第5章控制系统的频域

1、第5章 控制系统的频域分析1第第5 5章章 控制系统的频域分析控制系统的频域分析内 容 提 要 频率特性是研究控制系统的一种工程方法，应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、图表及经验公式。介绍MATLAB在频率分析中的应用。 第5章 控制系统的频域分析2知 识 要 点 频率特性是系统的一种数学模型；频率特性的三种图形：幅相频率特性曲线（又称极坐标图或Nyquist曲线），对数频率特性曲线（又称Bode图），对数幅相频率特性

2、曲线（又称Nichols曲线）。最小相位系统的幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系，利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系统的稳定性，用相角裕量和幅值裕量来反映系统的相对稳定性。利用等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性，进而定性或定量分析系统的时域响应。第5章 控制系统的频域分析3 时域分析法是分析控制系统的直接方时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。接方法。 频域分析法是一种图解分析法。它依频域分析法是一种图解分析法。它依据系

3、统的又一种数学模型据系统的又一种数学模型频率特性，频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。性进行分析。 第5章 控制系统的频域分析4 频域分析法的特点是可以根据开环频频域分析法的特点是可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能，并能较方率特性去分析闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，从便地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。此外而进一步提出改善系统性能的途径。此外，除了一些超低频的热工系统，频率特性，除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。频率特性主要都可以方便地由实验确定。

4、频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位无关。但是，这种方法也可以有条件地推无关。但是，这种方法也可以有条件地推广应用到非线性系统中。广应用到非线性系统中。第5章 控制系统的频域分析5v 5.1 5.1 频率特性频率特性 v 5.2 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 v 5.3 5.3 系统的开环频率特性系统的开环频率特性v 5.4 5.4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据v 5.5 5.5 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 v 5.6 5.6 闭环频率特性闭

5、环频率特性v 5.7 5.7 用频率特性分析系统品质用频率特性分析系统品质 v 5.8 MATLAB 5.8 MATLAB频域特性分析频域特性分析 v小小 结结 第5章 控制系统的频域分析65.1.1 频率特性概述 设线性定常系统输入信号为设线性定常系统输入信号为r(t)，输出信号，输出信号c(t)，如图如图5-15-1所示。所示。 图中，图中，G(s)为系统为系统 的传递函数。的传递函数。 即即 ( (nm) ) （5-15-1） nnnnmmmmasasasbsbsbsbsRsCsG 1111110)()()(图5-1 线性定常系统图5-1 线性定常系统5.1 频率特性频率特性第5章 控制

6、系统的频域分析7 若在系统输入端作用一正弦信号，即若在系统输入端作用一正弦信号，即 r( (t)=)=Rsint （5-25-2） 系统输出系统输出C C( (s s) )为为 （5-35-3） 22)(sRsR)()()(sRsGsC第5章 控制系统的频域分析8设传递函数设传递函数G(s)可表示成极点形式可表示成极点形式 （5-4） - -p1、- -p2 - -pn为为G(s)的极点，其可以为实的极点，其可以为实 数，也可为复数，并且假定其均在根平面的左半数，也可为复数，并且假定其均在根平面的左半平面，即系统是稳定的。平面，即系统是稳定的。nnnnmmmmasasasbsbsbsbsNsM

7、sG 1111110)()()(niipssM1)()(第5章 控制系统的频域分析9由式由式(5-3)(5-3)及及(5-4)(5-4)得输出为得输出为 （5-5） 式中式中 , , , , , , , 为待定系数，由留数为待定系数，由留数定理求得定理求得221)()()(sRpsSMsCniiniiipscjsajsa1211a2a1c2cnc第5章 控制系统的频域分析10)(2)()(lim221jGjRsRsGjsajs)(2)()(lim222jGjRsRsGjsajs22)()(limsRsGpscipsii由拉普拉斯反变换得输出响应由拉普拉斯反变换得输出响应nitpitjtjiec

8、eaeatc1 21)(第5章 控制系统的频域分析11 对于稳定系统，当对于稳定系统，当t时，时， （i=1,2,n）均随时间衰减至零。此时系统响应的稳态值为均随时间衰减至零。此时系统响应的稳态值为: : （5-6） 和和 为共轭复数，可表示为为共轭复数，可表示为tpietjtjsseaeatc 2 1)(1a2a)(1)(2)(2jGjejGjRjGjRa)(2)(2)(2jGjejGjRjGjRa第5章 控制系统的频域分析12则则 （5-7）式中式中 ，tjjGjtjjGjsseejGjReejGjRtc)()()(2)(2)(jeejGRjGtjjGtj2)()()()(sin)(jGt

9、jGR)sin(tC)(jGRC )(jG第5章 控制系统的频域分析13 式（式（5-75-7）表明，）表明，线性定常系统在正弦信号作线性定常系统在正弦信号作用下，系统的稳态输出将是与输入信号同频率的用下，系统的稳态输出将是与输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同正弦信号，仅仅是幅值和相位不同，幅值为，幅值为 ，相位，相位 ，均是频率，均是频率的函数。的函数。 定义定义 线性定常系统在正弦信号作用下，系统响线性定常系统在正弦信号作用下，系统响应的稳态分量与输入正弦信号的复数比称为系统应的稳态分量与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性，记为的频率特性，记为G(j) （5-85-8） )

10、(jGR)(jG)()(sin)sin()(sin)sin()(jssejGtRtjGRtRtCRCjG第5章 控制系统的频域分析14)()(jGRCA稳态输出与输入的幅值之比称为系统的幅频特性，稳态输出与输入的幅值之比称为系统的幅频特性，记为记为A()，即即 （5-95-9）稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性，稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性，记为记为 ，即即 =G(j) （5-105-10） 频率特性频率特性还可表示为还可表示为 G(j)=p()+j()式中式中 p()为为G(j)的实部，称为实频特性；的实部，称为实频特性； ()为为G(j)的虚部，称为虚频特性。的虚部，称为

11、虚频特性。)()(jGA)()(第5章 控制系统的频域分析15显然有显然有 （5-115-11） 需要指出，当输入为非正弦的周期信号时，需要指出，当输入为非正弦的周期信号时，其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为相应的正弦波的叠加。此时系统频率特其输出为相应的正弦波的叠加。此时系统频率特性定义为系统输出量的傅氏变换与输入量的傅氏性定义为系统输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。变换之比。 )()()()()()()(sin)()()(cos)()(22parctgpAAAp第5章 控制系统的频域分析16频率特性的性质频率特性的性质1 1、

12、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则构参数给定，则 频率特性也完全确定。频率特性也完全确定。2 2、频率特性是一种稳态响应。、频率特性是一种稳态响应。 频率特性是在系统稳定的前提下求得的，不稳定系统频率特性是在系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖

13、于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。定性、动态性能、稳态性能等。3 3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。 当频率当频率 改变，则输出、输入量的幅值之比改变，则输出、输入量的幅值之比 和相和相位移位移 随之改变。这是系统中的储能元件引起的。随之改变。这是系统中的储能元件引起的。)(A)(第5章 控制系统的频域分析174、实际系统的输出量都随频率的升高幅值衰、实际系统的输出量都随频率的升高幅值衰减。减。 所以，可以将它们看成为一个所以，可以将它们看成为

14、一个“低通低通”滤滤波器波器。 5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。中去。 第5章 控制系统的频域分析18 5.1.2 频率特性的求取js1)(TsKsGTjarctgeTKTjKjG2)(11)(2222111)(TTKjTKTjKjG 由频率特性概念知，频率特性由频率特性概念知，频率特性G(j)是传递是传递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换换成纯虚数成纯虚数j就得到系统的频率特性。就得到系统的频率特性。 G(j)=G(s) （5-125-12）例例5-1 已知系统的传递函数为，已知系统的传递函数为

15、， 求频率特性求频率特性（令（令s=j得系统的频率特性）得系统的频率特性）解：解： 或或第5章 控制系统的频域分析19幅频特性幅频特性: : 相频特性相频特性: : 实频特性实频特性: : 虚频特性虚频特性: : 幅频特性和相频特性随幅频特性和相频特性随变化的曲线如图变化的曲线如图5-25-2所所示。示。2)(1)(TKATarctg)(221)(TKp221)(TKT第5章 控制系统的频域分析20图5-2 A()和()曲线 第5章 控制系统的频域分析21 与时域响应中衡量系统性能采用时域性能指与时域响应中衡量系统性能采用时域性能指标类似，频率特性在数值上和曲线形状上的特点标类似，频率特性在数

16、值上和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上能够间接地表明系统动、静态特性。能够间接地表明系统动、静态特性。 系统的频率特性曲线如图系统的频率特性曲线如图5-35-3所示。（二阶所示。（二阶及以上系统）及以上系统）1. 1. 谐振频率谐振频率 是幅频特性是幅频特性A()出现最大值出现最大值时所对应的频率；时所对应的频率；2. 2. 谐振峰值谐振峰值 指幅频特性的最大值。指幅频特性的最大值。 值值大，表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系大，表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性差，阶跃响应的超调量越大；统的平稳性差，阶跃响

17、应的超调量越大；rrMrM 5.1.3 频域性能指标第5章 控制系统的频域分析22图5-3 频率特性曲线 第5章 控制系统的频域分析233. 3. 频带频带 指幅频特性指幅频特性A A( () )的幅值衰减的幅值衰减到起始值的到起始值的0.7070.707倍所对应的频率。倍所对应的频率。 大，系统大，系统复现快速变化信号的能力强、失真小。即系统的复现快速变化信号的能力强、失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短；快速性好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短；4. 4. A(0 0) 零频零频(=0 0)时的幅值。时的幅值。bb返回第5章 控制系统的频域分析245.2.1 概述

18、作为一种图解分析系统的方法，频率特性曲作为一种图解分析系统的方法，频率特性曲线常采用三种表示形式，即线常采用三种表示形式，即极坐标图极坐标图( (NyquistNyquist图图) )、对数坐标图（对数坐标图（BodeBode图），图），对数幅相图。对数幅相图。5. 2 典型环节的频率特性第5章 控制系统的频域分析251. 极坐标图极坐标图(乃奎斯特图或乃氏图，乃奎斯特图或乃氏图，Nyquist图图) 系统频率特性可表示为系统频率特性可表示为 用一向量表示某一频率用一向量表示某一频率 下的下的 向量的向量的长度长度 ，向量极坐标角为，向量极坐标角为 ， 的正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角的

19、正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。 如图如图5-45-4所示。所示。 )()()(jeAjGi)(ijG)(iA)(i)(第5章 控制系统的频域分析26图5-4 极坐标图 频率特性频率特性G(j)是输入频率是输入频率的复变函数，的复变函数，是一种变换，当频率是一种变换，当频率由由00时，时，G G( (jj) )变化的变化的曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。 极坐标图在极坐标图在 时，在实轴上的投影为时，在实轴上的投影为实频特性实频特性 ，在虚轴上的投影为虚频特性，在虚轴上的投影为虚频特

20、性 i)(ip)(i第5章 控制系统的频域分析272. 对数坐标图对数坐标图(Bode图图) （又叫伯德图，简称伯氏图）（又叫伯德图，简称伯氏图） BodeBode图由对数幅频特性和对数相频特性两张图由对数幅频特性和对数相频特性两张图组成。图组成。 对 数 幅 频 特 性 是 频 率 特 性 的 对 数 值对 数 幅 频 特 性 是 频 率 特 性 的 对 数 值L()=20=20lgA ()（dB）与频率与频率的关系曲线；对数的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角相频特性是频率特性的相角 ( (度度) )与频率与频率的的关系曲线。关系曲线。 如图如图5-55-5所示。所示。)(第5章 控制

21、系统的频域分析28图5-5 Bode图坐标系 对数幅频特性的纵对数幅频特性的纵轴为轴为L()=2020lgA()采采用线性分度，用线性分度，每增加每增加1010倍，倍，L()增加增加20dB20dB；横坐标采用对数分度，横坐标采用对数分度，即横轴上的即横轴上的取对数取对数后为等分点。后为等分点。 对数相频特性横轴对数相频特性横轴采用对数分度，纵轴采用对数分度，纵轴为线性分度，单位为为线性分度，单位为度。度。 0.1110100dB2040（弧度/秒）线性分度对数分度lg( )Lrad/s00.1110100度线性分度（弧度/秒）rad/s( ) 900900对数分度lg00第5章 控制系统的频

22、域分析291801100.1204060-20-40-60090180902346857dBL)()(第5章 控制系统的频域分析30表表 5-1 10倍频程内的对数分度倍频程内的对数分度 第5章 控制系统的频域分析31横轴采用对数分度的优点：横轴采用对数分度的优点：1)1)扩大频率视野，有利于分析系统特性扩大频率视野，有利于分析系统特性2 2）可将向量的相乘运算转化为相加运算）可将向量的相乘运算转化为相加运算3 3）对数幅频特性曲线可以用渐近线表示）对数幅频特性曲线可以用渐近线表示第5章 控制系统的频域分析32)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnjje

23、AeAeA )(.)()(2121)()()(njneAAA n个环节串联个环节串联 （5-135-13）第5章 控制系统的频域分析33)()()(lg(20)(lg20)(21nAAAjGL )(lg20)(lg20)(lg2021nAAA )()()(21nLLL )()()()()()(21njG （5-14）对数相频特性对数相频特性 为为 （5-15）而对数幅频特性而对数幅频特性L L( () )为为第5章 控制系统的频域分析34图5-6 对数幅相坐标系3. 对数幅相图对数幅相图 对数幅相图是将对数幅频特性和相频特对数幅相图是将对数幅频特性和相频特性两张图，在角频率为参变量的情况下合性

24、两张图，在角频率为参变量的情况下合成一张图，如图成一张图，如图5-65-6所示。所示。 第5章 控制系统的频域分析35 控制系统由若干典型环节组成，常见的控制系统由若干典型环节组成，常见的典型环节有比例环节典型环节有比例环节 K，积分环节，积分环节 , ,惯性环惯性环节节 ，比例微分环节，比例微分环节 1+1+s，微分环节，微分环节s，振荡环节振荡环节 ，滞后环节，滞后环节 等。等。 下面分别讨论典型环节的频率特性。下面分别讨论典型环节的频率特性。s111Ts12122TssTse 5.2.2 典型环节的频率特性第5章 控制系统的频域分析36ssG1)(211)(jejjG1)(A2)(lg2

25、0)(lg20)(AL1. 积分环节积分环节积分环节的传递函数：积分环节的传递函数：频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：极坐标图如图极坐标图如图5-75-7所示。所示。Bode图如图图如图5-85-8所示。所示。 第5章 控制系统的频域分析37图5-7 积分环节的极坐标图 由于由于 = - 90是是常数。而常数。而 随随增大而减小。因此，积分增大而减小。因此，积分环节是一条与虚轴负段相环节是一条与虚轴负段相重合的直线。重合的直线。 )(jGjG1第5章 控制系统的频域分析38图5-8 积分环节的Bode图当=1时当=10时每增加10倍，

26、L()则衰减20dB，记为：20dB/十倍频程，或-20dB/dec。或直接写成【-20】。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上=1这一点，且斜率为-20的直线。 lg20L dB020lg1L dB0220lg10L第5章 控制系统的频域分析392. 惯性环节惯性环节惯性环节的传递函数：惯性环节的传递函数： 频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性： 11)(TssGTjarctgeTTjjG2)(1111)(2222111TTjT2211)(TA第5章 控制系统的频域分析40相频特性：相频特性： 实频特性：实频特性： 虚频特性：虚频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性：

27、对数相频特性：极坐标图如图极坐标图如图5-95-9所示。所示。 Tarctg)(2211)(Tp221)(TT221lg20)(lg20)(TALTarctg)(第5章 控制系统的频域分析41图5-9 惯性环节极坐标图我们取三个特殊点，显我们取三个特殊点，显然然不难看出，随着频率不难看出，随着频率=0变化，惯性环变化，惯性环节的幅值逐步衰减，最节的幅值逐步衰减，最终趋于终趋于0。相角由。相角由0趋于趋于90，其极坐标图为，其极坐标图为一个半圆。一个半圆。0 1G(j0)90- 0)G(j第5章 控制系统的频域分析42jY()0A()()012211T221TTX()0.5第5章 控制系统的频域

28、分析43极坐标图为一个半圆可证明如下 设: G(j)=U+jV, ：实频特性实频特性 虚频特性虚频特性 将它们之比 代入实频特性表达式经化简、配方得到:上式为圆方程，圆心为 ，半径为 。 2T11U222T1TVT UV2UV11U22221V21Uj0,21210121ReIm0第5章 控制系统的频域分析44 Bode图图如图如图5-105-10所示。所示。 首先分析对数幅频特性曲线的大致形状。首先分析对数幅频特性曲线的大致形状。（1 1）当）当 时时（低频段）（低频段），对数幅频特性可近似，对数幅频特性可近似为为 （2 2）当）当 时时（高频段）（高频段） ，对数幅频特性可近似，对数幅频特

29、性可近似为为 T101lg20)(22TLT1TTLlg201lg20)(22第5章 控制系统的频域分析45图5-10 惯性环节的Bode图第5章 控制系统的频域分析46综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在在 处相交于处相交于0分贝的两条渐近直线来近似分贝的两条渐近直线来近似表示：表示： 当当 时，是一条时，是一条0分贝的直线；分贝的直线； 当当 时，是一条斜率为时，是一条斜率为-20dB/dec的的直线。直线。 T1 T1 T1 第5章 控制系统的频域分析47 惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交

30、点处频率段直线。两直线相交，交点处频率 ，称，称为转折频率。为转折频率。 两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。近线，故又称为对数幅频特性渐近线。 用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折频率处，即误差发生在转折频率处，即 处。处。 T1T1第5章 控制系统的频域分析48误差为误差为 dB TLLL1)()()(渐03. 3 在高于转折频率一个倍频处，即在高于转折频率一个倍频处，即 的的误差为误差为 dBT2)()()(渐LLL97. 0lg201lg2022TT第5章 控制系统的频域分析

31、49 误差曲线如图误差曲线如图5-115-11所示。所示。图5-11 惯性环节的误差曲线表表 5-2 5-2 惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差惯性环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差 第5章 控制系统的频域分析50惯性环节的相频特性惯性环节的相频特性当当=0时，时， 当当 时，时，当 时， ；当当 趋于无穷时，趋于无穷时， 趋趋于于-90。 Ttg1 o0 T1 o-45 图5-10 惯性环节的Bode图表表 5-3 惯性环节对数相频特性曲线角度值惯性环节对数相频特性曲线角度值 第5章 控制系统的频域分析513. 微分环节微分环节纯微分环节的传递函数：纯微分环节的传递函数：

32、 G(s)=s 频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：极坐标图如图极坐标图如图5-125-12所示。所示。Bode图如图图如图5-135-13所示所示。2 )(jejjG)(A2)(lg20)(lg20)(AL第5章 控制系统的频域分析52图5-12 纯微分环节的极坐标图图5-13 纯微分环节的Bode图 微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位移也正好相差一个负号。斜率和相位移也正好相差一个负号。第5章 控制系统的频域分析534. 二阶振荡环节二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数：二阶振荡环节的传递

33、函数：频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 121)(22TssTsG12)(1)(2TjTjjG2222)2()1 (1)(TTA2212)(TTarctg2222222222212211TTTjTTT第5章 控制系统的频域分析54实频特性：实频特性： 虚频特性：虚频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：极坐标图极坐标图如图如图5-145-14所示。所示。BodeBode图图如图如图5-15(a)5-15(a)所所示。示。 222222)2()1 (1)(TTTp2222)2()1 (2)(TTT2222)2()1 (lg20)(lg20)(TTAL第5章 控制系统

34、的频域分析55图5-14 振荡环节极坐标图显然，当=0，和=时， 0 1G(j0)90211TjG180- 0)G(j极坐标相位从极坐标相位从0到到180变化，变化，频率特性与虚轴交点处的频率是频率特性与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率n ，越小，越小，对应对应的幅值越大。说明频率特性的幅值越大。说明频率特性与与、 均有关。当均有关。当小到一定程度小到一定程度时，将会出现峰值，这个值称为时，将会出现峰值，这个值称为谐振峰值谐振峰值Mr，对应频率称为谐振，对应频率称为谐振频率频率r。第5章 控制系统的频域分析56振荡环节的幅频振荡环节的幅频 特性为特性为g1T 2 T11j

35、G2222其中其中 ： 2222T2T1g当出现揩振峰值时，当出现揩振峰值时， 有最大值，即有最大值，即 有有最小值。最小值。得到得到 jG g0T 2T1ddddg22222n2r2121T1210式中式中 T1n第5章 控制系统的频域分析57将将 代入代入 ，不难求得，不难求得 。 因此，在因此，在=r处处 具有最小值，亦即具有最小值，亦即 此此刻具有最大值。将刻具有最大值。将 代入幅频特性代入幅频特性 中中 ,得得谐振峰值谐振峰值Mr为为2nr21 22dgd 0dgd22 gjG2nr21rjG2rr121jGM谐振频率谐振频率r及谐振峰值及谐振峰值Mr都与都与有关。有关。越小越小,

36、r越接近越接近n, Mr将越大。当将越大。当 0.707时，时， r为虚数，说明不存在为虚数，说明不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当谐振峰值，幅频特性单调衰减。当 =0.707时，时， r=0，Mr=1。 0，Mr1。 0时，时， r n，Mr。谐振时，。谐振时，G(j)的相角为的相角为21tgjG21r21021sin90第5章 控制系统的频域分析58二阶振荡环节的二阶振荡环节的BodeBode图图1Tj2jT1jG22对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性 2222T2T120lgL 221T1T2tg低频段，即低频段，即T1时时 )lg(40)lg(20)(22TTL当当增加

37、增加10倍倍40lgT 4040lg10T )(L即高频渐近线是一条斜率为即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。的直线。当当 时时T1n)(01lg40lg40)(dBTL说明说明 为二阶系统为二阶系统(振荡环节振荡环节)的的转折转折频率。频率。 T1n第5章 控制系统的频域分析6010110090180() 101.00)(L2.024688.06.04.0n/1.02.03.07.011.02.03.07.01dB图5-15(a) 二阶振荡环节的Bode图第5章 控制系统的频域分析61可见：当频率接近可见：当频率接近 时，将产生谐振峰时，将产生谐振峰值。阻尼比的大小决定了谐振峰

38、值的幅值。值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。 相角相角 是是和和的函数。在的函数。在=0， ；当当 时，不管时，不管值的大小，值的大小， ； 当当=时，时， 。相频曲线对。相频曲线对-90的弯曲的弯曲点是斜对称的。点是斜对称的。n 0 n o90 o180第5章 控制系统的频域分析62 用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来误差，常按误差，常按的大小来修正渐近线。二阶振荡的大小来修正渐近线。二阶振荡环节的误差修正曲线如图环节的误差修正曲线如图5-15(b)5-15(b)所示。所示。 图5-15(b) 二阶振荡环节的误差修正曲线第5章 控制系统的频域分析63

39、表表 5-4 二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差(dB)第5章 控制系统的频域分析64表表 5-5 二阶振荡环节对数相频特性曲线角度值二阶振荡环节对数相频特性曲线角度值 第5章 控制系统的频域分析655. 比例环节比例环节比例环节的传递函数：比例环节的传递函数： G(s)=K频率特性：频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性： 对数幅频特性为一水平线，相频特性与横对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。比例环节的极坐标图为一点。诸图坐标重合。比例环节的极坐标图为一点。诸图如图如图5-1

40、65-16所示。所示。KjG)(KA)(0)(KALlg20)(lg20)(第5章 控制系统的频域分析66图5-16 比例环节频率特性 第5章 控制系统的频域分析675. 滞后环节滞后环节滞后环节的传递函数：滞后环节的传递函数： 式中式中 滞后时间滞后时间频率特性：频率特性： 幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性： 极坐标图为一单位圆，如图极坐标图为一单位圆，如图5-175-17所示。所示。Bode图图 如图如图5-185-18所示。所示。sesG)(jejG)(1)(A)(3 .57)()(raddBAL 0)(lg20)(第5章 控制系统的频域分析68图5

41、-18 滞后环节的Bode图图5-17滞后环节的极坐标图返回第5章 控制系统的频域分析695. 3系统的开环频率特性系统的开环频率特性 5.3.1 5.3.1 系统的开环对数频率特性系统的开环对数频率特性 对对n个环节串联的系统，其开环传递函数为个环节串联的系统，其开环传递函数为 其频率特性其频率特性: : (5-18)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnjjeAeAeA nijiniieA1)(1)()()()()(21sGsGsGsGn 第5章 控制系统的频域分析70系统开环的对数幅频特性系统开环的对数幅频特性: : (5-19)(5-19) 开环相

42、频特性开环相频特性: : (5-20) (5-20) 由此看出，由此看出，系统的开环对数幅频特性系统的开环对数幅频特性L L( () )等于各个串联环节对数幅频特性之和；系统的开等于各个串联环节对数幅频特性之和；系统的开环相频特性环相频特性 等于各个环节相频特性之和。等于各个环节相频特性之和。 )(lg20)(lg20)(1niiAALniiA1)(lg20niiL1)(niijG1)()()()(第5章 控制系统的频域分析71开环系统的开环系统的伯德图的绘制伯德图的绘制 基本步骤：基本步骤： 把系统的频率特性改写成各典型环节的乘把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积形式，画出每一个环节的对数

43、幅频和相频积形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。的伯德图。 第5章 控制系统的频域分析72例：例：)11.0(10)(jjjG1)(L1010020402009045180)()11.0(10)(sssG第5章 控制系统的频域分析73例例5-2 系统开环传递函数系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。试绘制开环对数频率特性。解解 系统开环频率特性为系统开环频率特性为系统由系统由5 5个典型环节串联组成：个典型环节串联组成：) 12 . 0)(11 . 0() 105. 0(100)(sssssG)2 . 01

44、)(1 . 01 ()05. 01 (100)(jjjjjG第5章 控制系统的频域分析74比例环节比例环节 dBdB积分环节积分环节 对数幅频特性渐近线在对数幅频特性渐近线在 时穿越时穿越0dB0dB线，线，其斜率为其斜率为-20dB/dec-20dB/dec。100)(1jG 40100lg20)(1L0)(1jjG1)(2lg20)(2L90)(21第5章 控制系统的频域分析751 . 011)(3jjG23)1 . 0(1lg20)(L1 . 0)(3arctg110sradc)(3)4 ,(3惯性环节惯性环节 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为近线

45、曲线在转折频率前为0dB0dB线，转折频率后线，转折频率后为一条斜率为为一条斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线。的直线。 对称于对称于点点 。 第5章 控制系统的频域分析76惯性环节惯性环节 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐，对数幅频特性渐近线类似于近线类似于 ，相频特性类似于，相频特性类似于 。12 . 01)(4jjG24)2 . 0(1lg20)(L2 . 0)(4arctg1452 . 01srad)(3L)(3第5章 控制系统的频域分析77比例微分环节比例微分环节 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐，对数幅频特性渐近线在近线在 之前为之前为0 0分贝线，在分贝线，在

46、之后为之后为一条斜率为一条斜率为20dB/dec20dB/dec的直线。相频特性的直线。相频特性 在转在转折频率处为折频率处为4545，低频段为，低频段为0 0，高频段为，高频段为9090，且曲线对称于点且曲线对称于点 。05. 01)(5jjG25)05. 0(1lg20)(L05. 0)(5arctg152005. 01srad1520srad5)(5)45 ,(5第5章 控制系统的频域分析78 将以上个环节的对将以上个环节的对数幅频特性渐近线和数幅频特性渐近线和相频特性曲线绘制出相频特性曲线绘制出，在同一频率下相加，在同一频率下相加即得到系统的开环对即得到系统的开环对数幅频特性渐近线及数

47、幅频特性渐近线及相频特性，如图相频特性，如图5-195-19所示。所示。 图5-19 例 5-2的Bode图 第5章 控制系统的频域分析79绘制系统开环对数幅频特性的步骤：绘制系统开环对数幅频特性的步骤：1. 1. 将开环传递函数变为时间常数形式，即将开环传递函数变为时间常数形式，即2. 2. 求各环节的转折频率，并标在求各环节的转折频率，并标在Bode图的图的轴上。轴上。3. 3. 过过=1,=1,L()=20=20lgK点作一条斜率为点作一条斜率为- -2020 dB/dec的直线，直到第一个转折频率，的直线，直到第一个转折频率，niimjjsTssKsG11) 1() 1()(第5章 控

48、制系统的频域分析80或者过点或者过点 ， L()=0=0点作一条斜点作一条斜率为率为-20-20dB/dec的直线，直到第一个转折频的直线，直到第一个转折频率，以上直线作为对数幅频特性的低频段。率，以上直线作为对数幅频特性的低频段。4.4. L()的低频段向高频段延伸，每经过一个转的低频段向高频段延伸，每经过一个转折频率，按环节性质改变一次渐近线的斜率。折频率，按环节性质改变一次渐近线的斜率。5. 5. 在各转折频率附近利用误差曲线进行修正，在各转折频率附近利用误差曲线进行修正，得精确曲线。得精确曲线。 系统的对数相频特性可以由各环节相频特系统的对数相频特性可以由各环节相频特性叠加的方法绘制。

49、性叠加的方法绘制。1KK 第5章 控制系统的频域分析81例例5-3 系统开环传递函数为系统开环传递函数为试绘制系统的对数幅频特性。试绘制系统的对数幅频特性。解解 系统的开环频率特性系统的开环频率特性 系统由系统由5 5个典型环节组成个典型环节组成: : 转折频率转折频率 ；且；且 时时L()=20=20lgK=20=20dB 或或 ，L()=0=0作对数作对数幅频特性渐近线。幅频特性渐近线。 过过=1=1，L()=20=20dB或或=10=10，L()=0=0dB作作一条斜率为一条斜率为-20-20dB/dec直线作为低频段直线；直线作为低频段直线； ) 12 . 0)(11 . 0() 10

50、1. 0(10)(sssssG)2 . 01)(1 . 01 ()01. 01 (10)(jjjjjG100 ,10 , 5321110K第5章 控制系统的频域分析82 过第一个转折过第一个转折频率频率 后，特性后，特性斜率按环节性质变斜率按环节性质变化，对数幅频特性化，对数幅频特性渐近线，如图渐近线，如图5-205-20所示。所示。 在各转折频率在各转折频率附近按误差曲线加附近按误差曲线加以修正，得对数幅以修正，得对数幅频特性的精确曲线频特性的精确曲线，如图，如图5-205-20虚线所虚线所示。示。51图5-20 例5-3对数频率特性 第5章 控制系统的频域分析830.1110dB2040-

51、20( )Lrad/s100对数幅频特性渐近线分段作图法对数幅频特性渐近线分段作图法例) 125125001)(15 . 0() 11 . 0(5)(20ssssssG-2014-402-20-6050dB14)( , 1LdB/dec20, 2dB/dec40,50dB/dec20,10第5章 控制系统的频域分析84相频特性草图分段作图法相频特性草图分段作图法 rad/s00-900-4501T( ) 度11)(TjjG惯性环节的相频特性惯性环节的相频特性1，确定系统相频特性的渐近线。，确定系统相频特性的渐近线。 2，根据相频特性的渐近线绘制相频特性曲线的草图。，根据相频特性的渐近线绘制相频

52、特性曲线的草图。 第5章 控制系统的频域分析85相频特性草图分段作图法相频特性草图分段作图法9009000.1110-1800-2700( ) 度rad/s1002502以后渐近线相角为900900180010以后渐近线相角为 180090090050以后渐近线相角为 90018002700频率特性曲线草图例) 125125001)(15 . 0() 11 . 0(5)(20ssssssG)501(2)5 . 0()1 . 0(90)(1110tgtgtg第5章 控制系统的频域分析86 设反馈控制系统如图设反馈控制系统如图5-215-21所示，其开环传递所示，其开环传递函数为函数为: : G(

53、s)H(s) 开环频率特性为开环频率特性为: : G(j)H(j) 在绘制开环极坐标曲线时，可将在绘制开环极坐标曲线时，可将G(j)H(j) 写成实频和虚频形式写成实频和虚频形式G(j)H(j) = = p() + j()图5-21 反馈控制系统5.3.2 5.3.2 系统开环极坐标图（乃氏图，系统开环极坐标图（乃氏图， Nyquist图图）第5章 控制系统的频域分析87或写或写成极坐标形式成极坐标形式 给出不同的给出不同的，计算相应的，计算相应的p()、()或或A()和和 ，即可得出极坐标图中相应的点，当，即可得出极坐标图中相应的点，当由由0变变化时，用光滑曲线连接就可得到系统的极化时，用光

54、滑曲线连接就可得到系统的极坐标曲线，又称为乃氏曲线（坐标曲线，又称为乃氏曲线（Nyquist曲线）。曲线）。例例5-4 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数绘制系统开环极坐标图。绘制系统开环极坐标图。 )()()()(jeAjHjG)() 11 . 0)(1(10)()(sssHsG第5章 控制系统的频域分析88解解 系统开环频率特性系统开环频率特性由由00变化时，找几个特殊点：变化时，找几个特殊点： 起始点起始点 终止点终止点 与虚轴交点与虚轴交点极坐标图如图极坐标图如图5-225-22所示。所示。)1 . 01)(1 (1 . 110)1 . 01)(1 ()1 . 01 (10 )1

55、 . 01)(1 (10)()(222222jjjjHjGj0-10)G(j , 0j0-0)G(j j2.87-0)G(j , 10) 11 . 0)(1(10)()(sssHsG第5章 控制系统的频域分析89特殊点特殊点000( 0)0Gjk 00()0180Gj 分析变化趋势分析变化趋势 11)(210jTjTkjG21110)(TtgTtgjG从从0到到变化变化 从从k到到0，单调递减。，单调递减。 0()Gj从从00到到1800，单调递减。单调递减。 0()Gj第5章 控制系统的频域分析90例例5-4-15-4-1) 12 . 0)(15 . 0)(1(100)(jjjjG特殊点特殊

56、点 000( 0)100 0Gj 00()0270Gj 变化趋势变化趋势 单调递减变化单调递减变化 0()Gj0()Gj)04. 01)(25. 01)(1 ()7 . 11 . 0()8 . 01 (100) 12 . 0)(15 . 0)(1(100)(22232jjjjjG30.11.7017与实轴有交点，为与实轴有交点，为7.9绘制绘制 开环频率特性极坐标图。开环频率特性极坐标图。 第5章 控制系统的频域分析91结论结论： 0 0 型系统型系统：极坐标图起始于正轴上的有限点，终止于：极坐标图起始于正轴上的有限点，终止于 原点。原点。第5章 控制系统的频域分析92例例5-4-25-4-2

57、) 1()(0ssksG绘制绘制 开环频率特性（极坐标图）。开环频率特性（极坐标图）。 特殊点特殊点 00090)0(jG 001800)(jG趋势分析趋势分析 )(0jG从从到到0单调递减单调递减 。10090)(tgjG)(0jG从从900到到1800单调递减单调递减。 第5章 控制系统的频域分析93结论结论： I I 型系统型系统：由于存在一个积分环节，所以低频：由于存在一个积分环节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐标轴相切。标轴相切。第5章 控制系

58、统的频域分析94例例) 1)(1() 1()(21230sTsTssTksGk、T1、T2 、T30 ) 1)(1() 1()(21230jTjTsjTkjG特殊点特殊点 000180)0(jG002700)(jG趋势分析趋势分析 111)(21230jTjTjTkjG31211100180)(TtgTtgTtgjG不一定是单调变化。不一定是单调变化。第5章 控制系统的频域分析95T3 T1T2 ImRe-1 00T3 T1T2 211131TtgTtgTtg211131TtgTtgTtg较小时较小时 较大时较大时 故故Nyquist图与负实轴有交点，其值需要计算确定。图与负实轴有交点，其值需

59、要计算确定。 ) 1)(1()()1 ()(1 )(222221221221322132210TTTTTTTjkTTTTTksG0)()1 (212213TTTTTk321213TTTTTT除0外 第5章 控制系统的频域分析97ImRe-1 00T3T1+T2ImRe-1 00T3T1+T2第5章 控制系统的频域分析98结论结论： II II 型系统：低频处，极坐标图是一条渐近于型系统：低频处，极坐标图是一条渐近于负实轴的直线负实轴的直线 。在。在 处幅值为零，且曲线处幅值为零，且曲线相切于某坐标轴。相切于某坐标轴。第5章 控制系统的频域分析99设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为G(

60、s)H(s)可表示为可表示为 系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数系统常按开环传递函数中所含有的积分环节个数来分类。把来分类。把=0，1，2，的系统，分别称的系统，分别称为为0型，型，型，型，型，型，系统系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGnvm总结：总结：第5章 控制系统的频域分析100极坐标图的形状与系统的型号有关，一极坐标图的形状与系统的型号有关，一般情况如下般情况如下（注意（注意起始点起始点）：）：II型系统I型系统0 型系统0ImRe000第5章 控制系统的频域分析101 ()()()mmnnbjwGjwajw R eI