高中数学教学指导三角函数学习中要用好“单位圆”

1、高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”单位圆在三角函数的学习中起着非常重要的作用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角的终边与单位圆的交点是A( x, y) ，则由三角函数定义： siny,cosx ，tany 即点 A 可以表示为 A(cos,sin ) ，据此我们可以得到许多常用的结论和解题x方法例 1 证明以下诱导公式：（ 1） sin()sin， cos()cos， tan()tan；（ 2） sin()sin， cos()cos， tan()tan；（ 3） sin()sin， cos()cos

2、， tan()tan证明： 设角的终边与单位圆的交点是A(cos,sin) ，则（ 1）设角的终边与单位圆的交点是B，根据三角函数定义，B 点坐标为 B(cos(),sin() ；又角的终边与角的终边关于y轴对称，故 B 点坐标为 B(cos,sin) 因此， sin()sin， cos()cos以上两式相除得：tan()tan（ 2）设角的终边与单位圆的交点是C，根据三角函数定义，C 点坐标为 C (cos(),sin() ；又角终边与角的终边关于原点对称，故C点坐标为C (cos,sin) 因此， sin()sin， cos()cos y以上两式相除得：tan() tan同理可证（3）O例

3、 2 求下列函数的定义域：sin xcos xsin xcos x1 x（ 1） f (x) log a (sin x cosx),( a0, a 1)；（图 1）（ 2） g( x)log a (sin xcos x),( a0, a1) 解： 这类问题通常就是比较正弦和余弦函数值的大小如果利用两个函数图像来比较，至少需要画出两个函数各一个周期的图像， 繁琐一些 若利用单位圆来分析正弦和余弦函数值的分布，就相对简单多了（ 1）如图（ 1），当 xk（ kZ ）时， sin xcos x 4所以，直线 y x 把单位圆分成了两部分，在其中的一部分上sin xcos x ，在另一部分上 sin

4、xcos x （类似于线性规划中可行域的确定）通过特殊角验证，不难知道，当k5k（ kZ ）时， sin xcos x x44y因此，函数f (x) 的定义域是sin xcos xx2kx52k , kZO1x44sin xcos x（ 2） 如图（ 2），同理可求得()loga(sinxcos)的定g xx3（图 2）义域是x2kx2k,kZ44事实上，通过例 2 我们在单位圆上得到了函数y sin xcos x 和 ysin xcos x 的整个函数值的变化（增减）和分布（正负）情况.另外，在三角函数的学习中， 有时会出现这样一个问题，有的同学在求解某个角的范围时，可能会写出“单边不等式”

5、例如： x3等，这多半是错误的因为，在单位圆上表示一下这些角就知道了，x3等价于 xR ！从这里也可以看出，单位圆表示角有得天独厚的优势，相比用三角函数图像解题，单位圆“占地面积小”例 3 求下列函数的值域：y（ 1）ysin x, x , 5 ；（ 2）ycos(x3), x2, 3 .4442解：（ 1）如图3，由单位圆不难看出，O1x当 x , 5 时，2sin x154442,5 的值域是 2 ,1（图 3）所以，函数 ysin x, x442（ 2）当 x ,3时，x3, 7 类似（ 1），不难得到cos(x) 1,3 226632所以，函数 ycos(x), x33y, 的值域是

6、1, 32221例 4解下列三角不等式：121（ 1） sin(3x)0O；62（ 2） tan(2x)1 .-13解：（ 1）如图4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知（图 4）当2k3x5时，62k66即 2kx22k时， sin(3 x)1.33362因此，原不等式的解集是2kx22kZ ) .x3,( k33（2）如图 5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知y当2k2x3k 时，40k7k即xtan(2 x)1 .O12224时，231因此，原不等式的解集是xkx7kZ ) .（图 5）12224,( k2例 5求下列函数的单调递增区间：（ 1） ysin(3 x) ；6（ 2） ytan(2 x) .3解：（ 1）如图4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知当22k3x62k时，2即22kx2ksin(3x) 单调递增 .939时，函数 y36因此，函数 ysin(3 x22k,2k) 的单调递增区间是 93 ，( k693（ 2）如图5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知120 x10 xZ ) .当k2x3k 时，22即k5ky tan(2 x) 单调递增 .x12时，函数