第5章控制系统的频域分析2

1、自动控制原理自动控制原理 第第5章频域分析法章频域分析法信息控制类专业最重要的专业基础课之一信息控制类专业最重要的专业基础课之一张晓玲张晓玲信息与计算科学系信息与计算科学系第第5章章 频域分析法频域分析法n5-1 频率特性频率特性n5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性n5-3 开环幅相频率特性分析开环幅相频率特性分析n5-4 奈奎斯特判据奈奎斯特判据n5-5 稳定裕度稳定裕度n5-6 利用开环频率特性分析系统性能利用开环频率特性分析系统性能n5-7 闭环系统频率特性分析闭环系统频率特性分析5-1 频率特性频率特性 一、频率特性的定义一、频率特性的定义1、频率响应、频率响应: 线性系统对

2、正弦输入信号的线性系统对正弦输入信号的稳态响应稳态响应例：例：RC电路如图所示，电路如图所示， 11)(TssGRCT ( )siniu tAt施加正弦输入施加正弦输入( )?ou t 则输出则输出22sin( )iiAuAtU ss施加正弦输入施加正弦输入( )1( )1oiUsU sTs2211( )( )11oiAUsU sTsTss传递函数传递函数输出输出2222( )sin()11tToA TAu tetarctg TTT假设初始状态为零，由拉氏反变换求方程的解假设初始状态为零，由拉氏反变换求方程的解指数衰减项指数衰减项稳定的正弦输出稳定的正弦输出:频率响应频率响应500.511.5

3、22.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345线性系统的频率响应：线性系统的频率响应：siniuAtt22( )sin()1oAu ttarctg TT一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正弦信号，系统的稳态输出弦信号，系统的稳态输出(稳态响应稳态响应)也是同一频率也是同一频率的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。 11)(TssG6ttuisin)(1)输入为输入为相对输入，输出有相位差，幅度不同相对输入，输出有相位差，幅度不同7

4、ttui2sin)(2)输入为输入为输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变8ttui3sin)(3)输入为输入为输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定n2. 频率特性频率特性输入输入：xtXtxsin)(yttYtysin)(稳态输出：稳态输出：( )( )yxYAX 频率特性频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输线性定常系统在正弦输入作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。出的稳态分量与输入的复数比。 幅频特性幅频特性相频特性相频特性频率特性表达式：频率特性表达式： 幅频特性；幅频特性； 相频特性相频特性)()

5、(jGA)()(jG-实频特性；实频特性； -虚频特性虚频特性)(P)(Q复数式：复数式：)()()(jQPjG极坐标式：极坐标式：)()()()()(AjGjGjG指数式：指数式：)()()()()(jjGjeAejGjG)()(A)(jG)(P)(Qj)(sin)()()(cos)()(AQAP22( )( )( )( )( )arctan( )APQQP 各表达式之间的关系：各表达式之间的关系：频率特性本质上就是一种数学模型，频率特性本质上就是一种数学模型，那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢？二、频率特性与传递函数的关系二、频率特性与传递函数

6、的关系 设系统的传递函数为设系统的传递函数为 12( )( )( )( )()()()nY sN sG sX sspspsp假设假设(1, )jpjn互不相同且为实数。互不相同且为实数。输入输入：tXtxsin)()()(22jsjsXsXsX12( )( )()()() ()()nN sXY sspspspsjsj 输出：输出：1212nccnkkkkkspspspsjsj1212( )np tp tp tj tj tnccy tk ek ek ek ek e假设系统是稳定的，假设系统是稳定的， tjctjctssekektyty)(lim)(jXjGjsjsjsXsGkjsc2)()()(

7、)(jXjGjsjsjsXsGkjsc2)()()()()( )()( )jsjG sG jAe 因为因为)()()(2 )(2jcjceAjXkeAjXk其中其中aG(jw)的相角的相角aG(jw)的幅值的幅值( )YAX()( )sjG jG ssin( )ssyYt ( )yx 所以，频率特性与传递函数的关系为：所以，频率特性与传递函数的关系为：( )sinx tXt()()( ) ( )sin( )2jtjtsseeyAXAXtj 输入为输入为 ，根据频率特性定义，根据频率特性定义幅频特性幅频特性相频特性相频特性aG(jw)的相角的相角aG(jw)的幅值的幅值线性系统微分方程频率特性传

8、递函数S=d/dtj =sj =d/dt时域、复域和频域数学模型之间的关系时域、复域和频域数学模型之间的关系三三 频率特性的几种图示方法频率特性的几种图示方法1、幅相频率特性曲线、幅相频率特性曲线奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist）曲）曲线，或极坐标图线，或极坐标图2、对数频率特性曲线、对数频率特性曲线伯德（伯德（Bode）图）图3、对数幅相特性曲线、对数幅相特性曲线尼柯尔斯（尼柯尔斯（Nichols）曲）曲线线1、幅相频率特性曲线（、幅相频率特性曲线（Nyquist曲线）曲线）:时，时， 在复平面上的运动轨迹在复平面上的运动轨迹)(jG简称幅相曲线或极坐标图简称幅相曲线或极坐标图幅频特性、实

9、频特性为幅频特性、实频特性为的偶函数的偶函数相频特性相频特性、虚频特性、虚频特性为为的奇函数的奇函数 幅相曲线关于实轴对称幅相曲线关于实轴对称 一般只做一般只做 时的变化曲线时的变化曲线0:)()()()()(jQPeAjGj2211)(TA( )tanarcT ：01)(A0)(：T1707. 0)(A45)(：0)(A90)(例：绘制例：绘制RC电路的电路的幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线1()1G jjTj01( )A()G j0)()(1111)(22jQPTjTjTjG幅频特性幅频特性相频特性相频特性2、对数频率特性曲线、对数频率特性曲线 伯德（伯德（Bode）曲线）曲线 坐标系：半

10、对数坐标系坐标系：半对数坐标系对数相频特性曲线对数幅频特性曲线横坐标按横坐标按的对数的对数 线性分度，标以线性分度，标以lg1210110lglglglg12120.1110十倍频或十倍频程，用符号十倍频或十倍频程，用符号dec表示表示12)(lg20)(AL均匀分度，单位分贝，均匀分度，单位分贝，符号符号dB纵坐标纵坐标 以度或弧以度或弧度为单位进行线性分度为单位进行线性分度度纵坐标纵坐标对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线( )横坐标按照横坐标按照的对数的对数lg进行线性刻度进行线性刻度；对数相频特性曲线对数相频特性曲线-40-30-20-100Magnitude (dB)10-1100101

11、102-90-450Phase (deg)RC网络 Bode图Frequency (rad/sec)3、对数幅相特性曲线、对数幅相特性曲线尼柯尔斯（尼柯尔斯（Nichols）曲线）曲线 L() dB()将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。常用频率特性曲线比较常用频率特性曲线比较名称名称幅相频率特性曲线对数频率特性曲线 对数幅相特性曲线常用名常用名奈奎斯特图奈奎斯特图伯德图伯德图尼柯尔斯图尼柯尔斯图坐标系坐标系极坐标极坐标半对数坐标半对数坐标对数幅相坐标对数幅相坐标sjjjijjjiesTsTsTssssKsG) 12(

12、) 1() 12() 1()(2222Ks1s11Ts) 12(22ss) 1(s12122TssTse比例环节比例环节延迟环节延迟环节微分环节微分环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节积分环节积分环节5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、比例环节一、比例环节传递函数：传递函数： ksG)(频率特性：频率特性：kjG)(1、幅相频率特性、幅相频率特性kA)(0)(kP)(0)(Q2、对数频率特性、对数频率特性kALlg20)(lg20)(0)(二、积分环节二、积分环节传递函数：传递函数：ssG1)(11)(jjjG频率特性：频率特性：1、

13、幅相频率特性、幅相频率特性1)(A90)(0)(P1)(Q2、对数频率特性、对数频率特性lg201lg20)(L90)(三、微分环节三、微分环节传递函数：传递函数：ssG)(jjG)(频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性)(A90)(0)(P)(Q2、对数频率特性、对数频率特性lg20)(L90)(四、惯性环节四、惯性环节传递函数：传递函数： 11)(TssG频率特性：频率特性： 221111)(TjTjTjG1、幅相频率特性、幅相频率特性2211)(TA( )arctanT 2211)(TP221)(TTQ 惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：惯性环节的极坐标图是一个半圆，

14、证明如下： TPQ)()(2211PQPPQP22412122QP2、对数频率特性、对数频率特性22221lg2011lg20)(TTL( )arctanT 采用分段直线（渐近线）近似：采用分段直线（渐近线）近似：即11TT0)(L低频渐近线低频渐近线 ：即11TTlg20lg20lg20)(TTL高频渐近线高频渐近线 最大误差：最大误差：dBL32lg20)(Bode Diagram of G(jw)=1/(jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-25-20-15-10-50100101102-90-450( )arc

15、tan()T log20dBT)(0 dB最大误差10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50惯性环节的对数幅频特性曲线以渐近线表示时引起的误差五、一阶微分环节五、一阶微分环节传递函数：传递函数：ssG1)(jjG1)( 频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性221)(A( )arctan 1)(P)(Q2、对数频率特性、对数频率特性 221lg20)(L( )arctan 低频渐近线低频渐近线 ：即110)(L：即11lg20lg20lg20)(L高频渐近线：高频渐近线：Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.1Frequency (rad

16、/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)051015202510010110204590( )arctan()T 20log()dB)(0 dB六、振荡环节六、振荡环节传递函数：传递函数： 222222121)(nnnssTssTsGTn1频率特性：频率特性：nnnjTjTjG2211)(222221、幅相频率特性、幅相频率特性 2222222211211)(nnTTA22222( )arctanarctan11nnTT ：01)(A0)( ：Tn121)(A90)( ：0)(A180)( 谐振峰值谐振峰值：值较小时幅频特性的极大值值较小时幅频特性的极大值。令令0)(ddA

17、 得：得：2211Tr谐振频率谐振频率 2202121)(rrAM谐振峰值谐振峰值 2212121rnrAonnA90)(21)(0ReG(j)ImG(j)1AB2222)(nnnsssG振荡环节2、对数频率特性、对数频率特性 222222221lg2021lg20)(nnTTL：Tn1低频段低频段0)(L高频段高频段：Tn1lg40lg40lg20)(22TTL 221n = r振荡环节振荡环节0dBL()dB n21lg20 r2121lg20(0 0.707)-40 ( n)= - 90o2nn22nS2S(s)G 3910-1100101-6-4-202468101214dB1 . 0

18、2 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1振荡环节的对数幅频特性曲线以渐近线表示时引起的误差七七 二阶微分环节二阶微分环节2)()(21)(nnsssG2)()(21)(nnjjjG2222)2()1 ()(nnA22( )arctan1nn )(2)(1)(2nnjjG2)(1)(nP)(2)(nQ2)(rAImG(j)ReG(j)1onnA90)(2)(221221rnrA0db20db40db-20db-40dbL()1ss25. 0) s (G2 o90o0 0.1110100o18040212lg20 )2lg(20二阶微分二阶微分环节) 10, 0(12)(22nnnsss

19、G例如，二阶振荡环节的倒数环节是)(1)(12sGsG)()(1lg20)()()(11212LAL互为倒数的环节互为倒数的环节互为倒数的两个环节，对数相频和对数幅频特性相反10-1100101-10010203040频 率 rad/sec幅度dB二 阶 微 分 环 节 的 幅 频 特 性40db/dec=0.2=0.4=0.810-1100101-40-30-20-10010频 率 rad/sec幅度dB震 荡 环 节 的 幅 频-40db/dec=0.2=0.4=0.8交 接 频 率二阶微分幅频二阶振荡幅频)()(12LL10-1100101-150-100-500频 率 rad/sec角

20、度震 荡 环 节 的 相 频 特 性=0.2=0.4=0.810-1100101050100150频 率 rad/sec角度二 阶 微 分 环 节 的 相 频 特 性=0.2=0.4=0.8二阶微分相频二阶振荡相频)()(12八、延迟环节八、延迟环节传递函数：传递函数：sesG)(jejG)( 频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性 1)(A)( 2、对数频率特性、对数频率特性 0)(L)(5-3系统的开环频率特性系统的开环频率特性、系统开环幅相频率特性的绘制、系统开环幅相频率特性的绘制开环传递函数：开环传递函数：niisGsG1)()(开环频率特性：开环频率特性：niijGjG1

21、)()()1( )injiiAe 1()1( )niinjiiAe niiAA1)()(nii1)()()( )jAe 绘制思路：绘制思路：)()()(jQPjG()()( )jG jAe 4）确定趋势和象限）确定趋势和象限( ),0, 1, 2kk 1( )() ,0, 1, 22kk 绘制步骤：绘制步骤： 1）确定起始点）确定起始点: =0+处的点处的点2）确定终点）确定终点 ： =处的点处的点 3）确定与实轴或虚轴的交点）确定与实轴或虚轴的交点实轴交点：令实轴交点：令Q()=0 求得相应求得相应x，再求，再求P(x) 或令或令 求得相应求得相应x，再求再求A(x)虚轴交点：令虚轴交点：令

22、P()=0 求得相应求得相应y，再求，再求Q(y) 或令或令 求得相应求得相应y，再求再求A(y)【例例1】0型系统的开环传递函数为型系统的开环传递函数为 15110)(sssG绘制系统的开环幅相频率特性。绘制系统的开环幅相频率特性。解解： 51110)(jjjG 2231251110)()(iiAA31( )( )0arctanarctan5arctanarctan5ii 2222210(1 5)60( ),( )11251125PQ 频率特性频率特性：010)(A0)( ：0)(A180)( 起点起点终点终点 322110( )( )1125iiAA31( )( )0arctanarcta

23、n5arctanarctan5ii 与虚轴交点：与虚轴交点：令令90)(得：得：0.447( )3.727A或者令或者令P(w)=0, 求求w 及及Q(w)趋势和象限趋势和象限: :00( ): 0180 时时三四象限三四象限【例例2】型系统开环传递函数为型系统开环传递函数为 11)(21sTsTsksG绘制系统的开环幅相频率特性。绘制系统的开环幅相频率特性。 解：解： 2111)(jTjTjkjG222212111( )11AkTT12( )90arctanarctanTT 21 2122222222212121( ) ( )1111kTTk TTPQTTTT开环频率特性开环频率特性幅频特性

24、幅频特性相频特性相频特性 1222221221 2222212( ) 111( )11k TTPTTkTTQTT222212111( )11AkTT12( )90arctanarctanTT ：0)(A90)(起点起点 渐近线计算：渐近线计算：12( )( )Pk TTQ 终点终点：0)(A与负实轴的交点：与负实轴的交点：令令 21 22222121 ( )011kTTQTT得：得：211TT2121)(TTTkTP270)(趋势与象限：趋势与象限：-90o, -270o第第IIIII象限象限总结：总结：开环频率特性开环频率特性 2121122112211)(2)()1(1)(2)()1()(

25、)(nllllnjjmkkkkmiijTjTjTjjjjkjGnnnmmm21212 2起点起点：0 1 0 )(00kkA2)(0 终点终点： 0)(A2)()(mn二二. 系统开环对数频率特性系统开环对数频率特性niiniiLAAL11)()(lg20)(lg20)(nii1)()(系统幅频特性是各环节幅频特性的叠加系统幅频特性是各环节幅频特性的叠加系统相频特性是各环节相频特性的叠加系统相频特性是各环节相频特性的叠加幅频特性幅频特性相频特性相频特性niijGjG1)()(nijiieA1)()(niijniieA1)(1)(【例例3】试绘制系统开环传递函数试绘制系统开环传递函数 11010

26、)(ssG的的Bode图。图。比例环节：比例环节：2010lg20)(1L0)(1惯性环节：惯性环节：10101lg20)(2L0)(2解：解：101lg2020lg2010lg20)(2L90)(2 1( )L1( ) 2( )L2( ) ( )L( ) 绘制开环对数幅频特性曲线步骤：绘制开环对数幅频特性曲线步骤： （1）将开环频率特性写成典型环节乘积的形式：）将开环频率特性写成典型环节乘积的形式： 2121122112211)(2)() 1(1)(2)() 1()()(nllllnjjmkkkkmiijTjTjTjjjjKjG并确定开环放大系数并确定开环放大系数 K、积分环节个数、积分环节

27、个数 和各个转折频率：和各个转折频率： ii1kk1jjT1llT1将各个转折频率从小到大标注在频率轴上。将各个转折频率从小到大标注在频率轴上。（2）绘制对数幅频特性的低频渐近线）绘制对数幅频特性的低频渐近线lg20lg20)(KL斜率：斜率：decdB/20：1KLlg20)(（3）从低频渐近线开始，沿着）从低频渐近线开始，沿着增大的方向，每遇到一个增大的方向，每遇到一个转折频率，改变一次分段直线的斜率：转折频率，改变一次分段直线的斜率：当遇到当遇到一阶微分一阶微分i时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/20当遇到当遇到二阶微分二阶微分k时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/

28、40当遇到当遇到惯性环节惯性环节j时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/20当遇到当遇到振荡环节振荡环节l时，斜率变化量为时，斜率变化量为decdB/40依次得到的分段直线即为系统的近似对数幅频特性曲线。依次得到的分段直线即为系统的近似对数幅频特性曲线。 截止频率：截止频率： )(L和和dB0的交点频率的交点频率c ) 130/)(12() 15 . 0 (40)()(sssssHsG【例例4】绘制如下开环传函的幅频曲线绘制如下开环传函的幅频曲线转折频率：转折频率：0.5 2 30斜率增量：斜率增量：-20 +20 -20（2）低频段：）低频段：ssHsG40)()(dBL521 .

29、040lg20)(1 . 000dBL385 . 040lg20)(5 . 000解解： （1）开环放大系数开环放大系数 K40，系统型别，系统型别v1，40( )20lg20 lg20lgLK低频段渐进线：低频段渐进线：（3）从低频渐近线开始，）从低频渐近线开始，每遇到一个转折频率，改变每遇到一个转折频率，改变 一次分段直线的斜率一次分段直线的斜率0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40-20-40) 1s301)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 低频段低频段：S405 .0 时为38db转折频率转折频率： 0.

30、5 2 30斜率增量斜率增量： -20 20 -20 斜率斜率: -20 -40 -20 -401 .0 时为52db L()曲线曲线20lgK=3252db38db1c【例例5】设开环频率特性为设开环频率特性为 )05. 01)(125. 01)(101 ()()1001 (10)(223jjjjjjG试绘制其近似的对数幅频特性曲线。试绘制其近似的对数幅频特性曲线。解：（解：（1）转折频率：）转折频率：01. 011 . 028125. 013204 （2）低频渐近线：）低频渐近线：lg22010lg20)(3Llg4060)(L（3）绘制近似的对数幅频特性曲线）绘制近似的对数幅频特性曲线

31、截止频率的计算：截止频率的计算： 8 1 . 0 ，c令令0)(L得：得：01010010lg20223【例例6 6】已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。解解: (1): (1)由于低频段斜率为由于低频段斜率为- -20dB/20dB/decdec所以有一个积分环节；所以有一个积分环节；(2) (2) 在在w=1w=1处，处，L(w)=15dBL(w)=15dB， 所所以以20lgK=1520lgK=15，K=5.6K=5.6(3) (3) 在在w=2

32、w=2处，斜率由处，斜率由-20dB/-20dB/decdec变为变为-40dB/-40dB/decdec，故有惯性环，故有惯性环节节1/(s/2+1)1/(s/2+1)(4) (4) 在在w=7w=7处，斜率由处，斜率由-40dB/-40dB/decdec变为变为-20dB/-20dB/decdec，故有一阶微，故有一阶微分环节分环节(s/7+1)(s/7+1) 121() 171(6 . 5)(ssssG( )90arctanarctan72 三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统最小相位系统：最小相位系统： P144 非最小相位系

33、统：非最小相位系统： 有一个或多个零点位于复平面的右半平面有一个或多个零点位于复平面的右半平面 开环不稳定系统：开环不稳定系统： 有一个或多个极点位于复平面的右半平面有一个或多个极点位于复平面的右半平面 所有开环所有开环零极点零极点都位于复平面的左半平面都位于复平面的左半平面 所有开环所有开环极点极点都位于复平面的左半平面都位于复平面的左半平面 或系统具有延迟环节或系统具有延迟环节 例：2112)(sssG2212)(sssG 22222211lg404lg2014lg20)()(LL1( )arctan2arctan2 2( )180arctan2arctan2 90090)0()()(11

34、127018090)0()()(222112)(3ssssG 22222131lg404lg2014lg20)()(LL3( )180arctanarctan180arctanarctan22 90090)0()()(33310-210-1100101102-90090180Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-40-30-20-10010Magnitude (dB)-40-20G2G3G1例110)(1ssGsessG5 . 02110)(2110)(A1( )arctan 2( )arctan0.5 ReGImG10120-90 在具有相同幅

35、频特性的系统中，最小相位传在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。是最小的。 任何非最小相位传递函数的相角范围，都大任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围于最小相位传递函数的相角范围 最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系；而对于非最小相位系统不成有唯一的对应关系；而对于非最小相位系统不成立，因为不同的非最小相位系统具有相同的幅频立，因为不同的非最小相位系统具有相同的幅频特性。特性。结论：结论： 仅由幅频特性曲线不能确定非

36、最小相位系统仅由幅频特性曲线不能确定非最小相位系统的传递函数，但可以确定最小相位系统的传递函的传递函数，但可以确定最小相位系统的传递函数数另一种定义方式另一种定义方式(不常用）不常用）最小相位系统：最小相位系统： 非最小相位系统：非最小相位系统： 有一个或多个零点或极点位于复平面的右半平面有一个或多个零点或极点位于复平面的右半平面 所有开环所有开环零极点零极点都位于复平面的左半平面都位于复平面的左半平面 或系统具有延迟环节或系统具有延迟环节 包含了开环不稳定系统，但不能保证最小相位系包含了开环不稳定系统，但不能保证最小相位系统具有最小相角范围的含义！统具有最小相角范围的含义！ L( ) dB5

37、20.0020.020.21.0 c0-20-20-40-40-60已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线渐进线已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线渐进线求系统的开环传递函数及截止频率求系统的开环传递函数及截止频率 c课本课本P180确定最小相位系统确定最小相位系统传函步骤传函步骤19321932年，奈奎斯特（年，奈奎斯特（NyquistNyquist）提出了频域稳定）提出了频域稳定判据判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据。奈氏判据的本质：奈氏判据的本质：由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性)()(jHjG（1）闭环系统特征式）闭环系统特征式)()(1

38、sGsH奈奎斯特稳定判据将开环频率响应奈奎斯特稳定判据将开环频率响应 与与（2 2）右半）右半s s平面内的零点数和极点数平面内的零点数和极点数联系起来联系起来5-4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据的数学基础一、奈奎斯特稳定判据的数学基础1、幅角原理、幅角原理可以证明，对于可以证明，对于 s 平面上给定的一条不通过任何奇点的平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在连续封闭曲线，在 F(s) 平面上必存在一条封闭象曲线平面上必存在一条封闭象曲线与之对应。与之对应。F(s) 平面上的原点被封闭平面上的原点被封闭象象曲线包围的次数和方向，在曲线包围的次数和方向，在下面的

39、讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。和方向与系统的稳定性联系起来。nnpspspszszszssF2121)(复变函数复变函数ImRej平面s平面)(sF00如果如果S平面封闭平面封闭曲线只包围一个零点，曲线只包围一个零点，F(s) 轨迹将顺时针包围原点一次轨迹将顺时针包围原点一次 如果如果S平面封闭曲线既不包围零点又不包围极点，平面封闭曲线既不包围零点又不包围极点， F(s) 轨迹将不包围原点轨迹将不包围原点6(1.52.4)(1.52.4)( )1( ) ( )1(1)(2)(1)(2)sjsjF sH s

40、 G sssss 幅角原理幅角原理P156： 设设s平面闭合曲线平面闭合曲线G G包围包围F(s)的的Z个零点个零点和和P个极点，则个极点，则s沿沿G G 顺时针运动一周时顺时针运动一周时,在在F(s) 平面平面上，上， F(s)的闭合曲线的闭合曲线G GF 逆时针包围原点的圈数为逆时针包围原点的圈数为 R = P Z R 0 : 逆逆时针包围时针包围F(s)平面坐标原点的圈数平面坐标原点的圈数 R 0 : 顺顺时针包围时针包围F(s)平面坐标原点平面坐标原点的圈数的圈数 R = 0 : 不包围不包围F(s)平面坐标原点平面坐标原点G G包围零点个数G G包围极点个数G GF包围原点圈数2、复

41、变函数、复变函数F(s)的选择的选择我们的目的是为了研究系统的稳定性，希望通过我们的目的是为了研究系统的稳定性，希望通过F(s)建建立系统的闭环极点与开环极点的关系，进而判断系统的立系统的闭环极点与开环极点的关系，进而判断系统的稳定性。稳定性。)()()()(sAsBsGsH)()()()()(1)(sAsBsAsGsHsF两者的极点相同两者的极点相同F(s)的极点的极点-系统的系统的开环开环极点极点F(s)的零点的零点-系统的系统的闭环闭环极点极点开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)R(s)C(s)如果在如果在s平面选择平面选择闭合曲线闭合曲线包围整个右半平面包围整个右半平面由幅角原理：

42、由幅角原理： R = P Z)()()()()(1)(sAsBsAsGsHsFF(s) 的零点个数的零点个数（在（在s右半平面的）右半平面的）F(s) 的极点个数的极点个数（在（在s右半平面的）右半平面的）F包围原点圈数包围原点圈数系统的系统的开环开环极点极点（在（在s右半平面的）右半平面的）系统的系统的闭环闭环极点极点（在（在s右半平面的）右半平面的）F(s)曲线对曲线对F(s)平面坐平面坐标原点的包围圈数标原点的包围圈数H(s)G(s)曲线对曲线对H(s)G(s)平面平面(-1,j0)点点的包围圈数。的包围圈数。关键：关键：1.闭合曲线闭合曲线如何选取？如何选取？ 2. 对应的对应的H(s)G(s)曲线曲线？关系到系统稳定性关系到系统稳定性3、s平面闭合曲线平面闭合曲线G