常以向上为正，在土建类中常以向下为正。5 由剪力由剪力FS（x）和弯矩）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。）的表达式按比例作图。1、集中力作用点两侧截面、集中力作用点两侧截面2、集中力偶作用点两侧截面、集中力偶作用点两侧截面3、均布荷载起始和终点处截面、均布荷载起始和终点处截面4.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例例4.2 作图作图4-9（a）所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。）所

11、示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。YAABYBq=56.9kN/mql2ql2=177.5kN图图ql2=276.9kN.m2( )( )( )图4-9 例题4-2图解解 （1）求支座反力）求支座反力由由和对称条件知和对称条件知0Y 2ABqlYY4.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图（2）列出剪力方程和弯矩方程：）列出剪力方程和弯矩方程： 以左端以左端A为原点，并将为原点，并将x表示在图上。表示在图上。 20222AxxqlqxM xYqaxxl( )02AqlQ xYqxqxxl)(xFS（3）作剪力图和弯矩图）作剪力图和弯矩图例 4.3 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方

12、程，画剪力与弯矩图解：1. 支反力计算支反力计算2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程)(0 ,1S1axlbFFFAy )(0 ,2S2bxlaFFFBy )(0 ,1111axxlbFxFMAy )(0 ,2222bxxlaFxFMBy AC 段段CB 段段lbFFAylaFFBy4.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图4.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图3. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图11xlbFM 22xlaFM lbFF S1laFF S2 剪力图剪力图: 弯矩图弯矩图: 最大值最大值:lFabM max时）时）（ maxS,ablbFF 4. 讨论讨论在在 F 作用处作用处, 左

13、右横截面上左右横截面上的的弯矩相同弯矩相同, 剪力值突变剪力值突变FFF 左左右右SS4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系(a) 0)d(d 0SSS FFxqF,Fy(b) 0d2ddd 0S MxFxxqMM,MCqxF ddSSddFxM qxM 22ddq 向上为正向上为正x 向右为正向右为正注意：注意：梁微段平衡方程梁微段平衡方程4.4.1 微分关系微分关系4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系均布载荷下 FS 与 M 图特点直线直线 2次凹曲线 2次凹曲线 2次凸曲线 2次凸曲线qxF ddSSddFxM qxM 22dd4.4 荷载、剪力和弯

14、矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系例 1 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图斜线斜线ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2/16解：1. 形状判断形状判断2. FS 与与 M 计算计算4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系13 2 DDxlx83lxD 28328383 lqlqlMD3. 画画FS与与M图图1289 2qlMD 4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系例 2画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图解：1. 问题分析问题分析2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 2. 受力分

15、析受力分析 组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力 承受集中载荷承受集中载荷, FS 与与 M 图图由直线由直线构成构成4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零3. 画画 FS 图图水平直线水平直线4. 画画 M 图图直线直线23maxSFF 23maxFaM 4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系 利用微分关系，确定各梁段利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩剪力、弯矩图的图的形状形状 计算各梁段计算

16、各梁段起点起点、终点终点与与极值点极值点等等截面的截面的剪力剪力与弯矩与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩剪力与弯矩图图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由图一定由直直线所构成线所构成 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定微分关系法要点微分关系法要点4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系4.4.2 积分关系积分关系)(d)(dSxqxxF由由在在x=a和和x=b处两截面间对上式积分：处两

17、截面间对上式积分：babaxxqxFd)()(dSbaxxqaFbFd)()(-)(SSbaxxFaMbMd)()(-)(S同理可得：同理可得：以上两式就是弯矩、剪力与分布荷载集度间的积分关系。说明：以上两式就是弯矩、剪力与分布荷载集度间的积分关系。说明：4.4 荷载、剪力和弯矩间的关系荷载、剪力和弯矩间的关系（1）剪力图上任意两截面的剪力差值（或改变）等于此两截）剪力图上任意两截面的剪力差值（或改变）等于此两截面间的分布荷载图的面积。面间的分布荷载图的面积。（2）弯矩图上任意两截面的弯矩差值（或改变）等于此两截）弯矩图上任意两截面的弯矩差值（或改变）等于此两截面间的剪力图的面积。面间的剪力图

18、的面积。 运用上述积分关系时需注意：运用上述积分关系时需注意：a、b之间不能有集中力或力之间不能有集中力或力偶。此外面积有正负。偶。此外面积有正负。 综合运用上述微分关系和积分关系，除了可以校核剪力图综合运用上述微分关系和积分关系，除了可以校核剪力图和弯矩图的正确性之外，还可更简洁的绘制剪力图和弯矩图，和弯矩图的正确性之外，还可更简洁的绘制剪力图和弯矩图，并可从荷载图、剪力图、弯矩图中的任一个图直接画出其他两并可从荷载图、剪力图、弯矩图中的任一个图直接画出其他两个图。个图。4.5 按叠加原理作剪力图和弯矩图按叠加原理作剪力图和弯矩图 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，这就我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，这就是说，在小变形情况下，梁横截面上的剪力和弯矩分是说，在小变形情况下，梁横截面上的剪力和弯矩分别等于每个荷载单独作用时相应内力的代数和叠加。别等于每个荷载单独作用时相应内力的代数和叠加。一、叠加原理一、叠加原理 多个荷载同时作用于结构而引起的内力等于多个荷载同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和每个载荷单独