高中数学正弦定理的详细教案新人教B版必修

1、 正弦定理 本节重点：正弦定理的应用 本节难点：正弦定理的推导过程 一、新课导入 在初中， 我们学习了锐角三角函数，他们是以直角三角形为前提构建的概念，那么， 现在 有一个 Rt? ABC（如下图），三个角 A,B,C 所对的三条边分别为 a,b,c 。哪位同学能够说出这个直角三角形中角 A,B 的三角函数？ B c a C A b sin A a b a c cos A tan A （学生回答） c b b a b sin B c cos B tan B c a 很好，我们先观察 sin A a ,sin B b 这两个式子，对其变形可得： c c c a b , c sin B sin A

2、 又 sin C sin 90 1 c ，所以 c c c sin C 因为 c 为同一直角三角形中的斜边，所以 c 表示的意义是一样的，所以在直角三角形 中有 a b c 这样的关系式。 这样的关系式在一般的三角形中仍然成立吗？这 sin A sin B sin C 就是本节课所要研究的内容。 二、新课讲解 1、 新知推导 三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。刚才我们已经知道关系 a b c 在直角三角形中成立， 如果还能判断出这个关系式在锐角三角形和 式 sin B sin C sin A 钝角三角形中也成立，我们就说这个关系式对一般的三角形都成立。 下面我们来判断一下

3、a b c 在锐角三角形中是否成立。 sin A sin B sin C 一个任意的锐角三角形 ABC，三个角 A,B,C 所对的三条边分别为 a,b,c ，如下图： A c E b B C a D 用心 爱心 专心 1 要求各个角的正弦值， 受直角三角形的启发， 过 A 作 BC边的垂线 AD，构造直角三角形， 可 得 s i n A D , s i n A D sbi， 所C 以 B c C b ， 变 形 可 得 A D sci n B, A D c s i Bn b Cs i n b c n s i Bn Cs i BE ,sin C BE ， 同理，过 B作 AC边的垂线 BE，构造

4、直角三角形，可得 sin A c a 变形得 BE c sin A, BE a sin C ，所以 c sin A a sin C a c sin A sin C 所以在锐角三角形中有 a b c sin A sin B sin C 在钝角三角形中同学们可以自己动手判断一下。 （学生动手实践） 可得在钝角三角形中也有 a b c sin B sin C sin A 由于 a b c 这个关系式只与边和正弦有关，我们称其为正弦定理。 sin A sin B sin C 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。用字母表示为 a b c 。 sin A sin B sin C 2、

5、 新知应用 例：（ 1）在 ? ABC中，已知 c=10， A=105， C=30，求 b; （ 2）在 ? ABC中，已知 a=50， b=25 6 ， A=45，求 B。（渗透应用大边对大角判断其角的情况） 解：（ 1）观察正弦定理 a b c 可知 sin A sin B sin C c sin B b sin C B 180 A C 180 105 30 45 sin B 2 ,sin C 1 2 2 10 2 b 2 10 2 1 2 （ 2）观察正弦定理 a b c sin A sin B 可知 sin C 25 6 2 sin B b sin A 23 a 50 2 用心 爱心

6、专心 2 b a, B A, B 60 或 120 根据这两道例题大家也了解了正弦定理的作用，我们尝试用它来解决一道高考题： （2010 北京 10 ）在 ? ABC中，若 b=1， c= 3 ，C= 2 ，则 a= 3 （渗透高考题目其实并不难） 上述例题都是根据三角形中的几个元素去求另外的元素。 我们把已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 应用正弦定理一般可以解决以下两类问题： （ 1） 两角一边求其余的两边一角 （ 2）两边一角求其余的两角一边 3、 巩固练习 （ 1）在 ? ABC中，已知 c=10， C=45， A=75，求其余的两边一角； （ 2）在 ? ABC中，已知 a： b： c=1:3:5 ，求代数式 2sin A sin B 的值。 sin C 4、本课小结 （ 1）正弦定理 （ 2）解三角形 （ 3）正弦定理的应用三、布置作业 （ 1）教材第三页练习 （ 2）思考